二次函数基础知识点总结.pdf

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1、课题二次函数教学目标重点难点一、全面理解二次函数的定义（1）二次函数有四种表达形式二次一项式型：形如y=ax2（a 是常数，且 a0） ，x 取任意实数。二次二项式型：形如y=ax2+bx（a 是常数，且 a0，b 是常数， b0） ，x 取任意实数。二次二项式型：形如y=ax2+c（a 是常数，且 a0，c 是常数， c0） ，x 取任意实数。二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a 是常数，且 a0，b 是常数， b0，c 是常数， c0） ，x取任意实数。（2）不论是哪一种表示形式， 都必须规定 a0，否则，就没有了二次项， 二次函数就没有意义了 。（3）二次函数解析式的三种形式（1

2、）一般式：2yaxbxc（a，b，c 为常数， a0）（2）顶点式：2()ya xhk（a0）（3）交点式：12()()ya xxxx（a0）说明：当已知抛物线上任意三点或三组x,y的对应值时时， 通常设函数解析式为一般式。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，函数最值等及第三点时，设二次函数2()ya xhk，求解。已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时，通常设为交点式作业二、掌握二次函数的图像和性质y=ax2（a 是常数，且 a0）的图像和性质y=ax2+bx（a 是常数，且 a0，b 是常数， b0）的图像和性质y=ax2+c（a 是常数，且 a0，c 是常数， c0）的图像和性质y=ax2+

3、bx +c（a 是常数，且 a0，b 是常数， b0，c 是常数， c0）的性质a0 时 ，开口向上； a0 时，开口向下顶点坐标是（ -ab2，abac442） ，对称轴是直线 x=-ab2。当 a0 时 ，函数有最小值， y=abac442；a0 时，函数有最大值， y=abac442；性质，当 a0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随 x的增大而增大；当 a0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随 x的增大而减小 . 三、会结合图像确定y=2ax+bx +c （a 是常数，且a0，b是常数， b0，c 是常数， c0）

4、的四种符号a 的符号：看抛物线的开口方向：开口向上， a0；开口向下 a0; b 的符号：有对称轴的位置和的a 符号确定：对称轴是 y 轴，b=0；对称轴在原点的左侧：02ab，对称轴在原点的右侧，02ab；c 的符号：看抛物线与 y 轴交点的位置：交点在原点， c=0；交点在原点以上， co；交点在原点以下， c0。b24ac 的符号：看抛物线与 x 轴交点的个数：抛物线与 x 轴有两个交点 b24ac0；抛物线与 x 轴有一个交点 b24ac=0，抛物线与 x 轴没有交点 b24ac0，四、掌握确定二次函数关系式的基本条件确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是：对于表达式是 y=ax2（

5、a0）的, 要确定出待定字母 a 的值的基本条件是：知道图像上一个点的坐标。对于表达式是 y=ax2+bx（a0）的, 要确定出待定字母a、b 的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。对于表达式是 y=ax2+c（a0）的, 要确定出待定字母 a、c 的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。对于表达式是 y=a(x-h)2（a0） 的, 要确定出待定字母a、 h 的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。对于表达式是 y=a(x-h)2+k(a0）的, 要确定出待定字母a、h、k 的值的基本条件是：知道图像上三个点的坐标。特殊条件：知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标对于表达式是 y=a

6、x2+bx+c（a0）中, 要确定出待定字母a、b、c 的值的基本条件是：知道图像上三个点的坐标。这是最基本的理解。五、确定二次函数关系式的基本题型4.1 二次函数关系式设为： y=ax2（a0）例 1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为 20 米，水位上升 3 米就达到警戒水位线 CD ，这时水面的宽度为10 米。请你在如图 1 所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y 轴，顶点坐标为原点，所以，不妨设二次函数的解析式：y=ax2（a0） ，因为， AB=20 ，所以， FA=FB=10 ，因为， CD=10 ，所以， EC=ED=5 所以，点

7、 A的坐标为（ -10，1y） ，点 C的坐标为（ -5，2y） ，所以，2y= a（-5）2=25a，1y= a（-10）2=100a，因为， EF=3 ，所以，2y-1y=3，所以， 25a -100a=3 ，解得： a=-251，所以，所求函数的解析式：y=-251 x2。小结：当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y 轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=ax2（a0）把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a 的一元一次方程；解方程，求得 a 值；把 a 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4.2 二次函数关系式设为： y=ax2+b

8、x（a0）例 2、（2008 年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855yxx ，其中 y （m ）是球的飞行高度，x（m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ，如图 2 所示。（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式解：（1）21855yxx2116(4)55x所以，抛物线21855yxx 的开口向下，顶点为1645，对称轴为直线4x。（2）令0y，得：218055xx，解得：10 x，

9、28x，所以，球飞行的最大水平距离是8m （3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 所以，抛物线的对称轴为5x，顶点为（ 5，516） ，设此时对应的抛物线解析式为：y=ax2+bx（a0） ，因为，抛物线经过点（ 10，0） ，所以， 100a+10b=0 ，即 10a+b=0 ，因为，抛物线经过点（ 5，516） ，所以， 25a+5b=516，即 5a+b=2516，解得：16125a，b=2532，所以，二次函数的解析式是：2163212525yxx 。小结：当知道抛物线经过原点，且抛物线与x 轴相交，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的

10、解析式为：y=ax2+bx（a0）把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a、b 的二元一次方程组；解方程组，求得 a、b 值；把 a、b 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4.3 二次函数关系式设为： y=ax2+c（a0）例 3、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图 3 所示，上方可看作是一个经过、三点的抛物线，以桥面的水平线为轴， 经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱）米，米（1）求经过、三点的抛物线的解析式。（2）求柱子的高度。解：因为，抛物线的对称轴是 y

11、 轴，所以，设二次函数解析式为：y=ax2+c（a0），因为，二次函数图象过点C（0，1），所以， c=1，因为，此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱），且米，所以，点 F 的坐标是（ -4 ，2） ，所以， 16a+1=2，解得： a=161，所以，二次函数的关系式是：y=161x2+1；（2），因为， OD=8 米，设点 A的坐标是（ -8，y），所以， y=161（-8 ）2+1=5，因此，柱子的高为5 米。小结：当知道抛物线的顶点在y 轴上，和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=ax2+c（a0

12、）把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a，c 的二元一次方程组；解方程组，求得a、c 值；把 a、c 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4.4 二次函数关系式设为： y=a(x-h)2（a0）例 4、在直角坐标平面内， 二次函数图象的顶点为A （1，0），且过点 B （3，4）求该二次函数的解析式。解：设二次函数解析式为：y=a（x-1 ）2，因为，二次函数图象过点B（3，4），所以， 4a=4，解得： a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1 ）2，即 y=x2-2x+1。小结：当知道抛物线的顶点坐标：M （h，0）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析

13、式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-h ）2a0）把点 A的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a 的一元一次方程；解方程，求得 a 值；把 a 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4.5 二次函数关系式设为： y=a(x-h)2+k(a0）例 5、在直角坐标平面内， 二次函数图象的顶点为A （1，-4），且过点 B （3，0）求该二次函数的解析式。解：设二次函数解析式为：y=a（x-1 ）2-4，因为，二次函数图象过点B（3，0），所以， 4a-4=0，解得： a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1 ）2-4，即 y=x2-2x-3 。六、掌握求抛物线y=

14、ax2+bx +c（a 是常数，且a0， ）顶点坐标的两种方法1、配方法求顶点坐标基本步骤是：把二次项的系数化成1，各系数提取 a，得：y=a（)2acxabx，在括号里现加上一次项系数一半的平方，接着再减去一次项系数一半的平方，得：y=a（)2acxabx=a【acababxabx222)2()2(】 ，配方，并整理，得：y=a（)2acxabx=a【acababxabx222)2()2(】 ，= a【22244)2(abacabx】 ，去掉括号，得：y=a（)2acxabx=a【acababxabx222)2()2(】 ，= a【22244)2(abacabx】 ，=aabacabx44)

15、2(22写出函数的坐标：所以，抛物线的顶点坐标是： （-ab2，abac442） 。2、公式法求顶点坐标y=ax2+bx +c （a 是常数，且a0， ）的顶点坐标是（ -ab2，abac442） ，在求顶点坐标时，同学们就可以熟记这个式子， 把它作为求函数顶点坐标的一个公式来用。用的基本步骤是：根据 y=ax2+bx +c（a 是常数，且 a0） ，确定 a、b、c 的值，代入 x=-ab2中，求顶点坐标的横坐标，代入 x=abac442中，求顶点坐标的纵坐标，横坐标，纵坐标合起来，写出顶点的坐标。七、熟练应用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数的解析式， 主要有三种方式， 同学们要熟练掌

16、握其条件特点和选择的求解模式。（1） 设解析式是一般式条件特点：已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式当知道抛物线上一般的三个点的坐标：A（x1，y1） 、B（x2，y2） 、C（x3，y3）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a0）把点 A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中，转化成关于a、b、c 的三元一次方程组；解方程组，求得a、b、c 的值；把 a、b、c 的值分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。（2） 设解析式是顶点式条件特点：已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式当知道抛物线的顶点坐标：M （h，k）和抛物线

17、上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-h ）2+k（a0）把点 C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a 的一元一次方程；解方程，求得 a 值；把 a 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。（3）设解析式是交点式条件特点：已知抛物线与x 轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式当抛物线与 x 轴的交点坐标： A（x1，0） 、B（x2，0） 、C（x3，y3）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-x1） （x-x2） （a0）把点 C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a 的一元一次方程；解方程，求得 a 值；把 a 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。