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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2022 中考数学专题复习最短距离问题分析最值问题是中学数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿中学数学的始 终,是中考的热点问题,它主要考察同学对平常所学的内容综合运用,无论是代数问题仍 是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中显现比较高的主要有利用重要的几何结论（如 两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）；利用一次函数和二次函数的性质求最值；一、“ 最值” 问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范畴 内函数的最大或最小
2、值 、归于几何模型,这类模型又分为两种情形：（1）归于“ 两点之间的连线中,线段最短” ；凡属于求“ 变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型；（2）归于 “ 三角形两边之差小于第三边” 凡属于求 大都应用这一模型；“ 变动的两线段之差的最大值” 时,几何模型：B A P C B l 条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P ,使 PAPB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A ,连结 A B 交 l 于点 P ,就 PAPBA B的值最小（不必证明）AP 模型应用：B （1）如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 AB 的中点,
3、P 是 AC 上一动点连结BD ,由正方形对称性可知,B 与 D 关于直线 AC 对称连结 ED 交 AC 于 P ,就A PBPE 的最小值是 _；图 1 A （2）如图 2,O的半径为2,点 A、 、C在O上,OAOB,AOC60 , P 是 OB 上一动点,图 2 B 求 PAPC 的最小值；B 名师归纳总结 （3）如图 3,AOB45,P是AOB内一点,PO10,R P A 第 1 页,共 9 页Q、R分别是 OA、OB上的动点,求PQR周长的最小值Q 图 3 解：（ 1） PBPE 的最小值是DE5（2） PAPC 的最小值是 2 3（3）PQR 周长的最小值是102- - - -
4、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【典型例题分析】1.如下列图, 正方形 ABCD 的面积为 12,ABE是等边三角形, 点 E 在正方形 ABCD 内,D 在对角线 AC 上有一点 P ,使 PDPE 的和最小, 就这个最小值为 （）A A 2 3B 2 6C3 D6P E 2如图,抛物线y1x2x2的顶点为 A,与 y 轴交于点 BB O y C x 41求点 A、点 B 的坐标；A B 2如点 P 是 x 轴上任意一点,求证：PA-PB AB；3当 PA-PB 最大时,求点P 的坐标 . 解： 1令 x=0,得 y=2, B0,2 y1x2x2
5、1x22344 A-2 ,3 2证明： .当点 P 是 AB 的延长线与x 轴交点时, PA-PB=AB ；名师归纳总结 .当点 P 在 x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时,Ax 在点 P、A、B 构成的三角形中,PA-PB AB. y 综合上述： PA-PB AB. 3作直线 AB 交 x 轴于点 P P 是所求的点A B 由2可知：当 PA-PB 最大时,点作 AH OP 于 H BO OP BOP= AHP ,且 BPO= APH H O P AHHP BOP AHP BOOPB 32OP由1可知： AH=3 、OH=2 、 OB=2 即2OP OP=4,P4,0 3. 如图,
6、在矩形OABC 中,已知 A 、 C 两点的坐标分别为A4 0,、C0 2, , D 为 OA 的中点设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）y （1）试证明：无论点P 运动到何处,PC 总造桥与 PD 相等；C0 2（2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时,试确定过O、 、D三点的抛物P 4 0x 线的解析式；O D （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,PDE第 2 页,共 9 页的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE的周长；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载P ,使CPN90 ？如存在,请直（
7、4）设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点接写出点 P 的坐标解：（ 1）点 D 是 OA的中点,OD2, ODOC y 0 2F P M B x x又 OP 是COD 的角平分线,POCPOD45 ,POCPOD, PCPD C（2）过点 B 作AOC 的平分线的垂线,垂足为P ,点 P 即为所求易知点 F 的坐标为（ 2,2）,故BF2,作 PMBF,O E D A4 0PBF是等腰直角三角形,PM1BF1,2点 P 的坐标为（ 3,3）抛物线经过原点,设抛物线的解析式为yax2bx又抛物线经过点P3 3, 和点D2 0, , 有9 a3 b3解得a124 a2 b0b抛物线的解析式为
8、yx22x （3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于AOC 的平分线的对称点即为C 点连接 EC ,它与AOC 的平分线的交点即为所求的P 点（由于 PEPDEC ,而两点之间线段最短） ,此时PED的周长最小 抛物线yx22x 的顶点 E 的坐标 1,1,C点的坐标 0 2, , 设 CE所在直线的解析式为ykxb ,就有kb1,解得k23b2b CE 所在直线的解析式为y3x2点 P 满意yx3 x2,解得x1,故点 P 的2yy12坐标为1 1,2 2PED的周长即是CEDE102（4）存在点 P ,使CPN90 其坐标是1 1,2 2或 2 2, By4. 一次函数ykxb 的图象与
9、x、y 轴分别交于点A（2,0）, B（0,4）PD（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为 OB上一动点,求 PCPD的最小值,并求取得最小值时P点坐标OCA解： 1将点 A、B 的坐标代入ykxb 并运算得 k 2,b4第 4 题解析式为： y 2x4；2 设点 C 关于点 O 的对称点为C,连结 PC、DC,就 PCPC名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 PCPDPCPDCD,即 C、P、D 共线时, PCPD 的最小值是 CD连结 CD ,在 Rt D
10、CC 中, CDC C 2CD 2 2 2 ；易得点 P 的坐标为 0,1亦可作 Rt AOB 关于 y 轴对称的 5. 已知：抛物线的对称轴为与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A 3 0, 、C 0,2（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点 P,使得PBC 的周长最小恳求出点 P 的坐标（3）如点D是线段OC上的一个动点 （不与点 O、点 C重合）过点 D作DEPC 交x轴于点 E连接 PD 、 PE 设CD的长为m,PDE 的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值,如存在,恳求出最大值；如不存在,请说明理由y y A O C B
11、x A O C B x 5 题图名师归纳总结 解：（ 1）此抛物线的解析式为 y 2x 23（2）连结 AC 、BC . 由于 BC 的长度肯定,所以4x2周长最小,就是使 PCPB最小 .BB x 3PBC点关于对称轴的对称点是A 点, AC 与对称轴x1的交点即为所求的点P .设直线AC的表达式为ykxby 就b3 kb0,k2此直线的表达式为y2x2A E P O 3D 2解得b2第 4 页,共 9 页3把x1代入得y4P点的坐标为1,4C 33（3） S 存在最大值理由： DEPC,即 DEACOEDOAC（第 24 题图）OD OCOE,即22mOE3OE33m,AE3,OE3mOA
12、22方法一：连结 OPSS 四边形PDOESOEDSPOESPODSOED- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =1 233m412m1学习必备3欢迎下载2m =32 m3m13 2m23224230当m1时,S最大3334424方法二：SSOACSOEDSAEPSPCDB x =1 232133m2m13m41m1222232=3m 23m3m12330当m1时,S最大34244446. 如图,抛物线yax2bxc 的顶点 P 的坐标为1,4 3,交 x 轴于 A、B 两点,交 y3轴于点C0,3（1）求抛物线的表达式y （2）把 ABC绕 AB的中点
13、E 旋转 180,得到四边形ADBCD 判定四边形ADBC的外形,并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F,使得FBD的周长最小,如存在,请写出点F 的坐标；如不存在,请说明理由A O E 解：（ 1）由题意知C P y D 解得a3,b2 3抛物线的解析式为y3x22 3x3O E B x 3333（2）设点 A（1x,0）, B（x , 0）,就3x22 3x30,C P 33|OB|3解得x 11,x 23 OA 1, OB 3又 tanOCB |OC| OCB60,同理可求 OCA 30 ACB 90由旋转性质可知ACBD ,BCAD 名师归纳总结 四边形 ADBC 是平行四边形
14、又 ACB 90四边形ADBC 是矩形DB第 5 页,共 9 页（3）延长 BC 至 N,使CNCB假设存在一点F,使 FBD 的周长最小 即 FDFB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载最小DB 固定长只要 FD+FB 最小又 CA BN FD+FB FD+FN FC 1 AC当 N、F、D 在一条直线上时, FD+FB 最小 又 C 为 BN 的中点,2（即1 3F 为 AC 的中点） 又 A（ 1,0）,C（0,3） 点 F 的坐标为 F（2 ,2 ）1 3 存在这样的点 F（2 ,2 ）,使得FBD 的周长最小7. 如图（ 1）
15、,抛物线 y 3x 2 18x 3 和 y 轴的交点为 A, M 为 OA 的中点,如有一动点5 5P ,自 M 点处动身,沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E ）,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F ）,最终又沿直线运动到点 A,求使点 P 运动的总路程最短的点 E ,点 F 的坐标,并求出这个最短路程的长；y解：如图（ 1）,由题意可得A （ 0,3）, M 0 ,3,抛物线的对称点A E F x2为x3,点 M 关于 x 轴的对称点为M 0 ,3,点 A 关于抛物线M 2对称轴x3的对称点为A （6,3）；连结MA ；O依据轴对称性及两点间线段最短可知,A M 的长就是
16、所求点P 运动中最短总路程的长,A M 在直线的方程为y3 x 43（过程略）；2设A M 与 x 的交点为E 就 E 为在 x 轴上所求的点,A M 与直线3 yF A x3 的交点为所求的F 点；可得 E 点的坐标为（ 2,0）, F 点的坐标为,33）；15 ；2A 4由勾股定理可求出A M15（过程略）2所以点 P 运动的总路程（MEEFFA）最短时间为M 不管在什么背景下,有关线段之和最短问题,总是化归到“ 两点之间的名师归纳总结 全部连线中,线段最短” ,而转化的方法大都是借助于“ 轴对称点”OB E 3 第 6 页,共 9 页xM- - - - - - -精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - 学习必备欢迎下载A 和8. 恩施州自然风光无限,特殊是以“ 雄、奇、秀、幽、险” 著称于世闻名的恩施大峡谷世界级自然爱护区星斗山B 位于笔直的沪渝高速大路X 同侧,AB50km,A、B 到直线 X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速大路旁修建一服务区P ,向 A 、 B 两景区运输游客小民设计了两种方案,图（1）是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直,垂足为 P ）, P 到A 、B 的距离之和 S 1 PA PB ,图（2）是方案二的示意图 （点 A 关于直线 X 的对称点是 A ,连接BA交直线X于点P）,P到A、B的距离之和 S 2 PA PB （1）
18、求 S 、S ,并比较它们的大小；（2）请你说明 S 2 PA PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速大路 Y 与沪渝高速大路垂直,建立如图 （3）所示的直角坐标系,B 到直线 Y 的距离为30km,请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值Y B B Q B P 、Q,使 P 、 A 、 B 、Q名师归纳总结 A A A X图（ 1）P X P AX O P X 图（ 2）图（ 3）解：图 10（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,就 PC40,又 AP10, AC 30 Y在 Rt ABC 中, AB 50 AC 30 BC40 BP2 CP
19、BC2402S140210BB图 10（2）中,过 B 作 BCAA 垂足为 C,就 AC50,QA又 BC40 BA 4025021041PA由轴对称知： PAPA S2BA 1041S S 2第 7 页,共 9 页2如 图 10（2）,在大路上任找一点M, 连接 MA,MB,MA,由轴对称知MA MA MB+MA MB+MA ABS2BA 为最小（3）过 A 作关于 X 轴的对称点A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点B,连接 AB, 交 X 轴于点P, 交 Y 轴于点 Q,就 P,Q 即为所求过 A、 B分别作 X 轴、 Y 轴的平行线交于点G, - - - - - - -精选学习资料 -
20、 - - - - - - - - AB 2 100502505学习必备欢迎下载50505所求四边形的周长为9. 如图,（ 1）,在 ABC 中,AC BC 2 , ACB 90, P 为BC边上肯定点,（不与点B,C重合）,Q为AB边上一动点,设 BP 的长为 a 0 a 2 ,请写出 CQ PQ 最小值,并说明理由；A 【观看与摸索】其实,此题和例 2 中的（ 2）基本上是相同的,是“ 在 Q 直线 AB 上求一点 Q ,使它到 AB 同侧的两个定点C 和 P 的距离之和P B 最小” ；因此,可由图（1）（连结 P 关于 AB 的对称点P 与 C 所成线段,交 AB 于 Q ；或图（ 1）
21、（连结 C 关于 AB 的对称点交 AB 于 Q ,都同样可得CQPQ最小值；C 与 P 所成线段,A Q PA CA Q QP Q 名师归纳总结 C P B C P B C P B 第 8 页,共 9 页（1）（1）（1）解 ： 如 图 （ 1 ） , 作 点 P 关 于 AB 的 对 称 点P , 连 结 CP 交 AB 于 点Q , 易 知中P,PBQPBQ,BPBPa ,PBQPBQ45；在RtCBCP CB2PB24a2,4a2；又,在 AB 上任意取一异于Q 的点Q ,连结CQ,PQ,PQ,就CQ PQ CQ P Q CP4a2对 AB 边上的动点 Q ,最小值为- - - - -
22、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10. 如图8,C为线段BD 上一动点学习必备欢迎下载AC、 EC.已知, 分别过点B、 D 作 AB BD,ED BD,连接AB=5,DE=1,BD=8, 设 CD=x. 1 用含 x 的代数式表示ACCE的长；A C D 2 请问点 C满意什么条件时,ACCE的值最小 . 3根 据 2中 的 规 律 和 结 论 , 请 构 图 求 出 代 数 式B x24 12x29的最小值 . E 解: 18x 225x21图 8 2当 A、C、E 三点共线时 ,AC+CE 的值最小3如下图所示 ,作 BD=12, 过点 B 作 AB BD, 过点 D 作 EDBD, 使 AB=2,ED=3, 连结AE 交 BD 于点 C.AE 的长即为代数式x2412x29的最小值 . C F F,得矩形 ABDF, A 过点 A 作 AF BD 交 ED 的延长线于点就 AB=DF=2,AF=BD=8. 所以 AE=122322=13 13. B D 即x24 12x29的最小值为E 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页