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1、第 1 页 共 6 页第十一讲二项式定理课程类型：复习预习 习题针对学员基础：基础中等 优秀本章主要内容 ：1.二项式定理的定义；2.二项式定理的通项公式；3.二项式定理的应用. 本章教学目标：1.能用计数原理证明二项式定理(重点 )；2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)；3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点 ).【知识与方法】一二项式定理的定义在个nnbabababa)()()(中，每个括号都能拿出a 或b，所以每个括号有2 种选择， n个括号就是n2 种情况 .22nba这一项，表达的意思是_；所以，22nba共有 _个. 授课班级授课日期学员月日组杨辉三角历史北
2、宋人贾宪约1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。13 世纪中国宋代数学家杨辉在详解九章算术里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11 世纪前半贾宪的释锁算术，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。元朝数学家朱世杰在四元玉鉴1303 年扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16 世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。在欧洲直到1623 年以后，法国数学家帕斯卡在13 岁时发现了“帕斯卡三角”。布莱士帕斯卡的著作Trait du triangle arithm tique1655 年介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果
3、，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛， Pierre Raymond de Montmort 1708年和亚伯拉罕棣美弗1730 年都用帕斯卡来称呼这个三角形。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形” Chinese triangle。课外拓展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页第 2 页 共 6 页(ab)n的二项展开式本来共有_项，合并之后共有 _项，其中各项的系数_叫做二项式系数二二项展开式的通项(ab)n的二项展开式的通项公式为_. 注意： 1.rnrCT与1的关系，例如第5
4、 项，应该是4nC ；2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10) 1(x与10)1(x中的第 4 项是不同的；3.a 的指数从 n 逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于 n ；4.注意正确区分二项式系数与项的系数.三二项式系数的基本性质四展开式的二项式系数和1.(a b)n展开式的各二项式系数和：C0nC1n C2nCnn_. 2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0nC2nC4n C1nC3nC5n_. 五展开式的系数和假设 f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为_，奇数项系数之和为a0a2
5、a4=2)1()1(ff，偶数项系数之和为a1a3 a5=_.【例题与变式】题型一通项公式及其应用类型一二项式定理的原理应用【例 1】(2015全 国 卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为A10B20C30D60例如：7)(yx中43yx表示的就是，有3 个括号拿 x，剩下的4 个括号拿y，所以43yx共有4437CC项，即37C 项. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页第 3 页 共 6 页【例 2】2018?滨 州 二 模52)32(xx的展开式中， x 的系数为 _. 【变式 1】2018?濮 阳 一
6、 模82017)11(xx的展开式中，x3的系数为 _. 【变式 2】2018?龙 岩 模 拟已知二项式4)211(xx，则展开式的常数项为A-1B1C-47D49类型二单括号型【例 4】2018?内 江 三 模4)2(xx展开式中的常数项为A6B-6C24D-24【例 5】设(x2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，则含 x2的项是 _【例 6】2018?成 都 模 拟假设6)(xax的展开式中含23x项的系数为160，则实数a 的值为A2B2C22D22【例 7】(2017东 北 四 校 联 考)假设nxxx)1(6的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于A3B4C5D6【
7、变式 3】2018?河 北 区 二 模二项式6)2(xx的展开式的第二项为A46xB46xC412xD412x【变式 4】2018?四 川 模 拟6)1(xx展开式中的常数项为A-20B-15C15D20【变式 5】(2016全 国 卷 )(2xx)5的展开式中，x3的系数是 _(用数字填写答案) 【变式 6】2018?上 海 二 模nxx)1(的展开式中的第3 项为常数项，则正整数n=_【变式 7】 2018?普 陀 区 二 模假 设nxx)1(23的 展 开 式 中 含 有 非 零 常 数 项 ，则 正 整 数 n 的 最 小 值为 _类型三双括号型【例 8】 2018?肇 庆 三 模 已
8、 知5)1)(1(xax的 展 开 式 中 x2的 系 数 为 5， 则 a=A1B2C-1D-2【例 9】 2018 ?信 阳 二 模 52)21)(1(xx的 展 开 式 的 常 数 项 是 A5B-10C-32D-42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页第 4 页 共 6 页【例 10】 2018 ?泉 州 模 拟44)11()1(xx的 展 开 式 中 ， 常 数 项 是 _【例 11】43)11()1(xx的 展 开 式 中 ， 常 数 项 是 _【变式 8】 2018 ?枣 庄 二 模 假 设102)1)(
9、xxax的 展 开 式 x6的 系 数 为 30 ， 则 a 等 于 A31B21C1D2【变式 9】 2018 ?咸 阳 二 模 8)(yxyx的 展 开 式 中 ，72yx的 系 数 为 _【变式 10】(12x)3(1x)4展开式中x 项的系数为.题型二展开式中的二项式系数【例 1】2018?广 州 一 模已知二项式nxx)12(2的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含x1项的系数是A-84B-14C14D84【例 2】2018?綦 江 区 模 拟二项式nxax)2(的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为 -160，则 a= _【变式 1】 2018?宝 山 区
10、 一 模在nxx)3(2的 二 项 展 开 式 中 ，所 有 项 的 二 项 式 系 数 之 和 为 1024 ，则 常 数 项 的 值 等 于 _【例 3】 2018?唐 山 一 模6)12( x的 展 开 式 中 ， 二 项 式 系 数 最 大 的 项 的 系 数 是 _【例 4】 2018 ?马 鞍 山 二 模 二 项 式nxx)13(3的 展 开 式 中 只 有 第 11 项 的 二 项 式 系 数 最 大 ， 则展 开 式 中 x 的 指 数 为 整 数 的 项 的 个 数 为 A3B5C6D7【变式 2】2018?湖 北 模 拟在nxx)2(3的二项展开式中，只有第5 项的二项式系
11、数最大，则二项展开式常数项等于 _【变式 3】2018?芜 湖 模 拟已知nx)21 (展开式中只有第4 项的二项式系数最大，则nxx)21)(11(2展开式中常数项为_【变式 4】nba)(二项展开式中，二项式系数最大项为第7 项和第 8 项，则 n=_题型三展开式中的系数【例 1】 2018?石 家 庄 二 模已 知nx)1(的 展 开 式 各 项 系 数 之 和 为 256 ，则 展 开 式 中 含2x 项 的 系数 为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页第 5 页 共 6 页【例 2】 2018?朝 阳 三
12、 模在二项式nxx)3(的展开式中， 各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且 A+B=72 ，则展开式中常数项的值为A6B9C12D18【例 3】5)12)(xxxax的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为A-40B-20C20D40【例 4】2015?新课标4)1)(xxa的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a=_.【例 5】已知 (12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求： (1)a1a2 a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)7210aaaa. 【例 6】2018?湖 南 三 模假设99108)21)(1(xaxaaxx，xR，则99
13、221222aaa的值为A92B129C93D139【变式 1】 2018?赣 州 一 模 假设nxx)21(22展开式中各项系数之和为64， 则展开式中的常数项是A10B20C30D40【变式 2】2018?烟 台 模 拟已知nxx)2(3的展开式的各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为A5B40C20D10【变式 3】2018?河 西 区 三 模设5522105)1()1()1()2(xaxaxaax，则521aaa_1.7)1(x的展开式中x2的系数是A42B35C28D212.2015?大 连 模 拟(2x)8的展开式中不含x4项的系数的和为A-1B0C1D2精选学习资料 - -
14、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页第 6 页 共 6 页3.2015?南 昌 质 检在nxx)12(3的展开式中， 只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是A-7B7C-28D284.2014?石 家 庄 二 模设 (x21)(x1)9a0 a1(x2)a2(x2)2 a11(x2)11，则a1a2a11A5B4C3D25.2015?安 徽73)1(xx的展开式中x5的系数是 _ (用数字填写答案) 6. 2015?温 州 十 校 联 考 已知nxxxx)1)(1 (32(nN*)的展开式中没有常数项，且 2 n8， 则 n_. 1.实际完成情况：按计划完成；超额完成， 原因分析 _ ；未完成计划内容， 原因分析 _. 2.授课及学员问题总结：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页