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1、Chp02 知识点：自信息量：1）)(log)(iixpxI2）对数采用的底不同，自信息量的单位不同。2-比特（bit） 、e-奈特（nat） 、10-哈特（Hart）3）物理意义：事件ix发生以前，表示事件ix发生的不确定性的大小；事件ix发生以后，表示事件ix所含有或所能提供的信息量。平均自信息量（信息熵）：1）)(log)()()(1iqiiixpxpxIExH2）对数采用的底不同，平均自信息量的单位不同。2-比特 /符号、 e-奈特 /符号、 10- 哈特 /符号。3）物理意义：对信源的整体的不确定性的统计描述。表示信源输出前，信源的平均不确定性；信源输出后每个消息或符号所提供的平均信
2、息量。4）信息熵的基本性质：对称性、确定性、非负性、扩展性、连续性、递推性、极值性、上凸性。互信息：1）)()|(log)|()();(ijijiijixpyxpyxIxIyxI2）含义： 已知事件jy后所消除的关于事件ix的不确定性，对名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 信息的传递起到了定量表示。平均互信息： 1）定义：2）性质：联合熵和条件熵：各类熵之间的关系：数据处理定理：名师资料总结 - - -精品资料欢迎
3、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - Chp03 知识点：依据不同标准信源的分类：离散单符号信源：1）概率空间表示：2）信息熵：)(log)()()(1iqiiixpxpxIExH，表示离散单符号信源的平均不确定性。离散多符号信源：用平均符号熵和极限熵来描述离散多符号信源的平均不确定性。平均符号熵：).(1)(21NNXXXHNXH极限熵（熵率） ：)(lim)(XHXHNN（1）离散平稳信源（各维联合概率分布均与时间起点无关的信源。）（2）离散无记忆
4、信源：信源各消息符号 彼此互不相关。最简单的 二进制信源 ：01( )Xp xpq，信源输出符号只有两个：“0”和“1”。离散无记忆信源的N 次扩展： 若信源符号有q 个，其 N 次扩展后的信源符号共有qN个。离散无记忆信源X的 N次扩展信源 XN的熵：1212101,(1,2, );1rrriiiaaaXp ap ap aPp airp a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 等于信源X 的熵的 N倍，表明离散无记
5、忆信源X 的 N次扩展信源每输出1 个消息符号（即符号序列）所提供的信息熵是信源X 每输出 1 个消息符号所提供信息熵的 N倍。离散无记忆信源X的 N次扩展信源XN极限熵（熵率）为：)()(1lim)(lim)(XHXNHNXHXHNNN（3）离散有记忆信源马尔可夫信源 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链1） 用分布律描述 ：2）转移概率： 即条件概率。3）转移概率矩阵：用)(npij表示n 步转移概率矩阵。且nijijpnp)1()(， ，会写出马氏链的一步转移概率矩阵，会画状态转移图，能够求出n 步转移概率矩阵。4）遍历性的概念：求解马氏信源的遍历性，即找一正整数m，使 m 步
6、转移概率矩阵)(mpij中无零元。求解马氏遍历信源的信息熵步骤：（1）根据题意画出状态转移图，判断出是平稳遍历的马尔可夫信源；（2）根据状态转移图写出一步转移概率矩阵，计算信源的极限分布qWWWW,.,21即是求解方程组：qiiWWPW11名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - （3）根据一步转移概率矩阵和极限概率W 计算信源的信息熵：极限熵H等于条件熵Hm+1。（m阶马尔可夫信源的熵率）信源的相关性和剩余度： ，用来
7、衡量信源输出的符号序列中各符号之间的依赖程度。当剩余度 0 时，信源的熵极大熵H0，表明信源符号之间：(1)统计独立无记忆;(2)各符号等概分布。连续信源：（1）微分熵：i.定义：ii.物理意义：（2）连续信源的联合熵和条件熵（3）几种特殊连续信源的熵：a) 均匀分布的连续信源的熵：)(log)(2abXHcb) 高斯分布的连续信源的熵：222log21)(eXHc【概率密度函数：222)(221)(mxexp】c) 指数分布的连续信源的熵：meXHc2log)(【概率密度函数：mxemxp1)(】（4）最大连续熵定理：011HH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
8、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - a) 限峰值功率的最大熵定理（输出幅值受限）：均匀分布b) 限平均功率的最大熵定理（输出平均功率受限）：高斯分布（5）熵功率及连续信源的剩余度 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - Chp04 知识点：一、一些基本概念：1 什么是信道？信道的作用，研究信道的目的。2
9、 一般信道的数学模型，信道的分类（根据输入输出随即信道的特点，输入输出随机变量个数的多少，输入输出个数，有无干扰，有无记忆，信道的统计特性进行不同的分类）3 前向概率p(yj /xi) 、后向概率 /后验概率 p(xi /yj) 、先验概率p(xi) 。4 几个熵的含义：H(X) - 表示信源的不确定性；H(X|Y)- 信道疑义度，表示如果有干扰的存在，接收端收到Y 后对信源仍然存在的不确定性。 也称为损失熵， 表示信源符号通过有噪信道传输后所引起的信息量的损失。H(Y|X)- 噪声熵，它反映了信道中噪声源的不确定性。二、离散信道：1 单符号离散信道：a)信道模型的表示：传递矩阵（有传递(条件
10、、转移 )概率 p(yj|xi) 组成）；b)信道的信息传输率：R=I(X;Y) 表示接收到输出符号集Y 后所消除的对于信源X 的不确定性，也就是获得的关于信源的信息。它是平均意义上每传送一个符号流经信道的信息量。关于 I （X;Y ）的性质： I(X;Y) 是信源概率分布p(xi)和信道转移概率p(yj|xi) 的二元函数：11(/)(/)22()()(/)1111()() (/)()()(/)(;)()log()(/)logjijinjijiinjijiijijiinmnmp yxp yxijijip yp xp yxijijp yp x p yxp x yp xp yxI X Yp x
11、yp x p yx那么，当信道特性p(yj /xi) 固定后， I(X;Y) 随信源概率分布p(xi) 的变化而变化。调整p(xi) ，在接收端就能获得不同的信息量。由平均互信息的性质已知，对于给定的信道转移概率 p(yj /xi) ，I(X;Y) 是输入分布p(xi)的上凸函数， 因此总能找到一种概率分布p(xi)（即某一种信源），使信道所能传送的信息率为最大。那么这个最大的信息传输率即为信道容量。c)信道容量概念：在信道中最大的信息传输速率()()maxmax (;)(/)iip xp xCRI X Y比特信道符号对于给定的信道，总能找到一个最佳输入分布使得I(X;Y) 得到极大值。d)信
12、道容量的含义：信道容量是完全描述信道特性的参量，信道容量是信道传送信息的最大能力的度量，信道实际传送的信息量必然不大于信道容量。2 几种特殊离散信道的信道容量：a)具有一一对应关系的无噪信道：n- 输入符号数，m- 输出符号数当信源呈等概率分布时，具有一一对应确定关系的无噪信道达到信道容量C：b)具有扩展性能的无损信道：c)具有归并性能的无噪信道：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 注意： 在求信道容量时，调整的始
13、终是输入端的概率分布p(xi) ，尽管信道容量式子中平均互信息I(X;Y) 等于输出端符号熵H(Y) ，但是在求极大值时调整的仍然是输入端的概率分布p(xi) ，而不能用输出端的概率分布p(yj) 来代替。也就是一定能找到一种输入分布使输出符号Y 达到等概率分布。d)行对称信道的信道容量：),.,()(max21)(sxppppHYHCe)离散对称信道的信道容量：若一个离散对称信道具有r 个输入符号， s 个输出符号， 则当 输 入 为 等 概 分 布 时 达 到 信 道 容 量 ， 且， 其 中为信道矩阵中的任一行。f)均匀信道的信道容量为g)准对称信道的信道容量：),.,(loglog21
14、122snkkkpppHMNrC，其中Nk是 n 个子矩阵中第k 个子矩阵中行元素之和，Mk 是第 k 个子矩阵中列元素之和。h)二元对称信道的信道容量：C=1-H(p) p 为错误传递概率。3 一般离散信道的信道容量计算方法：已知信道的转移矩阵P，求信道容量。两种方法：方法一：依据：I(X;Y) 是输入概率分布p(xi) 的上凸函数，所以极大值一定存在。步骤：根据信道转移矩阵的特点，用某一参数设为输入分布p(xi) ；由)|()()(1ijniijxypxpyp得出输出分布p(yj)也是关于 的函数；将用 表示的 p(xi)和 p(yj)带入 I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)中，得到I(
15、X;Y)是关于 的函数。求 I(X;Y)对的偏导数，并令其等于0，解得 即得到输入分布；将解得的 代入 I(X;Y)式中得到信道容量C。例子：见教材P65， 例 4.5 方法二：公式法：注意： 在第步信道容量C 被求出后，计算并没有结束，必须解出相应的p(xi) ，并确认所有的p(xi) 0 时，所求的C 才存在。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 在对 I(X;Y) 求偏导时，仅限制niixp11)(，并没有限制
16、p(xi) 0 ， 所以求出的p(xi)有可能为负值，此时C 就不存在，必须对p(xi) 进行调整，再重新求解C。4 平均互信息I(X;Y) 达到信道容量的充要条件：见教材 P65。5 多符号离散信道及信道容量：a)含义，数学模型：多符号离散信源X=X1X2XN在N个不同时刻分别通过单符号离散信道XP(Y/X) Y ，则在输出端出现相应的随机序列Y=Y1Y2YN，这样形成一个新的信道称为多符号离散信道。由于新信道相当于单符号离散信道在N个不同时刻连续运用了N次，所以也称为单符号离散信道 XP(Y/X) Y的N次扩展。b)离散多符号信道的平均互信息和信道容量的几个结论：结论 1：离散无记忆信道的
17、N次扩展信道的平均互信息，不大于N个随机变量X1X2XN单独通过信道 X P(Y/X) Y的平均互信息之和。结论 2：离散无记忆信道的N次扩展信道，当输入端的N个输入随机变量统计独立时，信道的总平均互信息等于这N个变量单独通过信道的平均互信息之和。结论 3： 离散无记忆信道的N次扩展信道， 如果信源也是离散无记忆信源的N次扩展信源，则信道总的平均互信息是单符号离散无记忆信道平均互信息的N倍。结论 4：用 C表示离散无记忆信道容量，用CN表示其扩展信道容量，CN=NC6 组合信道及信道容量：a)独立并联信道：含义：输入和输出随机序列中的各随机变量取值于不同的符号集，就构成了独立并联信道。是离散无
18、记忆信道的N 次扩展信道的推广。信道容量：121NNNkkCCCCC，并当输入端各随机变量统计独立，且每个输入随机变量Xk (k=1,2, ,N) 的概率分布达到各自信道容量Ck(k=1,2, ,N)的最佳分布时，CN达到其最大值：max1NNkkCC。b)级联信道：含义：可以看成一个马尔可夫链。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 信道容量：先求各个级联信道的信道矩阵的乘积，得到级联信道的总的信道矩阵。然后按照离散
19、单符号信道的信道容量方法求即可。7 连续信道及信道容量：a)传 递 特 性 表 示 及 数 学 模 型 ； 传 递 特 性 用 条 件 转 移 概 率 密 度 函 数p(y/x) 表 示 。b)连续信道的信道容量：信源 X 等于某一概率密度函数p0(x)时，信道平均互信息的最大值，即( )max(;)p xCI X Yc)平均功率受限的加性信道的信道容量:当噪声、输入分布和输出都满足高斯分布时达到信道容量：)1(log21)1(log212222NXxPPC8 波形信道的信道容量：设信道的频带限于(0,W)；根据采样定理， 如果每秒传送 2W个采样点， 在接收端可无失真地恢复出原始信号；香农公
20、式：把信道的一次传输看成是一次采样，由于信道每秒传输2W个样点，所以单位时间的信道容量为2log (1)(/)XtNPCWP比特秒香农公式含义：当信道容量一定时，增大信道带宽，可以降低对信噪功率比的要求；反之，当信道频带较窄时，可以通过提高信噪功率比来补偿。香农公式给出有噪信道中无失真传输所能达到的极限信息传输率，因此对实际通信系统的设计有非常重要的指导意义。Chp05 知识点1、 信源编码的基本途径、主要任务：2、 信源编码的基础：香农两大定理。3、 离散无记忆信源的一般模型，理解含义4、 一些码的含义：二元码、等长码、变长码、非奇异码、奇异码、同价码、码的N 次扩展码、唯一可译码、即时码、
21、最佳码。5、 即时码的树图构造法6、 等长编码定理及其物理意义，等长编码效率、等长编码时信源序列长度N 需满足的条件。7、 会用 Kraft 和 McMillan 不等式 判断即时码和唯一可以码的码长满足的条件。会用唯一可译码的判别准则 。8、 香农第一定理及其物理意义 ，变长码编码效率。9、 变长码编码方法：香农码、费诺码、霍夫曼编码、算术编码、游程码、词典编码。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - Chp06
22、知识点：一、译码准则1、 最小错误概率译码准则（也称最大后验概率译码准则）：*()(/)(/)jjijiF baP abP abaa选择译码函数使满足2、 最大似然译码准则：*()(/)(/)jjjiF baP baP ba选择译码函数使满足3、 最小距离译码准则：（1）汉明距离：两个码字之间对应位置上不同码元的个数。1(,)nijikjkkD（2）最小距离译码准则：*()(,)(,)jjijiF bDD收到一个码字后，把它译成与它最近的输入码字，这样可以使平均错误率最小。二、平均错误概率：方法：在联合概率矩阵p(ai)p(bj/ai)中先求每列除去F(bj)=a*所对应的p(a*bj) 以外
23、所有元素之和，然后再对各列求和。三、信息传输率：log MRn注： M- 信源的个数n-每个信源的符号数四、编码方法：编码方法的选择相当于对原来的信道进行N 次扩展，码字符号个数及码字的选择。我们应该选择这样的编码方法：应尽量设法使选取的M 个码字中任意两两不同码字的距离尽量大。五、理解香农第二定理的含义。六、纠错码1、分类：分组码 ：编码的规则仅局限于本码组之内，本码组的监督元仅和本码组的信息元相关。(n,k) 分组码卷积码 ：本码组的监督元不仅和本码组的信息元相关，而且还与本码组相邻的前n1 个码组的信息元相关。信息码元和校验码元是否可用线性方程组来表示，分为：线性码 ：编码规则可以用线性
24、方程表示；非线性码 ：编码规则不能用线性方程表示；按纠正差错的类型可分为纠正随机错误的码和纠正突发错误的码；按码字中每个码元的取值可分为二进制码 和多进制码 。2、差错控制方式：*,()( /)1()/()()(/) ()EjjjjjYYijjiiY XaXaYPP bP e bP F bbP bP a bP ba P a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3、线性分组码（1）构成方式（2）理解一致监督矩阵和生成
25、矩阵的含义，掌握二者之间的关系，并会利用一致监督矩阵和生成矩阵来构造码字。（3）线性分组码的纠检错能力：掌握最小距离与纠错能力、最小距离与检错能力、最小距离与纠检错能力的关系需满足的条件。（4）掌握用伴随式来对译码出的码字进行纠错的方法。（5）线性分组码的编、译码方法编码方法：可由H 或 G 求得（ n,k）的所有码字。译码方法： 1）由接收到的R 计算伴随式S；2）根据所得的伴随式可判断是哪位码元发生了错误，可纠正一位随机错误。4、常见的两种纠错码掌握汉明码和循环码的编译码方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -