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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数的应用适用学科数学适用年级初三80 适用区域苏科版课时时长（分钟）学问点1.二次函数的最值确定最大利润、最节约方案等问题2.用二次函数图象解决几何问题教学目标 1. 学问与技能：会运用二次函数计其图像的学问解决现实生活中的实际问 题；2. 过程与方法：通过本节内容的学习,提高自主探究的才能,在运用学问 解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想；3. 情感态度与价值观：提高探究才能,激发学习的爱好和欲望；教学重点教学难点利用二次函数解决最值问题；依据题意进行相应形式的解设,进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式；教
2、学过程一、复习预习我们学习了利用二次函数最值的求法,我们要能利用二次函数解决最值问题的同时仍要能利用二次函数与其他学问相结合解决综合性的问题；二、学问讲解考点 / 易错点 1 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的最值确定最大利润、最节约方案等问题是二次函数应用最常见的问题,解决此类问题的关键是仔细审题,懂得题意,建立二次函数的数学模型,再用二次函数的相名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载关学问解决利用二次函数的性质解决很多生活和生产实际中的最大和最小值的问题,它的一般方法是：1列出二次函数的
3、解析式,列解析式时, 要依据自变量的实际意义,确定自变量的取值范畴2在自变量取值范畴内,运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值考点 / 易错点 2用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何学问联系亲密,相互渗透,以点的坐标和线段长度的关系为纽带,把二次函数常与全等、相像、最大小 面积、周长等结合起来,解决这类问题时,先要对已知和未知条件进行综合分析,用点的坐标和线段长度的联系,从图形中建立二次函数的模型,从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识,并留意挖掘题目中的一些隐含条件,以达到解题目的三、例题精析【例题 1】【题干】 我市某镇的一种特产由于
4、运输缘由,长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元,可获得利润p1x60241（万元） ；100当地政府拟在“ 十二五” 规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资,在实施规划 5 年的前两年中,每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条大路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售；大路通车后的 3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元,可获利润 Q 99 100 x 2 294 100 x 160（万元）100 5（1）如不进行开发,求 5 年所获利润的最大值是
5、多少？（2）如按规划实施,求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）依据（ 1）、（ 2）,该方案是否具有实施价值？【答案】名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】（1）由p1x60241可得 p 最大为 41；.继而求的 5 年所获利润的最大值；100（2）第一求前两年的获利最大值,然后后三年；（3）比较可知,该方案具有极大的实施价值；【例题 2 】【题干】 牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为 试销经过调查,得到如下数据：10 元/ 件的工艺品投放市场进行（1）把上表中 x
6、、y 的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想 y 与 x 的函数关系,并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润 =销售总价 成本总价）（3）菏泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35 元/ 件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【答案】 解：（ 1）画图如图：由图可猜想y 与 x 是一次函数关系,设这个一次函数为ykxbk0这个一次
7、函数的图象经过（20,500）、（ 30,400）这两点,50020kb,解得k10,40030kbb700函数关系式是y10x700（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是元,依题意得：Wx1010x70010x2800x700010x40 29000当时 x=40, W 有最大值 9000. （3）对于函数 W 10 x 40 2 9000,当 x 35 x 时, W 的值随着 x 值的增大而增大,销售单价定为 35 元件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大【解析】 设好一次函数关系式,利用函数的性质【例题 3 】【题干】 某公司营销A、B两种产品,依据市场调研,发觉如下信息：y=a
8、x2+bx在信息 1：销售 A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系x=1 时, y=1.4 ；当 x=3 时, y=3.6 信息 2：销售 B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x 依据以上信息,解答以下问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司预备购进A、B 两种产品共10 吨,请设计一个营销方案,使销售A、B 两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少？【答案 】解：（ 1）当 x=1 时, y=1.4 ；当 x=3 时, y=3.6 ,名师归纳总结 aab3 b.14.6,第 4 页,共 15 页93- - - - - -
9、-精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载W解得a0.1,b.15所以,二次函数解析式为y= 0.1x2+1.5x ；（2）设购进 A产品 m吨,购进 B 产品（ 10 m）吨,销售A、B 两种产品获得的利润之和为元,就 W= 0.1m 2+1.5m+0.3 （10 m）= 0.1m 2+1.2m+3= 0.1 （m 6）2+6.6 , 0.1 0,当 m=6时, W有最大值 6.6 ,购进 A 产品 6 吨,购进 B 产品 4 吨,销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6 万元【解析】 （1）把两组数据代入二次函数解析式,然后利用待定系数法求解即可
10、；（2）设购进 A 产品 m吨,购进 B 产品（ 10 m）吨,销售 A、B两种产品获得的利润之和为 W元,依据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到 数的最值问题解答【例题 4 】W与 m的函数关系式,再依据二次函【题干 】某高中学校为高一新生设计的同学单人桌的抽屉部分是长方体形其中,抽屉底面周长为 180cm,高为 20cm请通过运算说明, 当底面的宽x 为何值时, 抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽视不计）【答案 】已知抽屉底面宽为x cm ,就底面长为180 2-x= （ 90-x ）cm由题意得： y=x（ 90-x ） 20 =-20 （x2-90x ）3 40
11、500cm=-20 （x-45 ）2+40500 当 x=45 时, y 有最大值,最大值为40500答：当抽屉底面宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大体积为【解析】 依据题意列出二次函数关系式,然后利用二次函数的性质求最大值【例题 5 】【题干】 如图,在 Rt ABC中, C=90 , AC=3,BC=4,点 E在 AC上（点 E 与 A、C都不 重合）,点 F 在斜边 AB上（点 F 与 A、B都不重合）（）如 EF平分 Rt ABC的周长,设 式,并指出 x 的取值范畴；AE=x, AEF的面积为 y,写出 y 与 x 之间的函数关系（）试问：是否存在直线EF 将 Rt ABC的周长和
12、面积同时平分？如存在,求出AE的长；如不存在,说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【答案】 解：（）在直角三角形ABC中, AC=3,BC=4,所以 AB=5 三角形 ABC的周长为 12,又因 EF平方三角形 ABC的周长,AE+AF=6,而 AE=x,AF=6 x 过点 F作 FDAC于 D 就DFsinABC446x2x212x0x3 AFAB5DF46X5xDF4 65所以y1AEDF1x22555（）这样的EF存在,S ABC= BC.AC= 4 3=6 EF平分 ABC的面积,所
13、以2x2612x355解得：x260x 3 x6266 x 5 符合题意,所以这样的EF存在,此时 AE= 6 62AE=x得到 AF,然后表示出【解析】 （）依据DF,利用三角形的面积列出两个变量之间的关系式即可；（）依据 EF平分三角形ABC的面积列出有关x 的一元二次方程, 解得有意义即可判定存在【例题 6 】【题干】 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 B（2,0）三点y=ax2+bx+c 经过 A（ 2, 4）,O（ 0,0）,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求抛物线 y=ax2+
14、bx+c 的解析式；（2）如点 M是该抛物线对称轴上的一点,求 AM+OM的最小值【答案 】解：（1）把 A（ 2, 4）,O（ 0,0）,B（ 2,0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中,得4a2 bc4OB 4a2 bc0c0解这个方程组,得a1,b,1c02所以解析式为y1x2x2（2）由y1x2x1x1 21,可得222抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OM=BM OM+AM=BM+AM 连接 AB交直线 x=1 于 M点,就此时 OM+AM最小 过点 A作 ANx 轴于点 N,在 Rt ABN中,AB4AN2BN2424242因此 OM+AM最小值为2【解析】 1
15、待定系数法求函数解析式（2）两点之间线段最短四、课堂运用【基础】名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、如图,用长为 20 米的篱笆恰好围成一个扇形花坛,且扇形花坛的圆心角小于 180 ,设扇形花坛的半径为 米,面积为 平方米（注：的近似值取 3）（1）求出 与 的函数关系式,并写出自变量 的取值范畴；（2）当半径 为何值时,扇形花坛的面积最大,并求面积的最大值【答案】（1）设扇形的弧长为l 米. . . . 由题意可知,. 其中. . （2）当时,【解析】 此题主要考查了函数模型的挑选与应用此题涉
16、及中间量转换问题,不过依据公式进行转换难度不是很大. 2bxc的图像经过点P0, 1与 Q2, 3 2、已知二次函数yx（1）求此二次函数的解析式；（2）如点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点,过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图像于点 B,分别过点 B、A 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D,且所得四边形 ABCD恰为正方形求正方形的 ABCD的面积；联结 PA、PD,PD交 AB于点 E,求证：PAD PEA【答案】名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】【巩固】1、为勉励高校毕业
17、生自主创业,某市政府出台了相关政策：由政府和谐, 本市企业按成本价供应产品给高校毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明依据相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件 10 元,出厂价为每件 12 元,每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满意一次函数：y= 10x+500（1）李明在开头创业的第一个月将销售单价定为 为多少元？20 元,那么政府这个月为他承担的总差价（2）设李明获得的利润为 w（元）,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？（3）物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25 元假如李明想要每月获得的利润不低于 30
18、0 元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【答案】 ：（ 1）当 x=20 时, y= 10x+500=10 20+500=300,300 （ 12 10）=300 2=600,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即政府这个月为他承担的总差价为学习必备欢迎下载600 元（2）依题意得, w=（x 10）（10x+500）= 10x2+600x 5000 = 10（x 30）2+4000 a= 100,当 x=30 时, w有最大值 4000即当销售单价定为30 元时,每月可获得最大利润4000（3）由题意得：10
19、x2600x50003000解得： x 1=20,x 2=40a= 100,抛物线开口向下,结合图象可知：当 20x40 时,w3000又x25,当 20x25 时,w3000设政府每个月为他承担的总差价为 p 元,p=（12 10） （10x+500）= 20x+1000k= 200p 随 x 的增大而减小,当 x=25 时, p 有最小值 500即销售单价定为25 元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500 元【解析】 （1）把 x=20 代入 y= 10x+500 求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与 出厂价之间的差价；（2）由利润 =销售价 成本价,得w=（x 10）（10x+
20、500）,把函数转化成顶点坐标式,依据二次函数的性质求出最大利润；（3）令 10x 2+600x 5000=3000,求出 x 的值,结合图象求出利润的范畴,然后设设政府每 个月为他承担的总差价为 p 元,依据一次函数的性质求出总差价的最小值 . 【拔高】名师归纳总结 1、在“ 母亲节” 前夕,我市某校同学积极参加“ 关爱贫困母亲” 的活动,他们购进一批单价第 10 页,共 15 页为 20 元的“ 孝文化衫” 在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲经试验发觉, 如每件按 24 元的价格销售时,每天能卖出36 件；如每件按29 元的价格销售时,每天能卖出21 件假定每天销售件数y（件）与
21、销售价格x（元 / 件）满意一个以x 为自变量的一次函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载才能使每天获得的利润（1）求 y 与 x 满意的函数关系式（不要求写出x 的取值范畴）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情形下,销售价格定为多少元时,P 最大？【答案】 （1）设 y 与 x 满意的函数关系式为：y=kx+b 由题意可得：36 24 k b21 29 k b解得 k 3b 108故 y 与 x 的函数关系式为：y= 3x+108（2）每天获得的利润为 P=（ 3x+108）（ x 20）= 3x 2+168x 2160= 3（x 2
22、8）2+192故当销售价定为 28 元时,每天获得的利润最大【解析】 （1）设 y 与 x 满意的函数关系式为：y=kx+b ,由题意可列出 k 和 b 的二元一次方程组,解出 k 和 b 的值即可；（2）依据题意： 每天获得的利润为： P=（ 3x+108 ）（x 20）,转换为 P= 3（x 28）2+192,于是求出每天获得的利润 P 最大时的销售价格 . 2、已知：抛物线的对称轴为（0,-2 ）x=-1 与 x 轴交与 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A（-3,0 ）,C（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P,使得PBC 的周长最小恳求出点P 的坐标【答
23、案】 解：（ 1）由题意得b 2 a1a2 3c0解得b49 a3 b3c2c2名师归纳总结 所以此抛物线的解析式为y2x24x2PC+PB最小； B 点关第 11 页,共 15 页33（2）连结 AC,BC.由于 BC的长度肯定,所以PBC 周长最小,就是使于 Y 对称轴的对称点是A点, AC与对称轴的交点即为所求的点P；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设直线 AC的表达式为ykxb就,学习必备欢迎下载b3 k2b0 解得k223b2此直线的表达式为y2 x 3把 x=-1 代入得 y4x34 3）所以点 p 坐标为（ -1 ,【解析】依据已知条件
24、列出方程解抛物线的解析式；利用抛物线的对称性找到对称点即可课程小结二次函数的应用中有关最值的问题是和一元二次方程、一次函数相结合的产物,所以要求的综合才能较强, 对学问的要求也较高；在解决利润问题时, 应认清变量所表示的实际意义,留意隐含条件的使用,同时留意考虑问题要周全；课后作业【基础】1、教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发觉铅球行进高度y（ m）与水平距离x（m）之间的关系为y1x423,由此可知铅球推出的距离是_；12【答案】 10m 名师归纳总结 【解析】 此题考查二次函数的应用；令函数式y1x423中,y0,第 12 页,共 15 页12- - - - - - -精选学习资料 -
25、 - - - - - - - - 学习必备欢迎下载: 销售单价 x 元/ 件1x4230,12解得x 110 ,x22 舍去即铅球推出的距离是10m；【巩固】 某商场购进一种每件价格为100 元的新商品 , 在商场试销发觉与每天销售量y（件）之间满意如下列图的关系：（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x 之间的函数关系式；如你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少？【答案】 设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb（k 0）由所给函数图象得50130kb解得k130150kbb180y x180.函数关系式为2Wx 1
26、00y x 100 x180 x 2280x18000 x 140 2 1600当售价定为 140 元, W最大 1600.售价定为 140 元/ 件时 , 每天最大利润 W 1600 元【解析】 此题主要考查同学利用函数解决实际问题的才能,第一问,我们可以利用待定系数法求出一次函数的解析式；然后利用运算利润的公式：利润 到二次函数解析式,并会利用配方法求二次函数最值；【拔高】=（售价进价） 销售量,得1、某商场购进一批单价为 4 元的日用品 如按每件 5 元的价格销售, 每月能卖出 3 万件； 如按每件 6 元的价格销售,每月能卖出 2 万件,假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元 / 件
27、）之间满意一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？名师归纳总结 【答案】 ：（ 1）由题意,可设y=kx+b ,300005kb第 13 页,共 15 页把（ 5,30000）,（ 6,20000）代入得：200006kb- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解得：k 10000,b 80000所以 y 与 x 之间的关系式为：y= 10000x+80000 ；（2）设利润为 W,就 W=（x 4）（10000x+80000）= 10000（x 4）（
28、x 8）= 10000（x 2 12x+32）= 10000 （x 6）2 4 = 10000（x 6）2+40000 所以当 x=6 时, W取得最大值,最大值为 40000 元答：当销售价格定为 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元【解析】 （1）利用待定系数法求得y 与 x 之间的一次函数关系式；（2）依据 “ 利润 =（售价 成本）售出件数 ”,可得利润W 与销售价格x 之间的二次函数关系式,然后求出其最大值2、如图,抛物线y=ax2+bx+c（a 0）与双曲线yk相交于点 A,B,且抛物线经过坐标原x点,点 A的坐标为（2,2）,点 B在第四象限内,过点B作直线
29、 BC x 轴,点 C为直线 BC与抛物线的另一交点,已知直线 BC与 x 轴之间的距离是点B到 y 轴的距离的4 倍,记抛物线顶点为 E（1 ）求双曲线和抛物线的解析式；（2）运算ABC与 ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D,使 ABD的面积等于ABE的面积的 8 倍？如存在,恳求出点 D的坐标；如不存在,请说明理由【答案】 解：（ 1）点 A（ 2, 2）在双曲线yk上, k= 4,x双曲线的解析式为y4,x名师归纳总结 BC与 x 轴之间的距离是点B 到 y 轴距离的 4 倍,m=1,第 14 页,共 15 页设 B点坐标为（ m, 4m）（ m0）代入双曲线解析式得抛物线 y
30、=ax2+bx+c（ a0）过点 A（ 2,2）、 B（1,4）、 O（0,0）,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4a2 bc2a1abc4解得：b3c0c0故抛物线的解析式为y= x2 3x；（2）抛物线的解析式为y= x2 3x,顶点 E（3 ,29 ）,对称轴为 4x=-3 ,2B （1, 4）, x 2 3x= 4,解得： x1=1, x2= 4,C（ 4, 4）,S ABC=5 61 =15,2AB的解析式为： y= 2x 2,3 ,1）,2由 A、B 两点坐标为（2,2）,（ 1,4）可求得直线设抛物线的对称轴与AB交于点
31、 F,就 F 点的坐标为（EF=9 1= 45 ,4S ABE=S AEF+S BEF=1 25 3= 415 ；8【解析】 （1）将点 A 的坐标代入双曲线方程即可得出k 的值,设 B 点坐标为（ m, 4m）（m0）,依据双曲线方程可得出m的值,然后分别得出了A、B、 O的坐标,利用待定系数法求解二次函数解析式即可；（2）依据点 B的坐标,结合抛物线方程可求出点 C的坐标,继而可得出三角形 ABC的面积,先求出 AB的解析式,然后求出点 F 的坐标,及 EF的长,继而依据 S ABE=S AEF+S BEF可得出答案（3）先确定符合题意的三角形 ABD的面积, 继而可得出当点 D与点 C重合时, 满意条件, 过点 C作 AB的平行线 CD,就可求出其解析式,求出其与抛物线的交点坐标即可得出点 D的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页