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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 日期： 2022- 时间：学习必备欢迎下载任课老师：试卷审查老师：同学姓名：测试科目：涉及章节：老师评语：不等是学问点 知 识 梳理 1. 基本形式 :a bR , 就a22 b2 ab;a0,b0, 就ab2ab , 当且仅当 ab 时等号成立 . 2 求最值 : 当 ab为定值时 ,2 a bab 有最小值 ; 当 a b或a2b 为定值时 , ab 有最大值a0, b0 . 1aba2ba22b2,当且仅当 ab时等号成立 .3.拓展：如a0,b0时,12ab 重 难 点 突 破 1. 重点 ：懂得基本不等式aba2b等号成立条件, 把握
2、用基本不等式证明不等式会用基本不等式解决简洁的最大（小）值问题 . 2.难点： 利用基本不等式 ab a b 求最大值、最小值 23. 重难点： 正确运用基本不等式证明不等式,会用基本不等式求某些函数的最值二 方法技巧讲解1 敏捷运用基本不等式处理不等关系名师归纳总结 问题 1. 已知正数 x、y 满意 x+2y=1,求1 + x1 的最小值 . y第 1 页,共 7 页点拨： x、y 为正数,且x+2y=1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 + x1 =（x+2y）（y1 + x1 ）y学习必备欢迎下载=3+2y+x 3+2 y2 ,2 1,y=
3、12 时等号成立 . 2x当且仅当2y=x ,即当 x= yx1 + x1 的最小值为 y3+22 .（2）留意取等号的条件问题 2. 已知两正数x,y 满意 x+y=1, 就 z=x1y1的最小值为；xy点拨：错解 1、由于对 a0,恒有 a 12 ,从而 z= x 1 y 1 4,所以 z 的最小值是 4；a x y2 2错解 2、z 2 x y 2 xy 2xy 2 2 2xy 2 2 2 1 ,所以 z 的最小值是xy xy xy2 2 1 ；错因分析： 解一等号成立的条件是 x 1且 y 1 , 即 x 1 且 y 1, 与 x y 1 相冲突； 解二等号成x y立的条件是 2 xy
4、 , 即 xy 2,与 0 xy 1相冲突；xy 42解析： z= x 1 y 1 = xy 1 y x= xy 1 x y 2 xy 2xy 2,令 t=xy, 就x y xy x y xy xy xy0 t xy x y 2 1,由 f t t 2在 0, 1 上单调递减 ,故当 t=1 时 f t t 2有最小2 4 t 4 4 t值33 ,所以当 x y 1 时 z 有最小值25；4 2 4 热 点 考 点 题 型 探 析名师归纳总结 考点 1 利用基本不等式求最值或取值范畴 第 2 页,共 7 页题型 1. 当积 ab 为定值时 , 求和 ab 最小值- - - - - - -精选学
5、习资料 - - - - - - - - - 例 1 .已知x0,y0且满意2 x8学习必备欢迎下载1, 求 xy 的最小值 . y例 2. 已知 x0 ,y0,且 3x+4y=12 ,求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、 y 的值例 3. 如正数 a,b 满意 ab=a+b+3,就 ab 的取值范畴是 _ 考点 2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简洁的不等式名师归纳总结 例 4 已知a b cR , 求证 :a2b22 cabbcca . 第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载强化训练1. 如x1,就 x
6、=_时,xx11有最小值,最小值为_. l 的纵、 横截距之和大1,求2. .2022 华附 已知x yR *, 且x4y1 , 就1x1的最小值为y3. 已知一动直线 l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线这三角形面积的最小值4. 已知 a,b 为正数,求证：ababba5.设 x0,y0 且 x y,求证x3y31x2y21326. 已知函数f x 12,如fx2x0在（ 0,+）上恒成立,求a 的取值范畴；ax7. 2022梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为250 万元 ,每生产 x 千件 ,需另投入成本为C x .当年产 量 不 足x80千 件 时 ,C x 1x210
7、x 万 元 ; 当 年 产 量 不 小 于80千 件3时,C x 51100001450万元 .每件商品售价为0.05 万元 .通过市场分析,该厂生产的商品能全x部售完 . 1写出年利润 L 万元 关于年产量 x 千件 的函数解析式 ; 名师归纳总结 2年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案例 1【解题思路】利用281,构造均值不等式,x0,y0, 2 yx0,8x0xy解析：xyxy 1xy 28282y8xxyxyyxy102 1618, 当且仅当
8、2y8x时等号成立, 即y242 x , y2x , 又2 x81, xyyx6,y12当x6,y12时, xy 有最小值 18. 例 2解析 x0 ,y0,3x+4y=12 ,xy13 x4y13 x24y23,1212lgx+lgy=lgxy lg3 x,0y0x2ab ,由3 x4y12解得y33 x4y2当 x=2 ,y=3 时, lgx+lgy 取得最大值 2lg3 例 3 解法一由 a、bR+,由重要不等式得a+b2ab3,就 ab=a+b+32ab +3,即ab2 ab30ab3 ab1 0 ab9 解法二 a、b 为正数,ab=a+b+33 3 3 ab 0,两边立方得 a 3
9、b 33 4ab a 2b 23 4, ab0, ab9 解法三 原条件式变为 ab-3=a+b, a、b 均为正数,故式两边都为正数,两边平方得名师归纳总结 a 2b 2-6ab+9=a2+b2+2ab,第 5 页,共 7 页 a 2+b22ab,a 2b 2-6ab+94ab,即 a2b2-10ab+90,ab-1ab-9 0,由式可知ab3,ab9 解法四把 a、bR+看作一元二次方程的两个根,此方程为x2+3-abx+ab=0 ,就 =3-ab2-4ab0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即 ab 2-10ab+90,学习必备欢迎下载ab-9
10、ab-1 0,ab-1=a+b+20 成立,ab9 .例 4 【解题思路】由于是轮换对称不等式,可考虑由局部证整体解析 a2b22ab b2c22 bc a2c22ac, 2 相加整理得 a当且仅当 ab2c2abbcca . bc时等号成立 .强化训练1. 如x1,就 x =_时,xx11有最小值,最小值为_. 2 x1x1111,求解析 : x1, x10, x110, xx11=x1x1112 11,当且仅当x1x11即x0时xx11min1. x1 y 31时取等号 . 2. .2022 华附 已知x yR *, 且x4y1 , 就1x1的最小值为y解析 : x ,yR *,11x4y
11、x4y54yx9,当且仅当xyxyxy63. 已知一动直线 l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l 的纵、 横截距之和大这三角形面积的最小值1解析：设直线 l 的方程xy1（a0,b0）,就1ab2ab1, a+b2 ab,ab2ab2 ab1,即ab24ab20,解得ab 6,21ab1262,当 a=b=2+6 时,三角形面积的最小值为5+26224 解析 1： a0,b0,ab2ab2a,bbba2ba2b,aa两式相加,得名师归纳总结 abba2a2b,第 6 页,共 7 页baababba- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析
12、 2. abab学习必备a欢迎下载bab2abababbaba名师归纳总结 ab2250万元 ; 第 7 页,共 7 页ababba5 证明：由 x0,y0 且 x y,要证明x3y31x2y2132只需x3y32x2y23即2x3y33 x2y2x2y2只需2xyx2y26 解析：由于fx2x0在（ 0,+）上恒成立,即122x0ax12x12 x1的最小值为4 14axxa解得a0 或a147 解析 : 1当 0x80时 ,L x 0.05 1000x1x210x2501x240x33当x80时 ,L x 0.05 1000x51x1000014502501200x10000xxL x 1 3x240x250,0x801200x10000,x80950x2当 0x80时,L x 1 x2 60950 ,此时 ,当x60时,L x 取得最大值L603当x80时 ,L x 1200x1000012002x1000012002001000xx此时 ,当x10000时,即x100时,L x 取得最大值1000 万元 . x所以 ,当产量为 100 千件时 ,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000 万元 . - - - - - - -