2022年不等式的性质.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载 6.1.1 教学目的： 一 才能训练要求：1. 把握差值比较法. ；2. 会用差值比较法比较两个实数的大小 . 二 德育渗透目标：1. 培育同学转化的数学思想和规律推理才能；2. 培育同学数形结合的数学思想和敏捷应变的解题才能；考问题严谨周密的习惯 .3. 培育同学分类争论的数学思想和思教学重点： 懂得在两个实数 a、b 之间具有以下性质：ab ab0；ab ab 0；ab ab0；这是不等式这一章内容的理论基础,是不等式性质 证明、证明不等式和解不等式的主要依据 . 教学难点： 比较两个

2、代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号 留意是指差的符号,至于值是多少,在这里无关紧要.差值比较法是比较实数大小的基本方法,通常的步骤是：作差变形判定差值的 符号 .教学过程一、课题导入 在客观世界中,不等关系具有普遍性、确定性,是表述和争论数量取值范 围的重要工具 . 争论不等关系,反映在数学上就是证明不等式与解不等式 . 实数 的差的正负与实数的大小的比较有着亲密关系,这种关系是本章内容的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据 . 因此,本节课我们有必要来争论探讨 实数的运算性质与大小次序之间的关系 . 一师数轴的三要素是什么 .生原点、正方向、单位长度

3、 .师把以下各数在数轴上表示出来,并从小到大排列：3 1 , 5 ,0,-4 , 32 2生3 1-4 03 . 2 2师生共析在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表 示的实数大 . 二 请同学们预习课本,解决以下问题：；如 ab,就 a 第 1 页,共 37 页 - - - - - - - - - 师如 ab,就 ab 0；如 ab,就 ab 0b 0. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载生如ab,就ab0；如ab,就ab0

4、；如ab,就ab0,反之亦然 . 师“ ab” 与“ab0” 等价吗 . 生明显,“ ab” 与“ab0” 等价 . 师生共析ab ab0 ab ab0 ab ab0 此等价关系供应了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小,只要考查它们的差就可以了 . 三例 1比较 a3 （a）与（ a2）（a4）的大小 . 师比较两个实数 a 与 b 的大小,可归纳为判定它们的差 ab 的符号 注 意是指差的符号, 至于差的值到底是多少, 在这里无关紧要 . 由此,把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题 .此题学问点：整式乘法,去括号法就,合并同类项 . 生由题意可知：（a3）（a）（ a2）（

5、a4）（ a 22a1）（ a 22a） 0 （ a3）（a）（ a2）（a4）例 2已知 x 0,比较（ x 21）2与 x 4x21 的大小 . 师同例 1 方法类似,同学在懂得基础上作答 . 此题学问点：乘法公式,去括号法就,合并同类项 .生由题意可知：（x 21）2（x 4x 21）（ x 42x 21）（ x 4x 21）x 42x 21 x 4x 21x 2x 0 x 20 x 21）2（ x 4x 21） 0（ x 21）2x 4x 21. 例 2 引伸：在例 2 中,假如没有x 0 这个条件,那么两式的大小关系如何. 师此题意在培育同学分类争论的数学思想,提示同学在解决含字母代

6、数式问题时, 不要遗忘代数式中字母的取值范畴,一般情形下, 取值范畴是实数集的可以省略不写 . 生在例 2 中,假如没有 x 0 这个条件,那么意味着 x 可以全取实数,在解决问题时,应分 x0 和 x 0 两种情形进行争论,即：当 x0 时,细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 37 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（x 21）2x 4x 21；当 x 0 时,（x 21）2x 4x 21 师生共析例 1,例 2 是

7、用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是：作差变形判定符号. 这样把两个数的大小问题转化为判定它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要 四.2x . 例 1当 x1x20 时,比较12 x 1与1师作差法适用于任何两实数的大小比较,但是要留意恒等变形完全后,才能作出差是大于零或小于零,然后判定两个数的大小.此题学问点：因式分解,分子有理化.12 x 112 x 2=1x2 1x22 x 2x 1x2x 1x222 x 1112 x 112 x 2x1x202 2x1x20,x1x20 且 1 x 1 1 x 2 01 x 1 2 1 x 2 20 即 1 x 1 21 x 2 2

8、. 师此题解答时,同学如在第一步就依据函数 y1 x 2 的单调性对1 x 1 2 与 1 x 2 2 进行比较,就失去了作差比较的意义；通过有理化、因式分解后再加以判定,这是作差比较的实质 .例 2如 0ab,c 0,试比较 ac 与 bc 的大小 . 师此题用作差法比较最好,但也可用作商法比较,如用作商比较法应特殊留意,两数必需是均正的 . 生方法一 作差法 ：；acbcc（ab）0abab0；又 c 0 当 c0 时 c（ab） 0 即 acbc；当 c0 时 c（ab） 0 即 acbc. 方法二 作商法 ： c 0ac a0ab a 1 bc b bacbc师这一结论明显是错误的,其

9、缘由主要在于 ac0,bc0,两负数作商比较是没有依据的 . 下一节我们详细争论作商比较法的依据 师生共析此题用作商法作答其正确步骤如下：0ab0a 1 c 0 ac a0ac 1 b bc b bc当 c0 时,ac0,bc0 acbc细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 37 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载3 当 c0 时, ac0,bc0 又 ac 1 acbc 不等式基本性质bc故当 c0 时 acbc；c0

10、时,acbc. 三、课堂练习1. 在以下各题的横线处适当的不等号：21 （3 2 ） 2 6 ；（2）（3 2 ）（6 1）2；2（3）1 1；5 2 6 54 当ab0 时, log 1a log 1b. 2 2答案： 1 （2）（3）（4）2. 挑选题如 a0, 1b0,就有 A.aabab 2 B. ab 2abaC.abaab 2 D. abab 2a分析：利用作差比较法判定 a,ab,ab 2的大小即可 . a0,1b0 ab0,b10,1b0,0b 21,1b 20 abaa（b1） 0 abaabab 2ab（1b）0 abab 2aab 2a（1b 2）0 aab 2故 aba

11、b 2a. 答案： D 3. 比较大小：1 （x）（x）与（ x）2；2log1 3 2 1 与 log11. 232解： 1 （x）（x）（ x （ x 212x3）（ x 212x3） 10 （ x）（x）（ x）22 解法一： 作差法 log1 3 2 1 log11lg1lg1lg3lg2lg23lg22 第 4 页,共 37 页 3 12 12lglglg2lg3lg2lg33细心整理归纳 精选学习资料 23 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

12、- -lg3lg2lg3lg2学习必备欢迎下载1 3 2 1 log110 log2lg2lg33解法二： 中介法,常以“ 1,0,1” 作中介 函数 ylog 1x 和 ylog 1x 在（ 0,）上是减函数且 1 12 3 2 3log 1 3 2 1 log 1 2 2 1 1,log 1 2 3 1 log 1 3 3 1 1 log 1 3 2 1 log 1 2 3 1 . 4. 假如 x0,比较（x 1）2 与（x 1）2的大小 . 2解：（x 1）2（x 1）（x 1）（x 1）（x 1）（x 1）或（x2 x 1）（ x2 x 1） 4 xx0 x 0 4 x 0 （x 1）

13、2（x 1）25. 已知 a 0,比较（ a 22 a1）（a 2 2 2 a1）与（ a 2a1） （a 2a1）的大小 . 解：（a 22 a1）（a 22 a1）（ a 2a1）（a 2a1）（a 21）2（2 a）2（a 21）a 0,a 20 a 20 2a 2 a 2故（ a 22 a1）（a 22 a1）（ a 2a1）（a 2a1）. 师4、5 题的解答过程中,留意利用平方差公式、完全平方公式敏捷变形,对提高解题效率起了重要作用 . 四、小结与反思：本节学习了实数的运算性质与大小次序之间的关系,并以此关系为依据,争论了如何比较两个实数的大小,其详细解题步骤可归纳为：第一步：作差

14、并化简,其化简目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式 . 其次步：判定差值与零的大小关系,必要时须进行争论. 第三步：得出结论 . 在某些特殊情形下 如两数均为正, 且作商后易于化简 仍可考虑运用作商 法比较大小 . 它与作差法的区分在于其次步,作商法是判定商值与 1 的大小关 系. 五、课后作业： 一 课本 P习题 6.1 1 、2、3； 二1. 预习内容：课本 P定理 1,2,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

15、 - - - - - - -学习必备 欢迎下载3 及其推论 . 2. 预习提纲：1 预习定理 1,懂得不等式的反对称性；2 预习定理 2,懂得不等式的传递性；3 预习定理 3,懂得不等式的移项法就 . 板书设计 .1.1 不等式的性质 一 . abab0 一、三个等价关系abab0；abab0；二、两实数大小比较的方法作差法例题课堂练习课时小结课后作业6.1.2 不等式的性质 教学目标1懂得同向不等式,异向不等式概念；3 是移项法就2把握并会证明定理1,2,3；3懂得定理 3 的推论是同向不等式相加法就的依据,定理的依据；4初步懂得证明不等式的规律推理方法 . 教学重点 定理 1,2,3 的证

16、明的证明思路和推导过程 教学难点 懂得证明不等式的规律推理方法 教学方法引导式 教具预备 幻灯片 教学过程 . 复习回忆 师: 上一节课 , 我们一起学习了比较两实数大小的方法 , 主要依据的是实数 运算的符号法就 , 而这也是推证不等式性质的主要依据 , 因此,我们来作一下回 顾：生:abab0 第 6 页,共 37 页 细心整理归纳 精选学习资料 abab0abab0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载师：这一节课,我们将利用

17、比较实数的方法,. 讲授新课来推证不等式的性质 . 师: 在证明不等式的性质之前 , 我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念 . 1. 同 向 不 等 式 ： 两 个 不 等 号 方 向 相 同 的 不 等 式 , 例 如 ：a22a3,1a22 a是同向不等式 . . 例如：a232a ,a2a5异向不等式：两个不等号方向相反的不等式是异向不等式 . 2. 不等式的性质：ba;如ba ,就ab . 即abba .定理 1：如 ab,就师：定理 1 说明,把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向. 在证明时,既要证明充分性,也要证明必要性. 证明：ab,a- b0 由正数的相反数

18、是负数,得 a b 0b a 0b a说明：定理 1 的后半部分可引导同学仿照前半部分推证,留意向同学强调实数运算的符号法就的应用 . 定理 2：如 ab,且 bc,就 a c . 证明：a b , b ca- b0, b- c0 依据两个正数的和仍是正数,得（a- b）+ b- c 0 a- c0 ac说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法就及两正数之和仍是正数. 定理 3：如 ab,就 a+cb+c师：定理 3 说明,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向 . 证明：（ a+c）- b+c =a- b0 a+cb+c说明：（1）定理 3 的证明相当于比较（ a+c）与

19、 b+c 的大小,采纳的是求差比较法；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（2）不等式中任何一项转变符号后,可以把它从一边移到另一边,理由 是：依据定理 3 可得出：如 a+bc, 就 a+b+- b c+- b 即 acb. 定理 3 推论：如ab ,且cd,就acbd. 证明 : ab, a+cb+ccdb+cb+d由、得 a+cb+d 说明：（1）推论的证明连续两次运用定理

20、3 然后由定理 2 证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即：两 个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时,就不能作出一般的结论；（4）定理 3 的逆命题也成立 . （可让同学自证）. 课堂练习 1证明定理 1 后半部分；2 证明定理 3 的逆定理 .说明：本节主要目的是把握定理 插在定理的证明过程中进行 . 课堂小结1,2,3 的证明思路与推证过程,练习穿师：通过本节学习,要求大家熟识定理 1,2,3 的证明思路,并把握其推导过程,初步懂得证明不等式的规律推理方法 . 课后作业1求证：如mn ,ab,就man

21、b .定理 3 5.定理 3 2证明：如ab ,cd,就acbd.板书设计6.1.2 不等式的性质1同向不等式 3.定理 2 4.异向不等式证明证明推论 2 定理 1 证明说明说明证明教学后记6.2.1 算术平均数与几何平均数教学目标1学会推导并把握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2懂得定理的几何意义；. 第 8 页,共 37 页 3能够简洁应用定理证明不等式教学重点细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎

22、下载均值定理证明教学难点等号成立条件教学方法引导式教具预备幻灯片教学过程. 复习回忆师：上一节,我们完成了对不等式性质的学习,第一我们来作一下回忆 生：（答略）. 师：由上述性质,我们可以推导出以下重要的不等式. . 讲授新课1重要不等式：0,b2a2ab 当且仅当a0 ,b 时取号假如a ,bR,那么a2证明：a2b22abab2当ab时,ab2当b 时,ab 2所以,ab20即a2b22 ab.由上面的结论,我们又可得到2定理：假如 a,b 是正数,那么 a bab 当且仅当 a b 时取 号 .2证明： a 2 b 2 2 ab ,a b 2 ab即 a b ab2明显,当且仅当 a b

23、 时 , a b ab2说明：）我们称 a b 为 a , b 的算术平均数,称 ab 为 a , b 的几何平均数,2因而,此定理又可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . ）a 2b 22 ab 和 a b ab 成立的条件是不同的：前者只要求 a,b2都是实数,而后者要求 a,b 都是正数 . ）“ 当且仅当” 的含义是充要条件 . 3均值定理的几何意义是“ 半径不小于半弦”. 细心整理归纳 精选学习资料 第 9 页,共 37 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

24、 - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载以长为a+b的线段为直径作圆, 在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径 AB的弦 DD, 那么 CD 2 CA CB即 CD ab这个圆的半径为 a b,明显,它不小于 CD,即2a bab,其中当且仅当点 C与圆心重合；即 a=b 时,2等号成立 . 师：在定理证明之后,我们来看一下它的详细应用 . 4题讲解：例 1 已知 x,y 都是正数,求证：（1）假如积 xy 是定值 P, 那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ;（2）假如和 x+y 是定值 S, 那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 1 S

25、 证明：因 24为 x,y 都是正数,所以x y xy2（1）积 xy 为定值 P 时,有 x y P2x y 2 P上式当 x y 时,取“=” 号,因此,当 x y 时,和 x y 有最小值 2 P . （2）和 x+y 为定值 S 时,有Sxy ,21 2xy S4上式当 x=y 时取“=” 号,因此,当 x=y 时,积 xy 有最大值 1 S . 4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应留意三个条件：）函数式中各项必需都是正数 ; 函数式中含变数的各项的和或积必需是常数；）等号成立条件必需存在. . 师：接下来,我们通过练习来进一步熟识均值定理的应用. 课堂练习课本 P11

26、 练习 2,3 要求：同学板演,老师讲评. 第 10 页,共 37 页 课堂小结细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载师：通过本节学习,要求大家把握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理, 并会应用它证明一些不等式, 但是在应用时, 应留意定理的适用条件 . 课后作业例题 同学习题 6.2 1,2,3,4 板书设计6.2.1 1重要不等式说明） 4. ） 练习） 2均值定理 3.几何意义 教学后记

27、6.2.2 算术平均数与几何平均数教学目标1进一步把握均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值；3能够解决一些简洁的实际问题 . 教学重点均值不等式定理的应用教学难点解题中的转化技巧教学方法启示式教具预备幻灯片教学过程. 复习回忆师：上一节,我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理,第一我们来回忆一下定理内容及其适用条件 . 生：（回答略）师：利用这肯定理,可以证明一些不等式,也可求解某些函数的最值,这一节,我们来连续这方面的训练 . . 讲授新课例 2 已知 a, b, c, d 都是正数,求证：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

28、 - - 第 11 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -abcdacbd4abcd学习必备欢迎下载分析：此题要求同学留意与均值不等式定理的“ 形” 上发生联系,从而正确运用,同时加强对均值不等式定理的条件的熟识 . 证明：由 a,b,c,d 都是正数,得ab cdab cd 0 ,2ac bdac bd 0 .2 ab cd ac bd abcd .4即 ab cd ac bd 4 abcd例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m 3, 深为 3m,假如池底每 1m 2

29、的造价为 150 元,池壁每 1m 2的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？分析：此题第一需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理 . 解：设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,依据题意,得1600l 240000 720 x x1600240000 720 2 xx240000 720 2 40 297600当 x 1600 , 即 x 40 时 , l 有最小值 2976000 .x因此,当水池的底面是边长为 40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600元. 评述：此题既是

30、不等式性质在实际中的应用,应留意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用,应留意不等式性质的适用条件 . 师：为了进一步熟识均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用,我们来进行课堂练习 . . 课堂练习 课本 P11 练习 1,4 要求：同学板演,老师讲评. 课堂小结师：通过本节学习,要求大家进一步把握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值,并熟识到它在实际问题中的应用. 第 12 页,共 37 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

31、- - - - - - - - - - - - -课后作业学习必备欢迎下载习题 6.2 5,6,7 板书设计均值不等式 例 2 6.2.2 例 3 同学定理回忆 练习 教学后记6.2.3 算术平均数与几何平均数 教学目标 一 教学学问点1. 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即如 a,bR,且 ab2M,M为定值,就 abM,等号当且仅当 ab 时成立 . 42. 两个正数的积为定值时, 它们的和有最小值, 即如 a,bR,且 abP,P 为定值,就 ab2 二 才能训练要求P ,等号当且仅当 ab 时成立 . 通过两个例题的争论,进一步把握均值不等式定理,并会用此定理求某些 函数的最大

32、、最小值 . 三 德育渗透目标 把握两个正数的算术平均数和几何平均数次序定理及相应的一组不等式,使同学认清定理的结构特点和取“ ” 条件. 要在分析详细问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和详细方式,自觉提高同学分析问题和解决问题的才能. 教学重点基本不等式 a 2b 22ab 和 a bab （a0,b0）的应用,应留意：21 这两个数 或三个数 都必需是正数,例如：当 xy4 时,假如没有 x、y 都为正数的条件, 就不能说 xy 有最小值 4,由于如都是负数且满意 xy4,xy 也是负数,此时 xy 可以取比 4 小的值 . 2 这两个 或三个 数必需满意“ 和为定值” 或“ 积为定

33、值”,假如找不出“ 定值” 的条件,就不能用这个定理 . 例如,求当 x0 时, yx 21 的最小x值,如写成 yx 21 2 x 2 12 x,就说“ 最小值为 2 x ” 是错误的,x x细心整理归纳 精选学习资料 第 13 页,共 37 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由于 x 21 不是定值,而 2 x学习必备欢迎下载x 仍为随 x 变化而变化的值 . 正确的解法是：由于x 21 2 x1 2 x1 为定值,故 x 421 x 2x

34、1 2 x1 32 x3x211332,2x2x23 即 y 的最小值为 3 2 . 2 3 要保证等号确定能成立,假如等号不能成立,那么求出的值仍不是最值. 教学难点2 2 中yx如何凑成两个 或三个 数的和或积是定值 . 例如“ 教学重点”1 凑成 yx x21 2 x1 . 2 x 教学方法启示式教学法 教具预备投影片一张 记作 .2.2 A 几个重要的不等式 1. a 2b 22ab（a,bR）,当且仅当 ab 时取“ ” 号 . 2. a b ab（a0,b0）,当且仅当 ab 时取“ ” 号 . 23. b a2（ab0）,当且仅当 ab 时取“ ” 号 . a b4. a b c

35、 3 abc（a0,b0,c0）,当且仅当 abc 时取“ ”3 号. 5. a 3b 3c 33abc（a0,b0,c0）,当且仅当 abc 时取“ ”号. 教学过程 . 课题导入 上一节课,我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数 以下简称均值不等式 . 这个定理有时可以直接运用,有时用它 的变形或推广形式, 打出投影片6.2.2 A ,老师引导同学略作分析 ,使同 学们把握下面几个重要的不等式：1 a 2b 22ab（a,bR）,当且仅当 ab 时取“ ” 号；2 a b ab（a0,b0）,当且仅当ab时取“ ” 号；2细心整理归纳 精选学习资料 第 14

36、页,共 37 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3 b a2（ab0）,当且仅当 ab 时取“ ” 号；a b4 a b c 3 abc（a0,b0,c0）,当且仅当 abc 时取“ ”3号；5 a 3b 3c 33abc（a0,b0,c0）,当且仅当 abc 时取“ ”号. 在此基础上,上述重要不等式有着广泛的应用,例如：证明不等式,求函数最值,判定变量或数学式子的取值范畴等等. 它们涉及到的题目活, 变形多,必需把握好凑形技巧 . 今日,我们就来进一步学习均值不等式的应用 . 讲