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1、简单的函数方程（一）函数方程的概念 ：1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x1)=x、f(x)=f(x) 、f(x)= f(x)、f(x2)=f(x)等。其中 f(x)是未知函数2.函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理（柯西函数方程的解）若 f(x)是单调 （或连续）函数且满足 f(xy)=f(x)f(y) (x,yR)、 则 f(x)=xf(1) 证明：由题设不难得f(x1x2 xn)=f(x1)f(x2) f(xn) 取
2、x1=x2=xn=x，得 f(nx)=nf(x) (n N+) 令 x=0，则 f(0)=nf(0) ，解得 f(0)=0 - （1）x=1，则 f(n)=nf(1) x=nm，则 f(m)=nf(nm) ，解得 f(nm)=n1f(m)=nmf(1) - (2) x=nm，且令 y=x0，则 f(x)f(y)=f(x y)=f(0)=0 f(x)=f(y)=yf(1)=xf(1) (m,nN+,且(m,n)=1) -(3) 由上述（ 1） ， （2） ， （3）知：对任意有理数x 均有 f(x)=xf(1) 另一方面，对于任意的无理数x，因 f(x)连续，取以 x 为极限的有理数序列xn，则
3、有 ：f(x)=nlimf(xn)=nlimxnf(1)=xf(1)综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1) 函数方程的解法 ：1.代换法（或换元法 ）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例 1 （1）已知 f(2x1)=x2x，那麽 f(x)=_。略解：设 t=2x1，则 x=21(t1)，那麽 f(t)=41(t1)221(t1)=41t2t43名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
4、- - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 故 f(x)=41x2x43(2) 已知 f(x1)=x2x，那麽 f(x)=_。略解： f(x1)=(x1)21，故 f(x)=x21 (x1) (3) 已知 f(xx1)=x221x，那麽 f(x)=_。略解： f(xx1)=(xx1)22，故 f(x)=x22 (|x|2) 例2设 ab0,a2b2，求 af(x)bf(x1)=cx 的解解：分别用 x=t1，x=t 代入已知方程，得af(t1)bf(t)=tc-(1) af(t)bf(t1)=ct-(2) 由（1） ， （2）组成方程组解得f(t)=tbabatc)()
5、(222即： f(x)=xbabaxc)()(2222.待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得例3已知 f(x)是一次函数，且fff-f(x)=1024x1023。求 f(x) 10 次解：设 f(x)=axb (a0)，记 fff f(x)=fn(x)，则n 次f2(x)=ff(x)=a(ax b)b=a2xb(a1) f3(x)=fff(x)=aa2xb(a1)b=a3xb(a2a1) 依次类推有： f10(x)=a10 xb(a9a8 a1)=a10 xaab1)1(10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
6、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 由题设知：a10=1024 且aab1)1(10=1023 a=2，b=1 或 a=2，b=3 f(x)=2x1 或f(x)=2x3 3.迭代法 （见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）由函数方程找出函数值之间的关系，通过n 次迭代得到函数方程的解法例4设 f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(xy)=f(x) f(y)xy。求 f(x) 解：令 y=1，得 f(x1)=f(x)x1 再依次令 x=1，2， n1，有f(2)=f(1)2 f(3)=f(2)3 f(n1)=
7、f(n2)(n1) f(n)=f(n1)n 依次代入，得f(n)=f(1)23 (n1)n=2)1( nnf(x)=2)1( xx(xN+) 例5，已知 f(1)=51且当 n1 时有)(211)1(2)() 1(nfnnfnfnf。求 f(n) (nN+) 解：把已知等式（递推公式）进行整理，得f(n1)f(n)=2(n1)f(n)f(n1) )(1nf)1(1nf=2(n1) 把 n依次用 2，3， n 代换，得)2(1f)1(1f=2 3 )3(1f)2(1f=2 4 )(1nf)1(1nf=2(n1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
8、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 上述(n1)个等式相加，得)(1nf)1(1f=234 (n1)=(n1)(n4) )(1nf=)1(1f(n1)(n4)=n23n1 f(n)=1312nn4.柯西法在 f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解例6设 f(x)连续且恒不为 0，求函数方程 f(xy)=f(x)f(y) 的解解： f(x)=f(2x2x)=f(2x)f(2x)0 若存在 x0R，使 f(x0)=0。则对一切实数 x，有f(x)=f(x x0 x0)=f(xx0)f(
9、x0)=0 这与 f(x)不恒为 0 矛盾，故 f(x)0 对题设 f(xy)=f(x)f(y) 两边取自然对数，得 f(xy)= f(x)f(y) f(xy)= f(x) f(y) 令 g(x)= f(x) f(x)0 且连续g(x)连续且满足 g(xy)=g(x)g(y).由定理知：g(x)=g(1)x 故 f(x)=x f(1) f(x)=exf(1)=f(1)x令 f(1)=a，则 f(x)=ax (a0) 类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：（1） 若 f(xy)=f(x) f(y) (x 0,y0),则 f(x)=ax （2） 若 f(xy)=f(x)f(y)
10、(x 0,y0),则 f(x)=x2（3） 若 f(xy)=f(x)f(y)kxy,则 f(x)=ax2bx （4） 若 f(xy)f(xy)=2f(x), 则 f(x)=axb 课后练习 ：1、下面四个数中，满足2yxf=21f(x) f(y)的函数是（）A. x B.x1C.3x D.3x2、如果对 xR 有 2f(1x)1=xf(x) ，那麽 f(x)=_。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3、对任意实数 x,y，函数 f(x)有 f(xy)=f(x2)f(2y)，则 f(1985)=( ) A.1985 B.1985C.3990 D.以上答案都不对4、已知 f(1)=1,f(n) f(n1)=an,nN+。求 f(n) 5、解方程xf(x) 2f(11xx)=16、已知 f(x)连续且定义在非零实数集上，满足yfxfyfxfyxf，求f(x) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -