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1、3函数方程的递归解法（上）上节最后几个例题清楚地表明，对于由自然数的函数组成的方程，代换法是一个相当有效的方法 . 但是，这种方法也会有失效的时候. 请看例 1 中由养兔问题而得到的函数方程：.1)2(,1)1()5(,)()1()2(?f?f?nfnfnf如果分别令?n,3,2,1就得到. )()1()2(, )3()4()5(, )2()3()4(,) 1()2()3(?nfnfnf?fff?fff?fff加在一起，得. )()3()2()1()2()2(?nfffffnf仍然未能求得我们所需要的函数)(nf，即无法用n的代数式来表示)(nf. 这时候，使用一种叫递归法的方法，也许会获得成
2、功. 我们知道，定义在自然数上的函数)(nf，当自变量n 依次取 1，2，3，, 等值时，就形成一个数列., )(, )3(, )2(, )1(?n?f?f?f?f因而可以借助于数列对这种函数组成的函数方程加以研究. 给出一个数列，通常可有三种方法：一是用通项公式，一是用递推公式，一是用递归公式. 所谓通项公式，就是用自然数n 的表达式来表示数列的“通项”)(nf的公式 . 所谓递推公式， 就是由含有数列前边的若干项的表达式来表示后边某一项的公式. 如果这种表达式中仅含数列前边的若干项（允许有常数系数），这个公式就叫递归公式. 例如自然数列，用通项公式来表示是.)(n?nf（51）用递推公式来
3、表示就是.1)() 1(?nfnf（52）用递归公式来表示又成为. )()1(2)2(?nfnfnf（53）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 又如自然数的平方组成的数列.,4,3,2,122222?n?它的这三个公式分别是通项公式：.)(2?nnf（54）递推公式：,12)() 1(?nnfnf（ 55）递归公式：. )()1(3)2(3)3(?nfnfnfnf（56）这里有几个关系值得注意：第一，通项公式与其他两
4、个公式的关系. 从函数方程的观点看来，递推、递归公式实际上都是函数方程，而通项公式则是它们的解. 这一点，从（ 51）（ 53） ， （54）（ 56）可以明显地看出来. 第二，递推公式与递归公式间的关系. 从定义上看，递归公式也是一种递推公式，二者是从属关系，或特殊与一般的关系. 不过为了叙述上的方便，我们把只含数列中的项（可以带有系数）的递推公式叫递归公式. 递归公式的一般形式是. )()2()1()(21?nfaknfaknfaknfk（57）这是用数列中连续k 项的表达式来表示紧接着的后一项. 这里，k?a?a?a,21是常数系数 . 公式（ 57）更精确地称做是k 阶递归公式 . 一
5、般来说，由递推公式能够推导出递归公式. 以（ 55）的递推公式为例. 因为,12)() 1(?nnfnf同样地有.32)1()2(?nnfnf后式减去前式，移项得.2)() 1(2)2(?nfnfnf类似地有.2) 1()2(2)3(?nfnfnf后式减去前式，移项得. )() 1(3)2(3)3(?nfnfnfnf（58）这是一个三阶递归公式. 第三，三个公式与数列的关系. 一旦给出通项公式，数列便被唯一地确定了. 但递推公式特别是递归公式却不然. 给出一个递归公式后，会有无穷多数列都满足这个递归公式. 这名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
6、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 是因为，由k 阶递归公式的数列，它的前k 项无法由递归公式本身确定. 但当给出了这个数列的前 k 项的值后，递归公式就唯一地确定了数列. 我们把数列前k 项的值叫初值条件. 同一个递归公式，由于初值条件不同，将得到不同的数列. 例如，递推公式（58）是一个三阶递归公式. 只有当初值条件取2223)3(,2)2(,1) 1(?f?ff?时，才对应自然数的平方的数列. 事实上，.,523343)2()3(3)4(3)5(,412333)1()2(3)3(3)4(2222
7、2222?ffff?ffff如果改变初值条件，比如取1)3(,2)2(,0)1(?f?f?f时，不难算得：.,20)6(,10)5(,3)4(?f?f?f数列就不再是自然数平方数列了. 一般说来，递归公式（57）)()2() 1()(21nfaknfaknfaknfk可以对应无穷多的数列，只要选取不同的初值条件，亦即对数列的前k 项)(, )3(, )2(, )1(k?f?f?f?f给以不同的值就行了. 反过来说，有无穷多个数列满足递归公式（57） . 只有在初值条件给出后，数列才完全确定. 特别是，我们能够构造出首项为1，公比为 q 的等比数列，使它满足递归公式（57） ：.,132?q?q
8、?q?q?n?事实上，只要公比满足方程132211nkknknknqaqaqaq（58）就可以了 . 方程（ 58）两边同除以1nq，得kaqaqaqkkk2211. （ 59）这就是说，公比q 应当是方程（ 59）的根 . 这样一来，一个等比数列，只要当它的公式q 满足以 k 阶递归公式 （57）的相当系数为系数的代数方程（59）时，它必能满足这个递归公式. 方程（ 59）叫递归公式（49）的特征方程 . 还应当指出：如果一个数列满足递归公式（57） ，那末给数列的各项乘以相同的常数，所得的新数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
9、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 仍满足原递归公式（57） ；如果两个数列都满足同一个递归公式（57） ，那末它们对应项的和所组成的新数列仍满足原递归公式（57） ；由此又得到：如果两个数列都满足同一个递归公式（57） ，那末，给两数列的各项分别乘以常数（同一数列的各项要乘同一常数，但两数列所乘的常数可不必相同），再把对应项加起来，所成的数列仍满足原递归公式（57）. 上述这些性质都显而易见，证明也并不难. 应用所有这些结果，即可解某些定义在自然数上的函数方程了. 例 15解由例 1 的养兔问题而得的函数方程
10、. )()1()2(?nfnfnf（ 5）解对应的特征方程是. 12?qq（60）解这个方程，得251,25121?q?q如前所述，数列?Bq?Aq?Bq?Aq?Bq?AqB?A?nn,1211222121满足递归公式（5）. 这里 A，B 是待定的常数 . 它们满足初值条件)62(,1)2()61(,1)1(21?fBqAq?fB?A解由方程（ 61） ， （ 62）组成的方程组，得52151;52151121212qqq?B?qqqA. ,25152152515215)(111211?BqAqn?fnnnn就是.25125151)(?nfnn（63）这就是说，第n 个月，共有大兔nn251
11、25151对. 诚然，公式（ 63）是不便于实际计算的. 但利用下列近似数值和常用对数表，即可求得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - )(nf的近似值：.61803.0251,61803.1251,44721.051?例 如n=12时 ， 1.6180312 =321.992 ， (-0.61803)12 =0.003 ， 321.992 0.003=321.989. 321.989 0.44721 1.44. 即一
12、年后大兔有144 对. 使用数学归纳法或其他方法，可以证明对任何 n，)(nf都是正整数，但在用近似数计算时却只近似地得到整数. 例 16已知)(,)2(,)1(3322?f?f（64）且. )() 1()()2(?nfnfnf（65）求证11)(nnnf. （66）证函数方程（ 65）的特征方程是,)(2?qq.,21?q?q根据初值条件（64） ，设.,3322?B?A?BA求得.)()(,)()(2222?B?A11)(nnBAnf.)()()()(11122122?nnnn有时候，特征方程具有虚数根. 试看下例 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -