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1、精品资料欢迎下载初中数学竞赛专题选讲(初三.11) 未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情况下, 解方程或方程组,未知数的个数总是与方程的个数相同的,但也有一些方程或方程组,所含的未知数的个数多于方程的个数,包括在列方程解应用题时,引入的辅助未知数 . 解这类方程或方程组,一般有两种情况:一是依题意只求其特殊解,如整数解, 或几个未知数的和(积 )等,无需求出所有的解;二是在实数范围内,可运用其性质, 增加方程或不等式的个数. 例如,利用取值范围,非负数的性质等. 二、例题例 1. 在实数范围内,解下列方程或方程组:0211122yxxx;x2+xy+y23x3y+3=0;4222
2、zxyzyx解:根据在实数范围内,二次根式被开方数是非负数,分母不等于零. 得不等式组01010122xxx解得 x2=1 而 x1, 21yx 整理为关于x 的二次方程,利用方程有实数根,则判别式 0. x2+(y3)x+(y2 3y+3)=0. x 是实数, 0. 即( y3)24(y23y+3) 0 . 解得(y1)2 0 . 而 (y 1)20. y=1. 11yx是原方程的解. 消去一元后,利用实数平方是非负数性质. 由得 z=2xy . 代入得2xy (2xy)24=0. 整理配方,得 (x2)2+(y2)2=0. 相加得0 的两个数,只有是互为相反数. 而 x, y 是实数,(x
3、2)2 0,(y2)20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精品资料欢迎下载满足等式的条件只能是:0202yx. 方程组的解是222zyx本题在消去z 后,也可以仿,写成关于x 的二次方程,用判别式求解. 例 2. 一个自然数除以4 余 1,除以 5 余 2,除以 11 余 4,求适合条件的最小自然数. 分析:本题有多种解法:交集法,设三元,消去一元,用二元一次方程求整数解,设二元,求二元一次方程的整数解. 解法一:除以4 余 1 的自然数集合:1,5,9, 13,17,21, 37;除以 5 余 2 的自然数集合
4、:2 ,7,12,17, 37;除以 11 余 4 的自然数集合:4, 15,26,37, . 三个集合的公共元素中最小的自然数是37. 解法二:设所求的自然数为 4a+1 或 5b+2 或 11c+4 (a,b,c 都是自然数 ). 得方程组)2(41114)1 (2514caba由(1)得 a=41415bbb. 设kb41(k 为正整数 ),那么 b=4k 1,a=5k1. 由(2)得c=117911720113)15(41134kkkka. 要使1179k为整数, k 取最小正整数2. 这时 c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数是 37. 解法三:设所求的自然数为x, 则
5、41x,52x,114x都是自然数 . 41x52x114x. 41x+114x52x也是自然数 . 设 y=41x+114x52x. 去分母,得200y=31x47. x=31163173147200yyy. y 取最小正整数5,能使31163y为整数 . x=37,即最小的自然数是37. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精品资料欢迎下载例 3. 有甲,乙,丙三种货物.若购买甲3 件,乙 7 件,丙 1 件共需 3.15 元;若购买甲4 件,乙 10 件,丙 1 件共需 4.20 元.问购买甲、乙、丙各 1 件共
6、需几元?(1985 年全国初中数学联赛题)解:设甲,乙,丙每件分别为x,y,z 元. 根据题意,得)2(20. 4104) 1(15.373zyxzyx( 依题意只要求出x+y+z 的值 ) (1)3(2) 2:x+y+z=1.05 (元) . 答:买甲、乙、丙各 1 件共需 1.05 元. 例 4. 甲、乙两车分别从A、B 两站同时出发,相向而行,当甲车走完全程的一半时,乙车距 A 站 24 公里;当乙车走完全程的一半时,甲车距B 站 15 公里 .求 A、B 两站的距离 . 解:设 A、 B 两站的距离为x 公里,并引入辅助未知数V甲,V乙分别表示甲、乙两车的速度 . 根据题意,得)2(2
7、15)1(242乙甲乙甲VxVxVxVx( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) 方程 (2)左、右不等于零(1)(2)得224152xxxx. 解得,x=40;或x=12 (不合题意舍去 ). 答: A、B 两站的距离为40 公里 . 三、练习1. 甲,乙,丙,丁,戊做一件工程,甲,乙,丙合作需7.5 小时,甲,丙戊合作需5 小时,甲,丙,丁合作需6 小时,乙,丁,戊合作需4 小时 .问五人合作需几小时?2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布,共付42.9 元,售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了,退给厂方1.6 元,厂方把这1.6 元又买了甲、乙两种布各1 尺.问服装厂共买布几尺?3.
8、两只船分别从河的两岸同时对开,速度保持不变,第一次相遇时,距河的一岸700 米,继续前进到达对岸后立即返回,第二次相遇时,距河的另一岸400 米,求河的宽. 4. 游泳运动员自闽江逆流而上,在解放大桥把水壶丢失,继续前游20 分钟才发现,于是返回追寻,在闽江大桥处追到,已知两桥相距1000 米,求水流的速度. 5. 已知长方形的长和宽均为整数,且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少?6. 有一队士兵,若排成3列纵队,则最后一行只有1 人;若排成5 列纵队,则最后一行只有 7. 人;排成 7 列纵队,则最后一行只有6 人.问这队士兵最少是几人?7. 求下列方程的实数解:0311
9、221yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精品资料欢迎下载 5x2+6xy+2y2 14x8y+10=0 (x2+1)(y2+4)=8xy 052312yxyx8. 一件工程,如果甲单独完成所需的时间是乙,丙合做,完成这件工程所需时间的a 倍;如果乙单独完成所需的时间是甲,丙合做, 完成这件工程所需时间的b 倍.(其中 ba1),那么丙单独完成所需的时间是甲,乙合做,完成这件工程所需时间的多少倍?(1990 年泉州市初二数学双基赛题) 9. 甲,乙两车从东站,丙,丁两车从西站,同时相向而行.甲车行 120 公里遇
10、丙车,再行20 公里遇丁车;乙车在离西站126 公里处遇丙车,在中途遇丁车.求东西两站的距离. 10. 三辆车 A,B,C 从甲到乙 .B 比 C 迟开 5 分钟,出发后20 分钟追上 C;A 比 B 迟开10 分钟,出发后50 分钟追上C.求 A 出发后追上B 的时间 . 11. 学生若干人住宿,如果每间4 人,有 20 人没房住;如果每间8 人,则有一间不满也不空 .求学生人数 . 12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5 小时,由乙码头逆水航行到甲码头需7 小时。问一木排从甲码头顺水漂流到乙码头要用几小时?练习题参考答案1.3 小时,2.53 尺,3.1700 米.4.时速 1.5 公里 .5.6,3;4,46.97 人8.倍12abba. 9.引入各车的速度,解方程组144,210.10.250.11.44 人.12.35 小时 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页