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1、学习必备欢迎下载2012 中考数学专题复习最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的
2、连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于 “三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连结A B交l于点P，则PAPBA B的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图 1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是 _；（2）如图 2，O的半径为2，点ABC、 、在O上，O
3、AOB，60AOC，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；（3）如图 3，45AOB，P是AOB内一点，10PO，QR、分别是OAOB、上的动点，求PQR周长的最小值解：（ 1）PBPE的最小值是5DE（2）PAPC的最小值是2 3（3）PQR周长的最小值是102A B AP l A B P R Q 图 3 A B B 图 1 A B C 图 2 P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载y O x P D B (4 0)A，(0 2)C，【典型例题分析】1.如图所示， 正方形ABCD的面积为12，ABE
4、是等边三角形， 点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P， 使PDPE的和最小， 则这个最小值为 （）A2 3B2 6C3 D62如图，抛物线2124yxx的顶点为 A，与 y 轴交于点B(1)求点 A、点 B 的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PA-PB AB；(3)当 PA-PB 最大时，求点P 的坐标 . 解： (1)令 x=0，得 y=2，B(0，2) 22112(2)344yxxx A(-2，3) (2)证明： .当点 P 是 AB 的延长线与x 轴交点时， PA-PB=AB ；.当点 P 在 x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时，在点 P、A、B 构
5、成的三角形中，PA-PB AB. 综合上述： PA-PB AB. (3)作直线 AB 交 x 轴于点 P 由(2)可知：当PA-PB 最大时，点P 是所求的点作 AH OP 于 H BO OP BOP=AHP ，且 BPO=APH BOP AHP AHHPBOOP由(1)可知： AH=3 、OH=2 、 OB=2 即322OPOP OP=4，P(4，0) 3. 如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为(4 0)(0 2)AC，、，D为OA的中点设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总造桥与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，
6、试确定过OPD、 、三点的抛物线的解析式；（3） 设点E是 （2） 中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE的周长；B O A x y P H B O A x y A D E P B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载第 4 题OxyBDACP（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使90CPN？若存在，请直接写出点P的坐标解：（ 1）点D是OA的中点，2OD，ODOC又OP是COD的角平分线，45POCPOD，POCPOD，PCPD（2）
7、过点B作AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求易知点F的坐标为（ 2，2），故2BF，作PMBF，PBF是等腰直角三角形，112PMBF，点P的坐标为（ 3，3）抛物线经过原点，设抛物线的解析式为2yaxbx又抛物线经过点(3 3)P，和点(2 0)D， 有933420abab解得12ab抛物线的解析式为22yxx（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于AOC的平分线的对称点即为C点连接EC，它与AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PEPDEC，而两点之间线段最短） ， 此时PED的周长最小 抛物线22yxx的顶点E的坐标(11)，C点的坐标(0 2)， 设CE所在直线的解析式为yk
8、xb， 则有12kbb，解得32kbCE所在直线的解析式为32yx点P满足32yxyx，解得1212xy，故点P的坐标为1 12 2，PED的周长即是102CEDE（4）存在点P，使90CPN其坐标是1 12 2，或(2 2)，4. 一次函数ykxb的图象与 x、y 轴分别交于点A（2，0）， B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA 、AB的中点分别为C、D，P为 OB上一动点，求 PC PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标解： (1)将点 A、B 的坐标代入ykxb 并计算得k 2，b4解析式为：y 2x4；(2)设点 C 关于点 O 的对称点为C ，连结 PC 、
9、DC ，则 PCPC y O x D B (4 0)A，CP E (0 2)，F M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载 PCPDPC PDCD，即 C、P、D 共线时， PCPD 的最小值是C D连结 CD，在 RtDCC 中，CD22C CCD 22；易得点P 的坐标为 (0，1)(亦可作 RtAOB 关于 y 轴对称的 ) 5. 已知：抛物线的对称轴为与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中3 0A，、02C，（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请
10、求出点P的坐标（3）若点D是线段OC上的一个动点 （不与点 O、点 C重合）过点 D作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由解：（ 1）此抛物线的解析式为224233yxx（2） 连结AC、BC. 因为BC的长度一定，所以PBC周长最小，就是使PCPB最小 .B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴1x的交点即为所求的点P.设直线AC的表达式为ykxb则302kbb，解得232kb此直线的表达式为223yx把1x代入得43yP点的坐标为413，（3）S存在最大值理由：DEPC
11、，即DEACOEDOACODOEOCOA，即223mOE333322OEmAEOEm，方法一：连结OPOEDPOEPODOEDPDOESSSSSS四边形（第 24 题图）O A C x y B E P D A C x y B O 5 题图A C x y B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载=13411332132223222mmmm=23342mm304当1m时，333424S最大方法二：OACOEDAEPPCDSSSSS=1131341323212222232mmmm=22333314244m
12、mm304当1m时，34S最大6. 如图，抛物线2yaxbxc的顶点 P的坐标为4 313，交 x 轴于 A、B两点，交 y轴于点(03)C，（1）求抛物线的表达式（2）把 ABC绕 AB的中点 E旋转 180 ，得到四边形ADBC 判断四边形ADBC 的形状，并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得 FBD的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）由题意知解得33a，2 33b抛物线的解析式为232 3333yxx（2）设点 A（1x，0）， B（2x， 0），则232 33033xx，解得1213xx， OA 1， OB 3又 tanOCB|3|O
13、BOC OCB60 ，同理可求 OCA 30 ACB 90由旋转性质可知ACBD ，BCAD 四边形ADBC 是平行四边形又 ACB 90 四边形ADBC 是矩形（3） 延长 BC 至 N， 使C NC B 假设存在一点F， 使 FBD 的周长最小 即FDFBDBD O x y B E P A C D O x y B E P C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载xyOA F E M AMB 3 3 最小DB 固定长只要FD+FB 最小又 CA BN FD+FB FD+FN 当 N、 F、 D 在一条
14、直线上时， FD+FB 最小 又 C 为 BN 的中点，12FCAC（即F 为 AC 的中点） 又A（ 1，0），C（0，3） 点 F 的坐标为F（12，32） 存在这样的点F（12，32），使得 FBD 的周长最小7. 如图（ 1），抛物线3518532xxy和y轴的交点为MA,为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。解：如图（ 1），由题意可得A（ 0，3），M)23,0(，抛物线的对称点为3x，点M关于x轴的
15、对称点为M)23,0(，点A关于抛物线对称轴3x的对称点为A（6，3）。连结AM。根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM的长就是所求点P运动中最短总路程的长，AM在直线的方程为2343xy（过程略）。设AM与x的交点为,E则E为在x轴上所求的点，AM与直线3x的交点为所求的F 点。可得E点的坐标为（2，0）， F 点的坐标为43, 3(）。由勾股定理可求出AM215（过程略）所以点P运动的总路程（FAEFME）最短时间为215。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”xyOA F E M 精选学习资料 - - -
16、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载PXBAQYBA8. 恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50kmABA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和1SPAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和2SPA
17、PB（1）求1S、2S，并比较它们的大小；（2）请你说明2SPAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图 （3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值解：图10（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,则 PC40,又 AP10, AC 30 在 RtABC 中， AB 50 AC 30 BC40 BP24022BCCPS110240图 10（2）中，过B 作 BCAA 垂足为C，则 A C50，又 BC40 BA 4110504022由轴对称知： PAPA
18、 S2BA 41101S2S(2)如 图 10（2），在公路上任找一点M, 连接 MA,MB,MA，由轴对称知MA MA MB+MA MB+MA ABS2BA 为最小（3）过 A 作关于 X 轴的对称点A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点B，连接 AB, 交 X 轴于点P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求过 A、 B分别作 X 轴、 Y 轴的平行线交于点G, B A P X 图（ 1）Y X B A Q P O 图（ 3）B A P X A图（ 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载A C
19、B P Q AB 5505010022所求四边形的周长为550509. 如图，（ 1），在ABC中，90,2ACBBCAC，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为)20(aa，请写出PQCQ最小值，并说明理由。【观察与思考】其实，本题和例2 中的（ 2）基本上是相同的，是“在直线AB上求一点Q，使它到AB同侧的两个定点C和P的距离之和最小”。因此，可由图（1）（连结P关于AB的对称点P与C所成线段，交AB于Q。或图（ 1）（连结C关于AB的对称点C与P所成线段，交AB于Q，都同样可得PQCQ最小值。（1）（1）（1）解 ： 如 图 （ 1 ） ， 作 点P关
20、 于AB的 对 称 点P， 连 结CP交AB于 点Q， 易 知BQPPBQ，45,PBQBQPaBPBP。在CBPRt中，2224aBPCBCP，又，在AB上任意取一异于Q的点 Q，连结 , , QPPQCQ，则24 aCPQPCQPQCQ对AB边上的动点Q， 最小值为24a。A C B P Q PA C B P Q CA C B P QP Q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载E D C B A 图 8 F E D C B A 10. 如图8,C为线段BD 上一动点, 分别过点B、 D 作AB BD,
21、ED BD,连接AC、 EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设 CD=x. (1) 用含 x 的代数式表示AC CE的长；(2) 请问点 C满足什么条件时,ACCE的值最小 ? (3)根 据 (2)中 的 规 律 和 结 论 , 请 构 图 求 出 代 数 式9)12(422xx的最小值 . 解: (1)125)8(22xx(2)当 A、C、E 三点共线时 ,AC+CE 的值最小(3)如下图所示 ,作 BD=12,过点 B 作 AB BD,过点 D 作 EDBD,使 AB=2,ED=3, 连结AE 交 BD 于点 C.AE 的长即为代数式9)12(422xx的最小值 . 过点 A 作 AFBD 交 ED 的延长线于点F,得矩形 ABDF, 则 AB=DF=2,AF=BD=8. 所以 AE=22)23(12=13 即9)12(422xx的最小值为13. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页