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1、圆的标准方程一、 教材与学情分析1.教材分析（1）教学内容圆的标准方程是人教A版必修2第四章第一节的起始课，主要内容是圆的标准方程的标准方程的推导及应用。（2）地位与作用 本节课对圆的标准方程的认识是学习了直线的有关知识，从初中对圆的定义的定性认识出发，过渡到了解析几何的定量计算，根据圆的定义推导出圆的标准方程，能利用待定系数法和几何法求圆的标准方程，并能解决点与圆的位置关系问题，研究圆这一最简单的曲线也为我们后续研究椭圆，双曲线，抛物线奠定基础，进一步培养学生利用坐标法研究几何问题的能力，加深对数形结合思想的理解，增强数学意识。2.学情分析 高二年级的学生已经掌握了圆的定义，直线方程，两点间
2、的距离公式等有关知识，具备一定用代数方法研究几何问题的能力，本班学生的情况。二、 教学目标依据新课程标准的理念和学生情况，制定如下教学目标：1. 知识与技能（1） 掌握圆的标准方程，并能根据圆的圆心和半径求圆的标准方程，反之根据圆的标准方程求圆心和半径（2） 会判断点与圆的位置关系（3） 并能利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。2. 过程与方法在灵活应用圆的标准方程的过程中，进一步培养学生用坐标法解决几何问题的能力，渗透数形结合的思想，算法思想，培养学生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的能力3. 情感态度价值观培养学生用代数方法解决几何问题，培养学生主动探究知识，合作交流的意识，在体验
3、数学美的过程中激发学生的学习兴趣。教学重点：掌握圆的标准方程及应用教学难点：圆的标准方程的应用及算法分析三、 教学媒体多媒体教学四、 设计思路1.依据几何教育理念，本课的设计思路是：直观感知（图片欣赏）操作确认（学生作图）推理论证（推导方程）度量计算（例题练习）；2.本课采用“问题探究”教学法开展教学，并坚持分层教学，以问题为纽带，以探究为载体，由具体到抽象，利用数形结合推导出圆的标准方程，进而突出重点突破难点。五教学过程教学环节教师活动学生活动活动说明新课引入创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：车轮为什么总设计为圆形？三角形车轮自行车和圆形车轮自行车，在对比观察中让学生感受到圆
4、的几何要素，引发学生学习的好奇心和兴趣。1. 现实模型交通中的圆，时间中的圆，圆周率，中秋团圆。（图片欣赏）2. 生活实例（flash动画演示）直观感知数学建模探索思考探索思考回顾旧知：确定一条直线的几何要素有哪些？1.如何画出一个圆？工具：圆规（尺规作图）2. 确定圆的几何要素是什么？圆心和半径3. 在初中，“圆”的定义是什么？用集合语言定义圆P=MMA=r动点到定点的距离等于定长的点的集合。墨子：圆一种同长也讲授新课：（师生合作，生生合作）1. 圆的标准方程的推导问题1：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可以用一个方程来表示呢？（板书课题：圆的标准
5、方程）根据 P=M|MC|=r,问那个是定点，那个是动点，动点具有什么特征？设圆的圆心坐标为C(a , b)，M(x , y)为这个圆上任意一点，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r0）由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件化简可得 方程就是圆心为C(a , b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的建立坐标系标准方程.设圆心为C（a,b）,半径为r，圆上任意一点为M(x , y)根据P=M|MC|=r得到化简得圆的标准方程圆心为坐标原点（0,0），半径为r的圆的标准方程是什么？x2+y2=r2问题2：圆的标准方程又什么特征？（1） 圆的标准方程 二元二次方程，括号内x,y的系数都为1
6、，展开后没有xy的项。（2） 点(a , b)表示圆心，r表示半径，要确定圆的标准方程需要确定a,b,r三个独立的标准。问题3：如何确定给出的一个点是否在圆上。代数法几何法：点到圆心的距离与半径的关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心A（ a , b ），半径为r，设所给的点为M(x0,y0) 则学生在草稿纸上画圆两点确定一条直线或者一个点加这条直线的斜率确定一条直线。在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆。固定端O称为圆心（圆心位置），线段OA为圆的半径（圆的大小）学生作图后分析圆上动点与定点之间的关系，分组讨论，推导圆的标准方程。（
7、在层次较好的班级请一位学生在黑板上推导）设圆的圆心坐标为A(a , b)，半径为r。P=M|MC|=r,化简可得 若点M(x , y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程,反之若点M的坐标满足方程,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.学生认真分析推导出的圆的标准方程，得出圆的标准方程有哪些特点。层次较好的学生能根据点与直线的位置关系的学习经验得出判断点与直线的位置关系的方法。点的坐标满足直线方程则说明点在圆上，圆上的点的坐标满足直线方程。（代数法）在复习旧知的基础上引人新课引导学生用数形结合的思想将圆的定义代数化，进而推导出圆的标准方程，在知识系统中建构起坐标法解决几
8、何问题的算法框架。问题2的目的在于让学生自主发现圆的标准方程有那些特征，以便于快速判断给出的方程是否是圆的标准方程，并能在已知半径和圆心的情况下写出圆的标准方程，或者根据圆的标准方程得出圆的圆心和半径。问题3的目的在于让学生明了判断点与直线的位置关系，为之后学习曲线与方程打下基础。知识应用例1.判断下列命题是否正确（1） 方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆( )（2） 若圆的标准方程(x+m)2+(y+n)2=a2，此时圆的半径一定是a( )分析：在（1）学生很有可能忽略m=0是方程表示的是一个点（a,b），而非圆.在（2）中学生可能会被给出的方程括号内变成加号所迷惑判断本题错误，
9、但本题错误点仍然是a=0情况被忽略。例2.求下列各圆的标准方程（1） 圆心为C（3，-2），半径为5的圆的方程。（2） 经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2 的圆的方程。（3） 圆心在x轴上，且过点A(1,4),B(2,-3)两点的圆的方程。分析：对（1）将圆心坐标及半径代入圆的标准方程得(x-3)2+(y+2)2=25；对（2）该圆过原点且半径为2，圆心为（-2,0），则圆的方程为(x+2)2+y2=4；对（3）设圆心的坐标为（a,0）,圆的方程设为(x-a)2+(y-b)2=r2代入A,B点的坐标(a-1)2+162= (a-2)2+9解出a值，在根据圆心与 圆上的点的距离为半径，可得
10、圆的半径和圆心坐标，得(x+2)2+y2=25例3.求经过点P(1,1)和原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程。（1） 待定系数法几何法：由题意的OP是圆的弦，其垂直平分线为x+y-1=0,弦的垂直平分线过圆心，则OP与垂直平分线的交点为圆心为（4，-3），则半径为5，圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25例4.圆心为（-2,3）半径等于5的圆，并判断M(-5,7) N（-5，-1）是否在这个圆上？分析：已知圆心和半径得到圆的标准方程(x-2)2+(y+3)2=25代数法将M(-5,7)代入方程左边(5-2)2+(-7+3)2=25，则M点在圆上 N（-5，-1）代入方程
11、左边(-5-2)2+(-1+3)225，则N点不在圆上几何法例5，已知实数x, y满足方程(x-2)2+y2=3求yx的最大值和最小值。分析：原方程表示的是以点（2,0）为圆心，以3为半径的圆，设k=yx,即是圆上的点与原点的连线斜率的最大值和最小值，当直线y=kx与圆相切时，斜率k的最大值和最小值此时|2k0|k2+1=3解得：k=3，则k=yx最大值为3，最小值为-3。一题多变（思考）：（1） 在本例条件下求y-x的最大值和最小值（2） 在本例条件下x2+y2的最大值和最小值。（根据课堂剩余时间，此题作为机动练习）（1）方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆( )（2）若圆的标准方
12、程(x+m)2+(y+n)2=a2，此时圆的半径一定是a( )1.(x-3)2+(y+2)2=25；2. (x+2)2+y2=4；3. (x+2)2+y2=25例3(x-4)2+(y+3)2=25圆的标准方程(x-2)2+(y+3)2=25将M(-5,7)代入方程左边(5-2)2+(-7+3)2=25，则M点在圆上 N（-5，-1）代入方程左边(-5-2)2+(-1+3)225，则N点不在圆上当直线y=kx与圆相切时，斜率k的最大值和最小值此时|2k0|k2+1=3解得：k=3，则k=yx最大值为3，最小值为-3。例1的目的在于让学生明了确定圆的标准方程a,b,r这三个待定系数所必须独立满足的
13、条件。例2的目的在于让学生根据待定系数法分析解得出a,b,r,进而代入圆的标准方程例3的目的在于让学生明了求圆的标准方程方法并不唯一，但主要是待定系数法和几何法，稍加强调在解决有关圆的问题时，利用圆的几何性质转化较为简捷。综上三个例题都要求熟练记忆圆的标准方程，并且理清个字母表示的含义，例4的目的在于巩固利用点的坐标满足点的方程则说明点在圆上（代数法）或者利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断点与圆的位置关系（几何法）本例为与圆有关的最值问题，需要学生能够看出求最值的关系式的几何意义数形结合那么做起来就比较简捷实际上是很重要的题型，但鉴于本课是圆的起始课，由于时间关系本题作为机动练习，此后还要
14、花大量时间练习此类题型。课堂小结教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容课后作业（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化、条理化，使学生再次巩固知识，明确方法）学生归纳总结本课主要学习了以下内容：（1） 利用待定系数法和几何法求圆的标准方程，圆的标准方程的应用（2） 利用几何法和代数法判断点与圆的位置关系六板书设计4.板书圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r25.典型例题例1例2例3例4例5（机动）6课堂小结7课后作业课题：圆的标准方程 1.问题1：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可以用一个方程来表示呢？2.问题2：圆的标准方程又什么特征？3.问题3：如何确定给出的一个点是否在圆上。 七教学反思学科网（北京）股份有限公司