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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 定义 ：一般地,假如yax2bxc名师总结优秀学问点0,那么 y 叫做 x 的二次函数 . a,b ,c是常数,a2. 二次函数 y ax 2 的性质（ 1）抛物线 y ax 2的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴. 2（ 2）函数 y ax 的图像与 a 的符号关系 . 当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 . （ 3）顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）. 3. 二次函数 y ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛
2、物线 .4. 二 次 函 数 y ax 2 bx c 用 配 方 法 可 化 成 ：y a x h 2k 的 形 式 , 其 中2b 4 ac bh,k . 2 a 4 a2 2 25. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式： y ax； y ax k； y a x h；y a x h 2k； y ax 2 bx c . 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a 0 时,开口向上；当 a 0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x h . 特殊地, y 轴记作直线 x 0 . 7. 顶点
3、打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 2 28. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y ax 2bx c a x b 4 ac b,顶点是2 a 4 a2（b,4 ac b）,对称轴是直线 x b. 2 a 4 a 2 a2（2）配方法： 运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y a x h k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 x h . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
4、,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失 . 9. 抛物线 y ax 2 bx c 中,a , b , c 的作用（1） a 打算开口方向及开口大小,这与 y ax 2中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线x b,故： b 0 时,对称轴为 y 轴； b0（即 a 、 b 同号）时,对称轴在 y 轴左侧；2 a a b 0（即 a 、 b 异号）时,对
5、称轴在 y轴右侧 . a（3） c 的大小打算抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置 . 当 x 0 时,y c,抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）： c 0,抛物线经过原点 ; c 0 , 与 y 轴交于正半轴； c 0 , 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,就 b 0 . a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式kk开口方向时对称轴顶点坐标ab2 yax2x0（ y 轴）（0,0 ）0, k yax2x0（ y 轴）yaxh2当a0xh h ,0 xh h
6、, k yaxh2开口向上yax2bxc当a0时xbb4,ac开口向下2a2 a411. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式. x 2. （2）顶点式：yaxxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 、x ,通常选用交点式：yaxx 112. 直线与抛物线的交点名师归纳总结 （1） y 轴与抛物线yax2bxc得交点为 0, c. 第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）与 y 轴平行的直线xh与
7、抛物线y名师总结优秀学问点 h,ah2bhc. ax2bxc有且只有一个交点（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数ycax2bxc的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、x ,是对应一元二次方程ax2bx0的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是 a
8、x 2 bx c k 的两个实数根 . （5）一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y ax 2bx c a 0 的图像 G 的交点,由方y kx n程组 2 的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; y ax bx c方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G 没有交点 . （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x 1,B x 2,2由于 1x 、x 是方程 ax bx c 0 的两个根,故b cx 1 x 2 , x 1 x 2a a2 2AB x 1 x
9、 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 24 x 1 x 2 b 4 c b 4 aca a a a二次函数的解析式有三种形式：名师归纳总结 （1）一般式：yax2bxca,b,c是常数,a0ax2bxc0有实根1x 和x2（2）顶点式：yaxh2ka ,h,k是常数,a0（3）当抛物线yax2bxc与 x 轴有交点时, 即对应二次好方程存在时,依据二次三项式的分解因式ax2bxcaxx 1xx2ax2bx,二次函数yc可转化为两根式yaxx 1xx2；假如没有交点,就不能这样表示；第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀
10、学问点考点三、二次函数的最值（10 分） 假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ,即当xb时,y最值4 acab2；x1xx2内,2 a4假如自变量的取值范畴是x 1xx2,那么,第一要看b是否在自变量取值范畴2a如在此范畴内, 就当 x=b时,y最值4acab2；如不在此范畴内,就需要考虑函数在x 1xx2范2a4围内的增减性, 假如在此范畴内, y 随 x 的增大而增大, 就当xx2时,y最大2 ax 2bx 2c,当xx12 ax 1时,y最小ax 1 2bx1c；假如在此范畴内, y 随 x 的增大而减小, 就当xx1时,y最大bx 1c,当x2x时,
11、y最小ax2bx2c；2考点四、二次函数的性质（614 分）1、二次函数的性质二次函数函数a0 yax2bxca,b,c是常数,a0a0 y y 图像0 x 0 x （1）抛物线开口向上,并向上无限延长；（1）抛物线开口向下,并向下无限延长；性质（2）对称轴是x=b,顶点坐标是（b,（2）对称轴是 x=b,顶点坐标是（b,2a2a2a2a4acab2）；4acab2）；44（3）在对称轴的左侧,即当xb时, y 随 x（3）在对称轴的左侧,即当xb 2 a时, y 随 x 的增大而增大, 简记左减xb时,y 随 x 的增大而减小,简记左第 4 页,共 9 页2a右增；增右减；- - - - -
12、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）抛物线有最低点,当x=b名师总结优秀学问点x=b时, y 有最时, y 有最小（4）抛物线有最高点,当2a2a值,y最小值4acab2a0中,大值,y最大值4acab2a 0442、二次函数yax2bxca,b,c是常数,a、b、c的含义： a 表示开口方向：时,抛物线开口向上, ,a 0 时,图像与x 轴有两个交点；当=0 时,图像与x 轴有一个交点；当0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或左 h0【或下 k0【或下 k0】平移 |k |个单位y=ax-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移；k
13、值正上移,负下移” a xh2k ；概括成八个字“同左上加,异右下减 ” y三、二次函数ya xh2k 与yax2bxc的比较请将y22 x4x5利用配方的形式配成顶点式；请将yax2bxc 配成总结：名师归纳总结 从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前第 7 页,共 9 页者,即ya xb24acb2,其中hb,k4 acab22 a4a2 a4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、二次函数yax2bx名师总结优秀学问点c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax bx c 化为顶点式
14、y a x h k ,确定其开口方向、2 2对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 0,c、以及 0,c 关于对称轴对称的点 2h,c、与 x 轴的交点 x ,0,x ,0（如与 x轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 x轴的交点,与 y 轴的交点 . 五、二次函数 y ax 2bx c的性质1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为xb,顶点坐标为b,4aca2 bb时, y 有最2 a2 a4当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 随 x 的增大而增大；当x
15、2a2a2a小值4 aca2 b当xb时, y42. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为xb,顶点坐标为b,4 ac4a2 b2 a2 a2 a随 x 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 有最大值4aca2 b2a2a4六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数 ,a0）；x 轴两交点的横坐标）. 2. 顶点式：ya xh2 k （ a , h , k 为常数 ,a0）；3. 两根式：ya xx 1xx 2（a0,1x ,2x 是抛物线与留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写
16、成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系名师归纳总结 1. 二次项系数yaax2bxc中, a 作为二次项系数,明显a0第 8 页,共 9 页二次函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当a0时,抛物线开口向上,名师总结优秀学问点a 的值越小,开口越大；a 的值越大,开口越小,反之 当 a 0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a
17、 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下,当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； ab 同号 同左上加2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 a,b 异号 异右下减2 a 在 a 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； a,b 异号 异右下减2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧 a
18、b 同号同左上加2 a总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置总结：同左上加异右下减3. 常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来,c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；名师归纳总结 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；第 9 页,共 9 页4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式- - - - - - -