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1、学习必备欢迎下载求二次函数的解析式及二次函数的应用2014.6.8 一、求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法 ，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式 ；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式 ；（3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式 ；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 。二、 二次函数的应用：（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二
2、次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。三、二次函数的三种表达形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a0,a 、b、c 为常数 )，顶点坐标为, 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值。2、顶点式 ：y=a(x-h)2+k(a 0,a 、h、k 为常数 )，顶点坐标为对称轴为直线x=h ，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h 时， y 最值 =k 。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y 的顶点 (1,2) 和另一任意点(3,10) ，求 y 的解析式。解
3、：设 y=a(x-1)2+2 ，把 (3,10) 代入上式，解得y=2(x-1)2+2 。注意 ：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h0 时， h 越大，图像的对称轴离y 轴越远，且在x 轴正方向上，不能因h 前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当 h0 时， y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位得到；当 h0 ，k0 时，将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y
4、=a(x-h)2+k 的图象；当 h0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0 ，k0 时，开口方向向上；a0 ，那么当时， y 有最小值且y最小=；如果 a0 ，那么，当时， y 有最大值，且y最大=。例：已知二次函数当x4时有最小值 3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载点拨：析解 二次函数当x4时有最小值3，顶点坐标为（4，-3 ） ，对称轴为直线x4，抛物线
5、开口向上。由于图象与x 轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是（ 1，0）和（ 7，0） 。抛物线的顶点为（4，-3 ）且过点（ 1， 0） 。故可设函数解析式为ya(x 4)2 3。将（ 1，0）代入得 0a(1 4)23, 解得 a13 y 13(x 4)2-3 ，即 y13x283x 73。 典型例题三 ：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如 ：已知二次函数的图象经过点A（3，-2 ）和 B（1，0） ，且对称轴是直线x 3求这个二次函数的解析式. 已知关于x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1 ，图象交y 轴于点（ 0，
6、2） ，且过点（ -1 ，0） ，求这个二次函数的解析式. 已知抛物线的对称轴为直线x=2 ，且通过点（ 1，4）和点（ 5，0） ，求此抛物线的解析式. 二次函数的图象的对称轴x=-4 ，且过原点，它的顶点到x 轴的距离为 4，求此函数的解析式 典型例题四 ：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位 , 再向下平移 2 个单位 , 所得图像的解析式是 y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_ 。点拨 ：解： 先将 y=x2-3x+5 化为 y=(x-23)2+5-49, 即 y=(x-23)2+411。它是由抛物线y=ax2+bx
7、+c的图像向右平移3 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的，原抛物线的解析式是y=(x-23+3)2+411+2=(x+23)2+419=x2+3x+7 。作业典型题2014.6.8 1、如图，在一块三角形区域ABC中， C=90 ，边AC=8 ，BC=6 ，现要在 ABC 内建造一个矩形水池 DEFG ，如图的设计方案是使DE在 AB上（1）求 ABC中 AB边上的高h；（2）设 DG=x ，当 x 取何值时，水池DEFG的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距 B点 1.85 的 M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角
8、形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载分 析 ： （1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高；（2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x 的代数式表示GF ，得到水池的面积y 关于 x 的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x 的值；（3）根据相似形可算出BE小于 1.85 ，大树在最大水池的边上，为了避开，以C 为点在三边上各去一点矩形二边与三角形二直角边重合答：解：如图， （1）过点 C作 CIAB ，交 GF于 H，在 ABC中用勾股定理得：AB=
9、10 ，SABC=21AC?BC=21AB?CI ，2168=2110CI，CI=4.8 ；ABC中 AB边上的高h=4.8 （2）水池是矩形，GF AB ，CGF CAB ，CH ， CI 分别是 CGF和CAB对应边上的高，CH / CI =GF / AB ，8 .4x8.4 =10GF，GF=10 -1225x，10- 1225x0，0 x524，设水池的面积为y，则y=x（ 10- 1225x）=-1225x2+10 x，当 x=-1225210=2.4 时，水池的面积最大；（3）FE AB ，CIAB ，FE CI，BFE BCI，FE ： CI=BE：BI，又FE=2.4， CI=
10、4.8 ，在 RtBCI 中用勾股定理可得BI=3.6 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载BE=CIBIFE * =8.46.34.2=1.8 ，BE=1.8 1.85 ，这棵大树在最大水池的边上为了保护这棵大树，设计方案如图：2、如图，二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2） ，矩形 ABCD 的顶点 BC在 x 轴上， A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x 轴所围成的图形内（1）求二次函数的解析式；（2）设点 A的坐标为（ x， y） ，试求矩形ABCD 的周长 P关于自变量x
11、的函数解析式，并求出自变量 x 的取值范围；（3）是否存在这样的矩形ABCD ，使它的周长为9？试证明你的结论（4）求出当 x 为何值时 P有最大值？分析：（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=-mx2+4m ，求得 m=1 / 2 ，即可求得抛物线的解析式；（2）由图及四边形ABCD 为矩形可知AD x 轴，长为 2x 的据对值， AB 的长为 A 点的总坐标，由x 与 y 的关系，可求得p 关于自变量x 的解析式，因为矩形ABCD 在抛物线里面，所以 x 小于 0，大于抛物线与x 负半轴的交点；（3）由（ 2）得到的 p 关于 x 的解析式，可令p=9，求 x 的方程，看x 是否有解，有
12、解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p（4）此题就是将 p 关于 x 的解析式看成抛物线的解析式，求其顶点即可解答：解：（1）二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2） ，4m=2 ，即 m=1 / 2 ，抛物线的解析式为：y=-21x2+2；（2）A点在 x 轴的负方向上坐标为（x，y） ，四边形ABCD为矩形， BC在 x 轴上，AD x轴，又由抛物线关于y 轴对称，所以 D、C点关于 y 轴分别与 A、B对称A 在 x 轴的负半轴上，x 0，所以 AD的长为 -2x ，AB长为 y，所以周长p=2y+（-4x ） =2（-21x2+2）-4x=- （x+2）2+8四边形ABCD
13、 为矩形，y 0，即 x-2所以 p=-（x+2）2+8，其中 -2 x0（3）不存在，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载证明：假设存在这样的p，即：9=-（ x+2）2+8，解此方程得：x 无解，所以不存在这样的p（4）由 p=- （x+2）2+8，且 -2x 0故 p 没有最大值3、如图，一次函数y=-4x-4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C两点，抛物线y=34x2+bx+c 的图象经过A、C两点，且与x 轴交于点B。（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC
14、的面积；（3）作直线 MN平行于 x 轴，分别交线段AC、BC于点 M 、N，问在 x 轴上是否存在点P，使得 PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条 件 的P点 的 坐 标 ； 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。解： （1）对于一次函数y=-4x-4，令 x=0 ，得 y=-4 ，故点 C 的坐标为（ 0，-4 ） ，令 y=0 ，得 x=-1 ，故点 A 的坐标为（ -1 ，0） ，把 A、C 两点坐标代入y=x2+bx+c得解得y=34x2-x38-4 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12
15、页学习必备欢迎下载（2）顶点为 D（1，-316） ，A、B 两点关于对称轴x=1 对称，点 B 的坐标为（ 3，0） ，设直线 DC 交 x 轴于点 E，如图 1，由 D（1，-316）C （0， -4 ） ，图1 易求直线CD 的解析式为y=-34x-4 易求E（-3 ，0） ，S四边形ABDC=SEDB-SECA=12 ；（3）存在，MN x 轴， CMN CAB ，设（a）当 MP=MN或 NP=MN时，如MN=a ，即图2 ，a=2 ， 当 PMN=90时，MP OC， AMP ACO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8
16、页，共 12 页学习必备欢迎下载，即，OP=0.5 ，P1的坐标为（ -0.5 ，0） ， 当 PNM=90时，NP OC ， BNP BCO，即，OP=1.5 ，P2的坐标为（ 1.5，0）（b）当 MPN=90， PM=PN时，如图 3，过点 P 作 PQMN ，垂足为Q，则 PQ=QM=QN，设 PQ=d ，则 QM=QN=d，MN=2d 则=（已证）即d=，过点 N 作 NG x 轴，垂足为G，则 PQ=GN=QN=PG=NG OC， BNG BCO ，即，BG=1 ，OP=OB-BG-PG=3-1-，P3的坐标为（， 0） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
17、总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载综上（ a） 、 （b） ，存在满足条件的点P 有3个，坐标分别是P1（ -0.5 ，0） 、P2（ 1.5，0） 、P3（，0） 。4、 某宾馆客房部有60个房间供游客居住， 当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满 当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用设每个房间每天的定价增加x 元求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关
18、于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？解： （ 1）由题意得：y=60-10 x（2） z=（200+x） （ 60-10 x）=-101 x2+40 x+12000（3 分）（3） w= （200+x） （ 60-10 x）-20 （ 60-10 x） （2 分）=-101x2+42x+10800 =-101（x-210 ）2+15210 当 x=210 时， w有最大值此时，x+200=410， 就是说，当每个房间的定价为每天410 元时，w有最大值， 且最大值是15210元5、枇杷是莆田名果之一，某果园有100 棵枇杷树每棵平均产量为40 千克
19、，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验， 每多种一棵树， 投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？注：抛物线的顶点坐标是解：设增种x 棵树，果园的总产量为y 千克，依题意得： y=（100 + x ）(40 - 0.25x ) =4000 - 25x + 40 x - 0.25x2= - 0.25 x2 + 15x + 4000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10
20、 页，共 12 页学习必备欢迎下载因为 a= - 0.250，所以当，y 有最大值答:最多总产量是4225 千克5、经调查研究，某工厂生产的一种产品的总利润y（元）与销售价格x（元 / 件）的关系式为y=-4x2+1360 x-93200 ，其中 100 x 245 （1）销售价格x 是为多少元时，可以使总利润达到22400 元？（2）总利润可不可能达到22500 元？解： （ 1）由题意，把 y=22400 代入 y=-4x2+1360 x-93200 ，方程为写成：x2-340 x+28900=0 ，解得 x1=x2=170；（2）把 y=22500 代入 y=-4x2+1360 x-93
21、200 得，x2-340 x+28925=0 ，a=1， b=-340 ，c=28925，b2-4ac= （-340 ）2-4128925= -100 0，方程没有实数根故总利润可不可能达到22500 元6、某电器商场将进价为2000 元的彩电以2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种彩电的售价每降低 50 元，平均每天可多售出4 台（1）假设每台彩电降价x 元，商场每天销售这种彩电的利润是y 元，请写出y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）每台彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高
22、？最高利润是多少？解： （ 1）根据题意，得y=(2400-2000-x)(8+450 x) ，即 y=-252x2+24x+3200；（ 2）对于 y=-252x2+24x+3200，当 x=-=15150252224）（时，y最大值=(2400-2000-150)(8+450150)=250 20=5000；所以，每台彩电降价150 元时，商场每天销售这种彩电的利润最大，最大利润是5000 元7、某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y甲（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y 甲=0.3x ；乙种水果的销售利润 y乙（万元）与进货
23、量x（吨）近似满足函数关系：y乙=-0.1x2+bx（其中 b 为常数），且进货量 x 为 1 吨时，销售利润y乙为 1.4 万元（1）若求 y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式并计算说明：乙种水果进货多少的时候销售利润y乙（万元）才能最大？最大利润是多少？（2）甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元），需要进货多少吨？（3）如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10 吨，请你通过计算说明如何进货（这两种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载水果各进多少吨）才能获得销售利
24、润之和最大，最大利润是多少？解：（1）由题意得：进货量x 为 1 吨时，销售利润y乙为 1.4 万元，-1+b=1.4 ，解得： b=2.4 ，y乙=-0.1x2+2.4x=-0.1（x2-24x ）=-0.1 （x-12 ）2+14.4 ；（2）当甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元），则 0.3x=14.4 ，解得： x=28，答：需要进货28 吨；（3） W=y甲+y乙=0.3 （10-x ）+（-0.1x2+2.4x ） ，W=-0.1x2+2.1x+3 ，W=-0.1（t-10.5）2+6.6 t=6 时， W有最大值为： 6.6 10-6=4（吨）答：甲、乙两种水果的进货量分别为4 吨和 6 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6 万元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页