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1、精品学习资源二次函数的应用利润问题 例 1：求以下二次函数的最值：欢迎下载精品学习资源（ 1）求函数 yx22x3 的最值欢迎下载精品学习资源解： y x1 24欢迎下载精品学习资源当 x1时， y 有最小值4 ，无最大值欢迎下载精品学习资源（ 2）求函数 yx 22x3 的最值 0x 3欢迎下载精品学习资源解： y x1 24欢迎下载精品学习资源 0x3 ，对称轴为 x1欢迎下载精品学习资源当 x0时y有最小值3；当x3时y有最大值 12 欢迎下载精品学习资源 例 2 ：某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价 1 元，每
2、星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，y1 为涨价时的利润，y2 为降价时的利润欢迎下载精品学习资源就： y16040x30010x欢迎下载精品学习资源10 x210 x10x 5 26006250欢迎下载精品学习资源当 x5 ，即：定价为65 元时，ymax6250（元）欢迎下载精品学习资源y26020x20x4020 x2.52x30015612520x欢迎下载精品学习资源当 x2 .5 ，即：定价为 57.5 元时，ymax6125（元）欢迎下载精品学习资源综合两种情形，应定价为65 元时，利润最大 练
3、习 ：1某商店购进一批单价为20 元的日用品，假如以单价30 元销售，那么半个月内可以售出 400 件依据销售体会，提高单价会导致销售量的削减，即销售单价每提高1元，销售量相应削减20 件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，欢迎下载精品学习资源就： y30x20 40020 x欢迎下载精品学习资源20x20 x10 x5 2204500欢迎下载精品学习资源当 x5 ，ymax4500（元）欢迎下载精品学习资源答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润2某旅行社组团去外地旅行，30 人起组团，每人单价800 元旅行社对超过30 人的团赐予优惠
4、，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10 元你能帮忙分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有 x 人 x30 ，营业额为 y 元，欢迎下载精品学习资源就： yx80010 x30欢迎下载精品学习资源10 x x10x11055 230250欢迎下载精品学习资源当 x55 ，ymax30250 （元）欢迎下载精品学习资源答：当旅行团的人数是55 人时，旅行社可以获得最大营业额 例 3：某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x 元 与产品的日销售量y 件之间的关系如下表：如日销售量y 是销售价 x 的一次函数求出日销售量 y 件 与销售价 x 元的函数
5、关系式；x（元） y（件）欢迎下载精品学习资源152030252010要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？欢迎下载精品学习资源解：设一次函数表达式为y kxb 欢迎下载精品学习资源15kb就2kb25,k1解得，20b40欢迎下载精品学习资源即一次函数表达式为yx40 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为 w 元欢迎下载精品学习资源w x x2 x10 y50 x25 2 x 40022510x40欢迎下载精品学习资源当 x25 ，ymax225（元）欢迎下载精品学习资源答：产品的销售价应定为25 元时，每日获得最大销售利润为225 元【
6、点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区分，主要有两点：在 “当某某为何值时，什么最大 或最小、最省 ”的设问中， .“某某 ”要设为自变量，“什么”要设为函数；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程3（ 2006 十堰市）市 “健益 ”超市购进一批20 元/千克的绿色食品，假如以30.元/ 千克销售，那么每天可售出400 千克由销售体会知，每天销售量y 千克 与销售单价 x 元 x30 ）存在如下图所示的一次函数关系式试求出 y 与 x 的函数关系式；设 “健益 ”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？依据市场调查，
7、该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮忙该超市确定绿色食品销售单价x 的范畴 直接写出答案 解：设 y=kx+b 由图象可知，欢迎下载精品学习资源30kb40kb400,200k解之得 :b20，1000欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即一次函数表达式为y20x100030x50 欢迎下载精品学习资源 P x20 yx2020x1000欢迎下载精品学习资源20x 21400 x20000欢迎下载精品学习资源 a200 P 有最大值欢迎下载精品学习资源当 x140035 时，Pmax4500 （元）欢迎下载精品学习资源220欢迎下载精
8、品学习资源（或通过配方， P20 x35 24500，也可求得最大值）欢迎下载精品学习资源答：当销售单价为35 元/千克时，每天可获得最大利润4500 元欢迎下载精品学习资源 418020 x35 245004480欢迎下载精品学习资源1x35216欢迎下载精品学习资源 31x.34或 36x39作业布置：欢迎下载精品学习资源1. 二次函数y1 x22x1，当 x=_ -1， _时， y 有最 _小_值，这个值是3 2欢迎下载精品学习资源2. 某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，就具有这样性质的抛物线的表达式可能为欢迎下载精品学习资源yx21 只写一个 ，此类函数都有 _大_值填 “最大 ”
9、“最小 ”欢迎下载精品学习资源3. 不论自变量 x 取什么实数，二次函数y=2x26x+m 的函数值总是正值，你认为m 的取欢迎下载精品学习资源值范畴是 m9 ，此时关于一元二次方程2x2 6x+m=0 的解的情形是 _有解 _填“有解 ”2欢迎下载精品学习资源或“无解 ”欢迎下载精品学习资源解： y2 x3 2m922欢迎下载精品学习资源 2x3 220 ，要使 y0 ，只有 m920 m9212欢迎下载精品学习资源4. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线yx3.5 的一5欢迎下载精品学习资源部分，如下列图，如命中篮圈中心，就他与篮底的距离L 是 4.5M 欢迎下载精品学习资源解：当 y
10、3.05 时， y1 x253.53.05欢迎下载精品学习资源x 250.45 ， x1.5 或 x1.5 （不合题意，舍去）欢迎下载精品学习资源5. 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻欢迎下载精品学习资源力的情形下，其上上升度s（ m）与抛出时间t（ s）满意： S=V10t-2gt2 （其中 g 是常欢迎下载精品学习资源数，通常取 10m/s2），如 V 0 =10m/s，就该物体在运动过程中最高点距离地面7_m欢迎下载精品学习资源解： s5t 210t5t1 25欢迎下载精品学习资源当 t1 时，smax5，所以，最高点距离地面527 M
11、欢迎下载精品学习资源6. 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数有讨论说明，晴天在某段大路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S（ m）可由公式 S=1V 2100欢迎下载精品学习资源确定；雨天行驶时，这一公式为S= 150V 2假如车行驶的速度是60km/h ，那么在雨天欢迎下载精品学习资源行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_M 7. 将进货单价为70 元的某种商品按零售价100 元售出时，每天能卖出20 个如这种商品的零售价在肯定范畴内每降价1 元，其日销售量就增加了1 个，为了获得最大利润， 就应降价 _5_元，最大利润为 _625_元解：设每件价格降
12、价x 元，利润为y 元，欢迎下载精品学习资源就： yx210010x70600x 20 xx52625欢迎下载精品学习资源当 x5 ，ymax625（元）欢迎下载精品学习资源答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润8如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，假如他的出手处A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点B8， 9，就这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出了约M 精确到 0.1 m yBAOx欢迎下载精品学习资源解：设 ya x8 29 ，将点 A 0,1代入，得 a18欢迎下载精品学习资源y1 x 8令 y0 ，得8 2y91 x81
13、 x 288 22 x190欢迎下载精品学习资源2 x889欢迎下载精品学习资源x862 ， C862,0 ， OC886224.5 M欢迎下载精品学习资源9（ 2006 年青岛市）在2006 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情形进行了调查统计，得到如下数据：销售价 x（元/千克）25242322销售量 y（千克）2000250030003500（ 1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x， y）所对应的点连接各点并观看所得的图形，判定y 与 x 之间的函数关系，并求出y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）如樱桃进价为13 元/千克，试求销售
14、利润P（元）与销售价x（元 /千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时， P 的值最大？ 解：（ 1）由图象可知， y 是 x 的一次函数，设 y=kx+b ，点（ .25， 2000），（ 24，2500）在图象上，欢迎下载精品学习资源200025kbk500,解得 :，欢迎下载精品学习资源250024kbb y=-500x+14500 （ 2）P=x-13 y=x-13 -500x+1450014500欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源500x500x 2500x 213 x42x 42x29377441441377欢迎下载精品学习资源=-500x-21 2+32000P 与 x
15、 的函数关系式为 P=-500x 2+21000x-188500 ，当销售价为 21 元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000 元10. 有一种螃蟹，从海上捕捉后不放养，最多只能存活两天假如放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有肯定数量的蟹死去假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30 元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1 元，但是，放养一天需支出各种费用为 400 元，且平均每天仍有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克 20 元(1) 设 x 天后每千克活蟹的市场价为
16、p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式；(2) 假如放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出 Q关于 x 的函数关系式(3) 该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润利润 =Q收购总额 ？ 解： 1 由题意知： p=30+x,2由题意知：活蟹的销售额为1000 10x30+x 元,死蟹的销售额为 200x 元. Q=1000 10x30+x+200x= 10x2+900x+30000.3设总利润为 W 元就： W=Q 1000 30 400x= 10x2+500x+6250.= 10x 2 50x = 10x 25 2当 x=25 时，总利润最大，
17、最大利润为6250 元 答：这批蟹放养 25 天后出售，可获最大利润11. 2021 湖北恩施 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近， 州委州政府又出台了一系列“三农 ”优惠政策，使农夫收入大幅度增加某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20 元/千克市场调查发觉，该产品每天的销售量 千克 与销售价 元/千克 有如下关系： = 2 80设这种产品每天的销售利润为元(1) 求与之间的函数关系式；(2) 当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少.(3) 假如物价部门规定这种产品的销售价不得高于28 元/千克，该农户想要每天获得150 元的销售利润，
18、销售价应定为多少元.欢迎下载精品学习资源解： yx20w x202x80欢迎下载精品学习资源2x20 x2 x24060x8002x30 2200欢迎下载精品学习资源2x 2当 x30 ，120 xymax1600200 （元）欢迎下载精品学习资源(1) y 与 x 之间的的函数关系式为；y2x 2120x1600欢迎下载精品学习资源22(2) 当销售价定为 30 元时，每天的销售利润最大，最大利润是200 元欢迎下载精品学习资源(3) 32 x30200150， x3025欢迎下载精品学习资源x13528 （不合题意，舍去）x225答：该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为25
19、 元12 2021 河北 讨论所对某种新型产品的产销情形进行了讨论，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品供应了如下成果：第一年的年产量为x 吨 时，所需的全部费用y 万12欢迎下载精品学习资源元）与 x 满意关系式 yx105x90 ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两欢迎下载精品学习资源地每吨的售价，（万元）均与满意一次函数关系（注：年利润年销售额 全部费用）（ 1）成果说明，在甲地生产并销售吨时，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（ 2）成果说明，在乙地生产并销售吨时，（ 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35 万元试确定的值；（ 3）受资金、生产才能等多种因素的影响，某投资商方案第一年生产并销售该产品18 吨，依据（ 1），（ 2）中的结果，请你通过运算帮他决策，挑选在甲地仍是乙地产销才能获得较大的年利润？解： （ 1）甲地当年的年销售额为万元；（ 2）在乙地区生产并销售时，年利润由，解得或经检验，不合题意，舍去，（ 3）在乙地区生产并销售时，年利润，欢迎下载精品学习资源将代 入 上 式 ， 得（ 万 元 ） ； 将，得（万元），应选乙地代 入欢迎下载