2022年二次函数基础知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课题二次函数学习好资料欢迎下载教学目标重 点难 点一、全面懂得二次函数的定义(1)二次函数有四种表达形式二次一项式型:形如 y=ax 2(a 是常数,且 a 0),x 取任意实数;二次二项式型:形如 y=ax 2+bx(a 是常数,且 a 0,b 是常数, b 0),x 取任意实数;二次二项式型:形如 y=ax 2+c(a 是常数,且 a 0,c 是常数, c 0),x 取任意实数;二次三项式型:形如 y=ax 2+bx +c (a 是常数,且 a 0,b 是常数, b 0,c 是常数, c 0),x取任意实数;(2)不论是哪一种表示形式, 都

2、必需规定 a 0,否就,就没有了二次项, 二次函数就没有意义了 ;(3)二次函数解析式的三种形式(1)一般式:yax2bxc说明:当已知抛物线上任意三点或三组(a,b,c 为常数, a 0)x,y 的对应值时时, 通常设函数解析式为(2)顶点式:ya xh 2k一般式;当已知抛物线顶点坐标或对称轴,(a 0)函数最值等及第三点时,设二次函数(3)交点式:ya xx 1xx 2ya xh2k ,求解;(a 0)已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时,通常设为交点式作业名师归纳总结 二、把握二次函数的图像和性质第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

3、- - - 学习好资料 欢迎下载y=ax 2(a 是常数,且 a 0)的图像和性质y=ax 2+bx(a 是常数,且 a 0,b 是常数, b 0)的图像和性质y=ax 2+c(a 是常数,且 a 0,c 是常数, c 0)的图像和性质名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载y=ax 2+bx +c(a 是常数,且 a 0,b 是常数, b 0,c 是常数, c 0)的性质 a0 时 ,开口向上; a0 时,开口向下顶点坐标是( -b,4acab2),对称轴是直线 x=-b;4acb2;2a42 a当

4、a0 时 ,函数有最小值, y=4acab2;a0 时,函数有最大值, y=44 a性质,当 a0 时,在对称轴的左边, y 随 x 的增大而减小,在对称轴的右边,的增大而增大;当 a0 时,在对称轴的左边, y 随 x 的增大而增大,在对称轴的右边,y 随 x y 随 x的增大而减小 . 三、会结合图像确定y=ax +bx +c (a 是常数,且a 0,b是常数, b 0,c 是常数, c 0)的四种符号a 的符号:看抛物线的开口方向:开口向上, a0;开口向下 a0; b 的符号:有对称轴的位置和的a 符号确定:对称轴是 y 轴, b=0;对称轴在原点的左侧:b0,2a对称轴在原点的右侧,

5、b0;2ac 的符号:看抛物线与 y 轴交点的位置:名师归纳总结 交点在原点, c=0;第 3 页,共 9 页交点在原点以上, co;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载交点在原点以下, c0;b 24ac 的符号:看抛物线与 x 轴交点的个数:抛物线与 x 轴有两个交点 b b24ac0;抛物线与 x 轴有一个交点 b24ac=0,抛物线与 x 轴没有交点24ac0,四、把握确定二次函数关系式的基本条件确定二次函数的关系式,要具备的基本条件是:对于表达式是 y=ax 2(a 0)的 , 要确定出待定字母 a 的值的基本条件是:知道图

6、像上一个点的坐标;对于表达式是 y=ax 2+bx(a 0)的, 要确定出待定字母 a、b 的值的基本条件是:知道图像上两个点的坐标;对于表达式是 y=ax 2+c(a 0)的, 要确定出待定字母 a、c 的值的基本条件是:知道图像上两个点的坐标;对于表达式是 y=ax-h 2(a 0)的, 要确定出待定字母a、h 的值的基本条件是:知道图像上两个点的坐标;a、h、k 的值的基本条对于表达式是 y=ax-h2+ka 0)的, 要确定出待定字母件是:知道图像上三个点的坐标;特别条件:知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标 对于表达式是 y=ax 2+bx+c(a 0)中, 要确定出待定字母 件是

7、:知道图像上三个点的坐标;这是最基本的懂得;五、确定二次函数关系式的基此题型4.1 二次函数关系式设为: y=ax 2(a 0)a、b、c 的值的基本条例 1、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为 20 米,水位上升 3 米就达到戒备水位线 CD,这时水面的宽度为 中,求出二次函数的解析式;10 米;请你在如图 1 所示的平面直角坐标系解:依据图象,知道抛物线的对称轴是 标为原点,y 轴,顶点坐 2(a 0),所以,不妨设二次函数的解析式:y=ax由于, AB=20,所以, FA=FB=10,由于, CD=10,所以, EC=ED=5 所以,点 A的坐标为( -10 ,y ),所以,1y

8、),点 C的坐标为( -5 ,名师归纳总结 y = a ( -5 )2=25a,第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1y = a (-10 )2=100a,学习好资料欢迎下载由于, EF=3,所以,y -1y =3,所以, 25a -100a=3 ,解得: a=-1 ,所以,所求函数的解析式:25y=-1 x 252;小结:当知道抛物线的顶点坐标为原点,且对称轴是通常的解题思路如下:y=ax2(a 0)设二次函数的解析式为:y 轴时,要求二次函数的解析式,把已知点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于 解方程,求得 a 值;a 的一元

9、一次方程;把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式;4.2 二次函数关系式设为: y=ax 2+bx(a 0)例 2、(2022 年巴中市)王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满意抛物线 y 1x 2 8 x ,其中 y (m)是球的飞行高度,5 5的水平距离,结果球离球洞的水平距离仍有 2m,如图 2 所示;x (m)是球飞出(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴(2)恳求出球飞行的最大水平距离(3)如王强再一次从今处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,就球飞行路线应满意怎样的抛物线,求出其解析式解:名师归纳总结 (1)y1x28xx4;第 5 页,

10、共 9 页551x421655所以,抛物线y1x28x 的开口向下,顶点为4,165,对称轴为直线55(2)令y0,得:1x28x0,5510m 解得:x 10,x 28,所以,球飞行的最大水平距离是8m(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,就球飞行的最大水平距离为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载所以,抛物线的对称轴为 x 5,顶点为( 5,16 ),5 设此时对应的抛物线解析式为:y=ax 2+bx(a 0),由于,抛物线经过点( 10,0),所以, 100a+10b=0,即 10a+b=0,由于,抛物线经过点( 5,16 )

11、,516x232x ;所以, 25a+5b= 16 ,即 5a+b= 16 ,5 25解得:a16,b=32 ,25125所以,二次函数的解析式是:y12525小结 : 当知道抛物线经过原点,且抛物线与x 轴相交,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:y=ax2+bx(a 0)设二次函数的解析式为:把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a、b 的二元一次方程组;解方程组,求得 a、b 值;把 a、b 的值代入所设的解析式中,得二次函数的 解析式;4.3 二次函数关系式设为: y=ax 2+c(a 0)例 3、桂林红桥位于桃花江上,是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线,该桥的部 分横截面如图

12、3 所示,上方可看作是一个经过、三点的抛物线,以桥面 的水平线为轴, 经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴,建立直角坐标系,已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米(图中用线段、等表示桥柱)米,米(1)求经过、三点的抛物线的解析式;(2)求柱子的高度;解:由于,抛物线的对称轴是 y 轴,所以,设二次函数解析式为:y=ax 2+c(a 0),由于,二次函数图象过点 C(0,1),所以, c=1,由于,此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米(图中用线段、等表示桥柱),且米,所以,点 F 的坐标是( -4 ,2),所以, 16a+1=2,名师归纳总结 解得: a=1 ,16y=1 x 162+1;第 6

13、 页,共 9 页所以,二次函数的关系式是:(2),由于, OD=8米,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载设点 A 的坐标是( -8 ,y),所以, y=1 ( -8 )162+1=5,5 米;因此,柱子的高为小结:当知道抛物线的顶点在y 轴上,和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=ax2+c(a 0)把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于 解方程组,求得 a、c 值;a,c 的二元一次方程组;把 a、c 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式;4.4 二次函数

14、关系式设为: y=ax-h 2(a 0)例 4、在直角坐标平面内, 二次函数图象的顶点为 求该二次函数的解析式;解:设二次函数解析式为:y=a(x-1 )2,由于,二次函数图象过点B(3,4),所以, 4a=4,A(1,0),且过点 B(3,4)解得: a=1, 所以,二次函数解析式为:y=(x-1 )2,即 y=x2-2x+1 ;小结:当知道抛物线的顶点坐标:M(h,0)和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=a(x-h )2a 0)把点 A 的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a 的一元一次方程;解方程,求得 a 值;把 a

15、 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式;4.5 二次函数关系式设为: y=ax-h 2+ka 0)例 5、在直角坐标平面内, 二次函数图象的顶点为 求该二次函数的解析式;解:设二次函数解析式为:y=a(x-1 )2-4 ,由于,二次函数图象过点B(3,0),所以, 4a-4=0,A(1,-4 ),且过点 B(3,0)解得: a=1, 所以,二次函数解析式为:y=(x-1 )2-4 ,即 y=x 2-2x-3 ;六、把握求抛物线 y=ax2+bx +c(a 是常数,且 a 0,)顶点坐标的两种方法1、配方法求顶点坐标名师归纳总结 基本步骤是:1,各系数提取 a,得:第 7 页,共 9 页把

16、二次项的系数化成- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载y=a(x 2 bx c ,a a在括号里现加上一次项系数一半的平方,接着再减去一次项系数一半的平方,得:y=a(x2bxc=a【x22b axb2b2c】,aa2a2aa配方,并整理,得:x222】,b axbbcy=a(x2bxc=a【aa2a2aa= a 【xb24acab】,2a42去掉括号,得:y=a(x2b ax2c=a【x2bxb2b2c】,aa2a2aa= a 【xb4acb2】,2a4a2=axb24acb22a4a写出函数的坐标:所以,抛物线的顶点坐标是: (-b

17、,4acb2);2a4 a2、公式法求顶点坐标y=ax2+bx +c (a 是常数,且a 0,)的顶点坐标是( -b,4acab2),在求顶2 a4点坐标时, 同学们就可以熟记这个式子, 把它作为求函数顶点坐标的一个公式来用;用的基本步骤是:依据 y=ax 2+bx +c (a 是常数,且 a 0),确定 a、b、c 的值,代入 x=-b 中,求顶点坐标的横坐标,2 a2代入 x= 4 ac b 中,求顶点坐标的纵坐标,4 a横坐标,纵坐标合起来,写出顶点的坐标;七、娴熟应用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数的解析式, 主要有三种方式, 同学们要娴熟把握其条件特点和挑选的求解模式;(1)

18、设解析式是一般式名师归纳总结 条件特点:已知抛物线上任意的三个点的坐标,求解析式第 8 页,共 9 页当知道抛物线上一般的三个点的坐标:A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载a、b、c 的三元一要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a 0)把点 A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中,转化成关于 次方程组;解方程组,求得a、b、c 的值;把 a、b、c 的值分别代入所设的解析式中,得二次函数的解析式;(2) 设解析式是顶点式条件特点:已

19、知抛物线的顶点坐标,和某一个点的坐标,求解析式当知道抛物线的顶点坐标:M(h,k)和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=a(x-h )2+k(a 0)把点 C的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a 的一元一次方程;解方程,求得 a 值;把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式;(3)设解析式是交点式条件特点:已知抛物线与 x 轴的交点坐标,和某一个点的坐标,求解析式 当抛物线与 x 轴的交点坐标: A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,y3)时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:设二次函数的解析式为:y=a(x-x1)(x-x2)(a 0)把点 C的坐标代入所设的解析式中,转化成关于 a 的一元一次方程;解方程,求得 a 值;把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式;名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页

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