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1、教学设计者基本信息姓名学校学科数学联系电话及邮箱教学设计基本信息课题直线与圆的位置关系（第1课时）年级高二模块必修2教科书版本人教B版学习主题利用坐标法判断直线与圆的位置关系1.整体设计思路（教学设计的思路与学习价值分析）通过实际问题抽象出本节的主要内容利用方程研究直线与圆的位置关系，并通过回顾初中所学习的直线与圆的位置关系及判断方法，得出“几何法”和“代数法”的结论；通过解答课堂最初引入的实际问题，体会分析几何特征在解决平面解析几何问题过程中的简化作用，之后通过对方程中参数的几何意义的分析，体会利用临界条件并借助图象处理直线与圆位置关系的便捷性。2.目标设计（指向学生素养发展的目标设计）能从
2、实际问题中抽象出研究直线与圆的位置关系的数学问题，能够得到在平面直角坐标系中利用方程去判断二者位置关系的结论。能通过分析方程中参数的几何意义，得到直线和圆的变化特征，并通过考察直线与圆相切时的情况，推理出直线与圆相交、相离时方程中参数所满足的条件，从而体会数形结合思想以及从特殊到一般的数学思维过程。并进一步建立用代数方法解决几何问题的意识。通过直线和圆的位置关系的探究与应用过程，体会：（1）坐标法在研究几何问题中的作用。（2）平面解析几何问题中对几何对象的几何特征的分析的重要性；（3）数形结合在解决平面解析几何问题中的简洁性。并能选择适当的方法解决直线与圆位置关系的具体问题。3.学习内容分析（
3、教学内容及内容结构分析，重点难点分析）直线与圆的位置关系是人教B版数学必修2的内容，位于第二章平面解析几何初步第三节圆的方程这一内容中的第三小节。圆的教学在平面解析几何中乃至整个数学教学中都占有重要的位置，而直线和圆的位置关系的应用比较广泛，它是几何问题的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，同时为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课，在今后对直线与圆锥曲线位置关系的学习中也将起到重要作用。本节的教学重点：借助直线与圆的方程，借助坐标法来判断直线与圆的位置关系。本节的教学难点：在通过方程判断直线与圆的位置关系的过程中，对方程中的参数所代表的几何意义进行分析。4.学情分析（学生现
4、状与需求分析）在学习了点与圆的位置关系后，学生已经具备了借助方程研究几何对象之间的位置关系的初步知识，且直线与圆的位置关系是初中已经学过的知识，学生在关注位置关系时并不感到陌生。教师需要在此基础上引导学生意识到，相对于初中所学，高中对直线与圆位置关系的再学习的本质区别，是在坐标系的背景下用代数的方法去研究位置关系。因此教师要注重让学生在这个过程建立坐标法的思想，此外，学生在此过程中遇到的计算问题，以及学生对点到直线距离公式的运用是否熟练也是需要注意的几个方面。5.教与学的过程设计（课堂教与学的每个步骤的情境任务及其意图分析）步骤1：问题引入请大家结合示意图来看这样一个情境： 一艘轮船以东偏北6
5、0的方向行驶，预计若干小时后恰好到达A岛。B岛位于A岛正南侧1.5千米，以岛B为中心半径为1千米的圆形区域内分布着暗礁，若轮船不改变行驶方向，它是否有触礁的危险？ 问题：从平面几何的角度，上述情境反映了哪两个几何对象之间的位置关系？ 问题：我们初中就学过直线和圆的位置关系，直线与圆存在哪些位置关系呢？我们可以通过哪些方法来判断它们的位置关系呢？这一章都是围绕着平面直角坐标系，利用方程来研究几何对象的特征和几何对象之间的位置关系的，我们可以借助直线和圆的方程来研究一下二者之间的位置关系。设计意图：1. 数学问题产生的途径是来源于生活的，上述实际问题可以抽象成数学中平面几何中几何对象之间的关系。而
6、引入的问题恰好是学生无法利用初中所学知识，通过肉眼观察或画图得到精确结论的情境。此问题是为下一步利用坐标法研究直线与圆的位置关系所作的铺垫。2.回顾初中学过的知识，引导学生意识到，高中对直线和圆的位置关系的再研究实际上只是改变了研究方法，借助坐标法去研究几何问题中的位置关系。相比初中所学，利用坐标法研究位置关系更精确。步骤2：新知讲解问题：假定直线和圆的方程已经给定，根据刚才的讨论，我们如何借助方程去判断直线和圆的位置关系呢？直线：圆： 几何法（考察圆心到直线的距离d与半径r的大小关系）代数法（联立方程组，关注方程组解的个数）直线与圆的位置关系dr无 解（无公共点）相离设计意图：在解决具体的判
7、断直线与圆位置关系的问题之前，先引导学生归纳出方法，为下面进行的学习和计算确定方向。步骤3：结论应用大家对于利用方程去研究直线与圆的位置关系已经有了一定的认识，那么我们就利用得到的结论去解决一下刚才的实际问题。提问：如何建系？ 学生回答，教师给予评价。 一种方法是通过方程组解得个数去判断的，代数特征更明显，我们可以称之为代数法；另一种方法是通过注重几何结构的分析与利用，我们称之为几何法。 提问：大家更喜欢哪种方法呢？ 几何法：充分分析几何特征，以减少代数运算。设计意图：1. 体会从实际问题中抽象出数学问题的过程。2. 在判断直线和圆的位置关系时，不同的方法所带来的计算量是不同的，引起学生对于方
8、法选择上的注意。步骤4：深化练习例.已知圆C：(x2)2+y2=1（1）判断圆C与直线3x4y2=0的位置关系；（2）判断圆C与直线3x4y+a=0的位置关系；（3）m为何值时，圆C与直线 mxy+1=0有公共点？设计意图：（2）（3）通过两类不同的直线与圆的位置关系的判断，引导学生得出分析几何特征以简化代数运算的结论。步骤5：课堂小结提问：通过这节课你学到了什么？ 给定直线和圆的方程后用几何法或代数法判断二者的位置关系。提问：初中也学习了直线和圆的位置关系，我们今天是利用方程去判断二者的位置关系，你认为高中利用方程去判断位置关系相对于初中的方法有什么差异？借助平面直角坐标系，利用坐标和曲线方
9、程解决几何问题，实现了从定性分析向定量分析的转化。提问：在判断直线和圆的位置关系的时候，大家更喜欢用哪种方法？几何法：充分研究几何关系，简化运算；设计意图：使学生体会坐标法在研究几何问题中的便捷性和精确性。6.教学设计特色分析（教学设计的特色或个人风格分析）1. 从实际问题出发，从中抽象出数学问题，体现了平面解析几何的应用价值。问题的引入和问题的提出较自然。并通过研究直线与圆的问题关系，解决课堂之初提出的实际问题，学生能够从体验成功解决问题的喜悦。2. 在课堂进行的过程中，引导学生思考初中和高中研究直线与圆位置关系的区别，从中体现解析几何的本质利用代数解决几何问题。3. 平面解析几何问题中，注
10、重代数和几何的相互转化，因此在深化练习中，教师有意识地设计了两类动直线，引导学生注意参数所代表的几何意义，可以起到简化计算的作用。7.实践反思（生成性成果与具体问题及改进措施）大部分学生在进行深化练习（2）时，仍然采取联立直线和圆的方程，考察得到的一元二次方程判别式的情况去判断直线与圆的位置关系。学生认为通过几何法考察位置关系时，由于点到直线的距离公式中含有绝对值运算，需要分类讨论，因此转而采取代数法。分类讨论的本质原因，是由于参数与直线的纵截距有关，影响着直线的平移运动，并不是计算中的绝对值所引起的。学生没有理解此原因，实际上是对从代数结构中分析几何对象的几何特征这一过程没有养成思维习惯。在今后的教学中，教师在引导学生解决相关问题时，仍然要有意识地让学生分析代数结构所反映的几何特征，让学生体会到这一过程为后续解决相关问题所带来的便捷性。学科网（北京）股份有限公司