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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date清华大学一元微积分期中考题答案2009级一元微积分期中考题（A） 答案一填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1.答案： 2. 。答案：3. 。答案：4. 已知时，为的5阶无穷小量，则 。答案：5. 。答案：6. 。答案：17. 。答案：8. 。答案：9. ，则 。答案：10. ，则 。答案：11. 函数的不可导点的个数为 。答案：212. 曲线当
2、时的渐近线为 。答案：13. 设，则 。答案：14. 已知函数由确定，则曲线在点处的切线方程为 。答案： 15. 函数的反函数的导数 。答案：二计算题（每题10分，共40分）1. 已知求。解： 5分 .5分1. 写出函数 在处的带有Lagrange余项的阶泰勒公式。解： 6分，.4分 .（注：只写出Peano余项，给2分）2. 根据的奇数偶数不同情况分别讨论函数（为正整数）的增减性，求它在实数范围的最值并画出其图像。解：当时，驻点为，上单调增，单调降，最大值为，无最小值； 2分当为奇数时（为正整数），驻点为与，上单调增，单调降，最大值为，无最小值； 2分当为偶数时（为正整数），驻点为与，上单调
3、降，上单调增，单调降，最小值为。 3分.图像3分，一个1分2. 设为上的连续可导函数，(I) 求证：为上的可导函数；(II) 计算。解：(I) 因为为上的可导函数，当或时，为可导函数。当时，因为为上的连续可导函数，由罗比达法则，所以在点可导。.5分故为上的可导函数。(II).5分三证明题1. (8分)设，且当时，存在且单调增，证明：当时，单调增。证明：设，则当时， 4分 其中。 2分由于单调增，故，从而单调增。2分2. (7分)设函数在内二阶可导，且其图像在内有三个点满足关系，(I) 证明必然存在一个点，使得;(II) 写出此命题的一个推广命题。证明：(I) 记，则在内二阶可导。由已知条件，设为区间内的三个点，使得函数与得图像相交，即，由微分中值定理可知， 2分，即。.3分(II) 任意一个有道理的推广命题 2分-