2022年2022年基本不等式知识点 .pdf

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1、基本不等式知识点1、不等式的基本性质(对称性)abba(传递性),ab bcac(可加性)abacbc(同向可加性)dbcadcba,(异向可减性)dbcadcba,(可积性)bcaccba0,bcaccba0,(同向正数可乘性)0,0abcdacbd(异向正数可除性)0,0ababcdcd(平方法则)0(,1)nnababnNn且(开方法则)0(,1)nnabab nNn且(倒数法则)babababa110;1102、几个重要不等式222abab abR,,(当且仅当ab时取号) . 变形公式:22.2abab(基本不等式)2abababR,,(当且仅当ab时取到等号). 变形公式:2aba

2、b2.2abab用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” . (三个正数的算术几何平均不等式)33abcabc()abcR、 、(当且仅当abc时取到等号). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 222abcabbcca abR,(当且仅当abc时取到等号) . 3333(0,0,0)abcabc abc(当且仅当abc时取到等号) . 0,2baabab若则(当仅当a

3、=b 时取等号)0,2baabab若则(当仅当a=b 时取等号)banbnamambab1, (其中000)abmn,规律:小于1 同加则变大,大于1 同加则变小 . 220;axaxaxaxa当时,或22.xaxaaxa绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式平均不等式:2211222abababab,,a bR(, 当且仅当ab时取号) . (即调和平均几何平均算术平均平方平均) . 变形公式:222;22ababab222().2abab幂平均不等式:222212121.(.) .nnaaaaaan二维形式的三角不等式:22222211221212()()xyxyxxyy1122

4、(,).xy xyR二维形式的柯西不等式:22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时,等号成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 三维形式的柯西不等式:22222221231231 12233()()() .aaabbba ba ba b一般形式的柯西不等式:2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.) .nna ba ba b向量形式的柯

5、西不等式:设,u r u r是两个向量, 则,u r u ru r u r当且仅当u r是零向量,或存在实数k,使ku ru r时,等号成立 . 排序不等式(排序原理):设1212.,.nnaaa bbb为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列,则12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c1 122.nna ba ba b(反序和乱序和顺序和),当且仅当12.naaa或12.nbbb时,反序和等于顺序和. 琴生不等式 :(特例 :凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数( )fx,对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()

6、()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸(或凹)函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法:舍去或加上一些项,如22131()() ;242aa将分子或分母放大(缩小),如211,(1)kk k211,(1)kk k2212,21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断

7、对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则( )0( )( )0( )( )( )0( )0(

8、)0( )f xfxg xg xf xg xf xg xg x(“或”时同理)规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )0( )( )( )0( )0( )( )f xf xf xg xg xg xf xg x或2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边

9、分析求解. 9、指数不等式的解法:当1a时 ,( )( )( )( )fxg xaafxg x当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 当1a时 , ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x当01a时, ( )0log( )log( )( )0.( )(

10、)aaf xf xg xg xf xg x规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:定义法:(0).(0)aaaaa平方法:22( )( )( )( ).f xg xfxgx同解变形法,其同解定理有:(0);xaaxa a(0);xaxaxa a或( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x( )( )( )( )( )( )( )0)f xg xf xg xf xg xg x或规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、

11、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:讨论a与 0 的大小;讨论与 0 的大小;讨论两根的大小. 14、恒成立问题不等式20axbxc的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当0a时0,0;bc当0a时00.a不等式20axbxc的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 当0a时0,0;bc当0a时00.a( )f xa恒成立

12、max( );f xa( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立min( );f xa( )f xa恒成立min( ).f xa15、线性规划问题常见的目标函数的类型:“截距”型:;zAxBy“斜率”型:yzx或;ybzxa“距离”型:22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()() .zxayb在求该 “三型” 的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -

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