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1、名师总结优秀知识点二次函数知识点总结及基础题1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 3. 二次函数2axy的性质（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数2axy的图像与a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a. 4. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开
2、口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0 x. 5. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（ 1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为
3、轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 7. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页名师总结优秀知识点（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0
4、 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 8. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axykaxy22hxaykhxay2cbxaxy29. 二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 10. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点
5、为 (0, c). （2）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页名师总结优秀知识点（ 3）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0
6、 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . （5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （ 6 ） 抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线cbxaxy2与x轴 两 交 点 为0021，xBxA， 由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,，aaac
7、bxxxxAB4222121基础题一. 确定抛物线的顶点和对称轴1、yx22x2 2、y-x2 4x1 3、y3x24x1 4、43212xxy二. 求解析式1. 求满足下列条件的二次函数的解析式(1) 图象经过A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6) (2) 图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8 (3) 图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是6 （4）过（ -2,1 ） ， （4,1 ） ，且顶点在直线y=-x+4 上（5）过原点，且顶点为（1，-1 ）2、 二次函数y=ax2+bx+c 图像与 x 轴交于 A 、 B两点，与 y 轴交于点C， 若 AC
8、=20,BC=15,ACB=90 ，求此二次函数的解析式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页名师总结优秀知识点3 （2006 年常州市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1 ）2+k?的图像与x 轴相交于点A、B，顶点为 C，点 D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD? 是一个边长为2 且有一个内角为 60的菱形，求此二次函数的表达式4如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0）的图象过正方形ABOC? 的三个顶点A，B， C，则 ac 的值是 _三.a 、b、c 的作用 . 1.
9、二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）试判断 a、b、 c、b2-4ac 的符号 . 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c, 且 a0,则一定有 ( ). A. b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D.b2-4ac 0 3. y=ax2+bx+c(a 0) 的图象如图所示, 则点 M(a,bc) 在第 _象限 . 4. 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax2+bx+c(a 0), 它们在同一坐标系中的大致图象是 ( ). 5.（2009 黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c （ a0）的图象如图3 所示，下列结论：abc0 2a+b0 4a
10、2b+c0 a+c0，其中正确结论的个数为_ 6、已知二次函数cbxaxy2的图象与x 轴交于点（ 2，0） ，(x1，0)且 1x12，与 y 轴正半轴的交点在点 (0，2）的下方，下列结论：ab0； 2a+c0； 4a+c4,那么 AB的长是 ( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 4.(2004 河北 ) 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式 , 则y=_. 5.(2003新疆 ) 请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1 具有的一个共同性质_. 6.(2003 天津 ) 已知抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=2, 且经过点 (1,
11、4) 和点 (5,0),则该抛物线的解析式为 _. 7.(2004武汉) 已知二次函数的图象开口向下, 且与 y 轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师总结优秀知识点 8.(2003黑龙江 )已知抛物线y=ax2+x+c 与 x 轴交点的横坐标为-1, 则 a+c=_. 9.(2002北京东城 ) 有一个二次函数的图象, 三位学生分别说出了它的一些特点: 甲: 对称轴是直线x=4; 乙: 与 x 轴两个交点的横坐标都是整数; 丙: 与 y 轴交点的纵坐标也是整数, 且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页