《2022年中考数学复习专题三最短距离问题分析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学复习专题三最短距离问题分析.docx（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载专题五：最短距离问题最值问题是中学数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿中学数学的始终,是中考的热点问题,它主要考察同学对平常所学的内容综合运用,无论是代数问题仍是几何问 题都有最值问题,在中考压轴题中显现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段 最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）；利用一次函数和 二次函数的性质求最值；一、“ 最值” 问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范畴内函 数的最大或最小值 、归于几何模型,这
2、类模型又分为两种情形：（1）归于“ 两点之间的连线中,线段最短” ；凡属于求“ 变动的两线段之和的最小值” 时,大都应用这一模型；（2）归于“ 三角形两边之差小于第三边” 凡属于求“ 变动的两线段之差的最大值” 时,大 都应用这一模型；几何模型：B A P C B l 条件：如图,A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点 P ,使 PAPB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A ,连结 A B 交 l 于点 P ,就 PAPBA B的值最小（不必证明）AP 模型应用：B （1）如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 AB 的中点,P 是 AC
3、上一动点连结BD ,由正方形对称性可知,B 与 D 关于直线 AC 对称连结 ED 交 AC 于 P ,就A PBPE 的最小值是 _；图 1 A （2）如图 2,O的半径为 2,点 A、 、C在O上,OAOB ,AOC60 , P 是 OB 上一动点,图 2 B 求 PAPC 的最小值；B 名师归纳总结 （3）如图 3,AOB45 , P 是AOB内一点,PO10,R P A 第 1 页,共 9 页Q、R 分别是 OA、OB 上的动点,求PQR 周长的最小值Q （4）如图,要在一条河上架一座桥 MN （河的两岸相互平行,桥与河岸垂直）,在如下四种方案中,使得E、F 两地的路程最短的是E E
4、M M E M E M E F F N F N FN N F4题图EM 与河岸垂直 A EM FNE、M、F 共线 C FN 与河岸垂直 D B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（5）、作图设计,村庄 A 、B 位于不平行的两条小河的两侧,如要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥,并要使 A 到 B 的路程最近,问桥应架在何处？6. （2022.台州）如图,菱形 ABCD 中, AB=2 , A=120,点 P,Q,K 分别为线段 BC,CD ,BD 上的任意一点,就PK+QK 的最小值为（）D31A 1 B3C2 7（ 2022.
5、兰州）如图,四边形ABCD 中, BAD=120 , B= D=90 ,在 BC 、CD 上分别找一点 M 、 N,使AMN 周长最小时,就AMN+ ANM 的度数为（）A 130B120C110D100【典型例题分析】1.如下列图,正方形ABCD 的面积为 12,ABE是等边三角形,点E 在正方形 ABCD 内,在D 对角线 AC 上有一点 P ,使 PDPE的和最小,就这个最小值为（）A A 2 3B 2 6C3 D6P E 名师归纳总结 2如图,抛物线y1x2x2的顶点为A,与 y 轴交于点BB O y C x 41求点 A、点 B 的坐标；A B 2如点 P 是 x 轴上任意一点,求证
6、：PA-PBAB；3当 PA-PB 最大时,求点P 的坐标 . 第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A4 0,、C0 2, ,3. 如图,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为y B x D 为OA的中点 设点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点O重合） C0 2（1）试证明：无论点P 运动到何处,PC 总造桥与 PD 相等；（2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时,试确定过O、 、D三点的抛物线O P D A 4 0的解析式；（3）设点E是（ 2）中所确定抛物线的顶点,当点P 运动到何处时,PDE的
7、周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P ,使CPN90 ？如存在,请直接写出点 P 的坐标4. 一次函数ykxb 的图象与x、y 轴分别交于点A（2,0）, B（0,4）yDAx（1）求该函数的解析式；B（2） O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、 D,P 为 OB上一动点,P求 PC PD的最小值,并求取得最小值时P 点坐标5. 已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A,B两点,与y 轴交于点C,其中OCA-3,0、B1,0 C0,-2. 第 4 题（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点 P,使得PBC 的周长最
8、小恳求出点 P 的坐标（3）如点D是线段OC上的一个动点（不与点 O、点 C重合）过点 D 作DEPC 交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m,PDE 的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值,如存在,恳求出最大值；如不存在,请说明理由y y A O C B x A O C B x 5 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 如图,抛物线yax2bx学习必备欢迎下载4 3,交 x 轴于 A、B 两点,交y 轴c 的顶点 P 的坐标为1,3于点C0,3B x （1）求抛物线的表达式y （2）把 A
9、BC绕 AB的中点 E旋转 180,得到四边形ADBCD 判定四边形ADBC的外形,并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F,使得FBD的周长最小,如存在,请写出点F 的坐标；如不存在,请说明理由A O E C P P ,3 7. 如图（ 1）,抛物线 y5自 M 点处动身,沿直线运动到x218x 3 和 y 轴的交点为 A, M 为 OA的中点,如有一动点5x轴上的某点（设为点 E ）,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ）,最终又沿直线运动到点A ,求使点 P 运动的总路程最短的点E ,点 F 的坐标,并求出这个最短路程的长；yA F M OE x；不管在什么背景下,有关
10、线段之和最短问题,总是化归到“ 两点之间的全部连线中,线段 最短” ,而转化的方法大都是借助于“ 轴对称点”8. 恩施州自然风光无限,特殊是以“ 雄、奇、秀、幽、险” 著称于世闻名的恩施大峡谷 A 和世界级自然爱护区星斗山 B 位于笔直的沪渝高速大路 X 同侧,AB 50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速大路旁修建一服务区P ,向 A 、 B 两景区运输游客小名师归纳总结 民设计了两种方案,图（1）是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直,垂足为 P ）, P 到 A 、 B 的第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
11、- - - 距离之和S 1PA学习必备欢迎下载PB ,图（2）是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A ,连接 BA 交直线 X 于点 P ）, P 到 A 、 B 的距离之和S 2PAPB 3）所示的直角坐标系,B（1）求S 、S ,并比较它们的大小；（2）请你说明S 2PAPB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速大路Y 与沪渝高速大路垂直,建立如图（到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区 四边形的周长最小并求出这个最小值Y B B Q B P 、Q,使 P 、 A 、 B 、Q组成的A A A P X P A X O P X 图（ 1）图（ 2）图（
12、3）9. 如图,（ 1）,在 ABC中,AC BC 2 , ACB 90,P为BC边上肯定点,（不与点 B,C重合）,Q为AB边上一动点,设 BP 的长为 a 0 a 2 ,请写出 CQ PQ 最小值,并说明理由；【观看与摸索】其实,此题和例 2 中的（ 2）基本上是相同的,是“ 在 A 直线 AB 上求一点 Q ,使它到 AB 同侧的两个定点 C 和 P 的距离之和最小” ；因此,可由图（1）（连结 P 关于 AB 的对称点 P 与 C 所成线 Q 段,交 AB 于 Q ；或图（ 1）（连结 C 关于 AB 的对称点 C 与 P 所成线段,交 AB 于 Q ,都同样可得 CQ PQ 最小值；
13、C P B A C A A Q Q P Q P Q 名师归纳总结 C P B C （1 ）P B C P B 第 5 页,共 9 页（ 1）（ 1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10. 如图 8,C 为线段 BD上一动点 , 分别过点 B、D作 ABBD,EDBD,连接 AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8,设 CD=x. 1 用含 x 的代数式表示ACCE的长；A C D E 2 请问点 C满意什么条件时,ACCE的值最小 . 3根 据 2中 的 规 律 和 结 论 , 请 构 图 求 出 代 数 式x24 12x29
14、的最小值 . B . 图 8 OM ,ON 上,当 B其中 AB=2 ,BC=1 ,1、济南 12 年如图, MON=90 ,矩形ABCD 的顶点 A、 B 分别在边在边 ON 上运动时, A 随之在边 OM 上运动, 矩形 ABCD 的外形保持不变,运动过程中,点D 到点 O 的最大距离为（）MDAO B CA2 1 B5 C1455 D5 第13题图 N5 22、模拟 .已知线段 AB 在轴上（ A 在 B 的左边）,且 AB=3. 点 C（ 2,-4）、点 D（4, -1）；当 AC+BD 最小时点 A 的坐标是（）A（ 0,0）B（1,0）C（1.2,0）D（2, 0）3.如图, E,
15、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点,满意 AEDF 连接 CF 交 BD 于 G,连接BE交AG于 点H 如 正 方 形 的 边 长 为2 , 就 线 段DH长 度 的 最 小 值是名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载18cm,在杯内离杯底4cm4. （2022 山东青岛 3 分）如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,就蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm5、（天津市）在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶
16、点 O 在坐标原点,顶点A、B 分别在 x轴、 y 轴的正半轴上,OA 3,OB4,D 为边 OB 的中点（）如 E 为边 OA 上的一个动点,当CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标；（）如 E、 F 为边 OA 上的两个动点,且 EF2,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E、F的坐标名师归纳总结 y y 第 7 页,共 9 页B C B C D D O E A x O A x D（备用图）6、,在平面直角坐标系中如图,已知点A 2,0,点 B0,4,点 E0,1 如 图 , 将 AEO沿x轴 向 右 平 移 得 到 AEO, 连 接A B 、 BE设 AA=m,其中 0m2,试用含
17、m 的式子表示A B 2+BE2, 并求出访 A B 2+BE2, 取得最小值时点E 的坐标；当AB+BE取 得 最 小 值 时 , 求 点E的 坐 标 直 接 写 出 结 果 即 可 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7、（湖南省永州市）探究问题：（1）阅读懂得：如图（ A）,在已知 ABC 所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,就称点 P 为 ABC 的费马点,此时 PAPBPC 的值为 ABC 的费马距离如图（ B）,如四边形 ABCD 的四个顶点在同一圆上,就有 AB CDBC DAAC BD,此为托勒密定理
18、A A B P C B C D （图 A ）（图 B）（2）学问迁移：请你利用托勒密定理,解决如下问题：如图（ C）,已知点 P 为等边ABC 外接圆的 BC上任意一点求证：PBPCPA依据（ 2）的结论,我们有如下探寻点和费马距离的方法：ABC（其中 A、 B、 C 均小于 120）的费马第一步：如图（其次步：在 BCD）,在ABC 的外部以 BC 为边长作等边BCD 及其外接圆；上任取一点P,连结 PA、PB、PC、P D易知 PA PBPCPA PBPC PA_；第三步：请你依据（1）中定义, 在图（D）中找出 ABC 的费马点 P,并请指出线段 _的长度即为 ABC 的费马距离A A
19、名师归纳总结 B P （图 C）C B PC 第 8 页,共 9 页D （图 D）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）学问应用：20XX 年 4 月,我国西南地区显现了罕见的连续干旱现象,许 A 多村庄显现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水B 30C 已知三村庄A、B、C 构成了如图 （E）所示的 ABC（其中 A、B、 C 均小于 120）,现选取一点P 打水井,使从水井P到三村庄 A、B、C 所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值166（ 2）证明：由托勒密定理可知PB ACPC ABPA BC 2 分 ABC 是等边三角形ABACBC PBPCPA 3 分PD AD 6 分（3）解：如图,以 BC 为边长在ABC 的外部作等边BCD ,连接 AD,就知线段 AD 的长即为 ABC 的费马距离 8 分 BCD 为等边三角形,BC4 A CBD 60,BDBC4 ABC30, ABD 90B 30C 在 Rt ABD 中, AB3,BD 4 AD2 AB BD22 3 425（km）5km 从水井 P 到三个村庄所铺设的输水管总长度的最小值为 10 分D 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页