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1、-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-第十一讲 二项式定理 课程类型：复习 预习 习题 针对学员基础：基础 中等 优秀 本章主要内容：1.二项式定理的定义；2.二项式定理的通项公式；3.二项式定理的应用.本章教学目标：1.能用计数原理证明二项式定理(重点)；2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)；3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点).【知识与方法】一二项式定理的定义 在个nnbabababa)()()(中，每个括号都能拿出a或b，所以每个括号有 2 种选择，n授课班级 授课日期 学员 月 日 组 杨辉三角历史 北宋人贾宪约 1050 年首先使用“贾宪
2、三角”进行高次开方运算。13 世纪中国宋代数学家杨辉在详解九章算术里讨论这种形式的数表，并说明此表引自 11 世纪前半贾宪的释锁算术，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。元朝数学家朱世杰在四元玉鉴（1303 年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在 16 世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家帕斯卡在 13 岁时发现了“帕斯卡三角”。布莱士帕斯卡的著作 Trait du triangle arithmtique（1655 年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率
3、论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708 年）和亚伯拉罕棣美弗（1730 年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）。课外拓展-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-个括号就是n2种情况.22nba这一项，表达的意思是_；所以，22nba共有_个.(ab)n的二项展开式本来共有_项，合并之后共有_项，其中各项的系数_叫做二项式系数 二二项展开式的通项(ab)n的二项展开式的通项公式为_.注意：1.rnrCT与1的关系，例如第 5 项，应该
4、是4nC；2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10)1(x与10)1(x中的第 4 项是不同的；3.a的指数从n逐项减到 0，是降幂排列。b的指数从 0 逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等 于n；4.注意正确区分二项式系数与项的系数.三二项式系数的基本性质 四展开式的二项式系数和 1.(ab)n展开式的各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn_.2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C0nC2nC4nC1nC3nC5n_.五展开式的系数和 若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为_，奇数项系数之和为 a0a2a4=2)1()1(f
5、f，偶数项系数之和为 a1a3a5=_.【例题与变式】题型一 通项公式及其应用 类型一 二项式定理的原理应用【例 1】(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为（）例如：7)(yx 中43yx表示的就是，有 3 个括号拿x，剩下的 4 个括号拿y，所以43yx共有4437CC 项，即37C项.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-A10 B20 C30 D60 【例 2】（2018滨州二模）52)32(xx的展开式中，x 的系数为_.【变式 1】（2018濮阳一模）82017)11(xx的展开式中，x3的系数为_.【变式 2】（2018龙岩模拟）已知二项式4
6、)211(xx，则展开式的常数项为（）A-1 B1 C-47 D49 类型二 单括号型【例 4】（2018内江三模）4)2(xx 展开式中的常数项为（）A6 B-6 C24 D-24【例 5】设(x 2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，则含 x2的项是_【例 6】（2018成都模拟）若6)(xax 的展开式中含23x项的系数为 160，则实数 a 的值为（）A2 B2 C22 D22【例7】(2017东北四校联考)若nxxx)1(6的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于（）A3 B4 C5 D6【变式 3】（2018河北区二模）二项式6)2(xx 的展开式的第二项为（）A46
7、x B46x C412x D412x【变式4】（2018四川模拟）6)1(xx 展开式中的常数项为（）A-20 B-15 C15 D20【变式 5】(2016全国卷)(2x x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)【变式 6】（2018上海二模）nxx)1(的展开式中的第 3 项为常数项，则正整数 n=_【变式 7】（2018普陀区二模）若nxx)1(23的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为_ 类型三 双括号型 【例 8】（2018肇庆三模）已知5)1)(1(xax的展开式中 x2的系数为 5，则 a=（）A1 B2 C-1 D-2【例 9】（2018信阳二模）52)2
8、1)(1(xx的展开式的常数项是（）-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-A5 B-10 C-32 D-42【例 10】（2018泉州模拟）44)11()1(xx的展开式中，常数项是_【例 11】43)11()1(xx的展开式中，常数项是_【变式 8】（2018枣庄二模）若102)1)(xxax的展开式 x6的系数为 30，则 a 等于（）A31 B21 C1 D2【变式9】（2018咸阳二模）8)(yxyx的展开式中，72yx的系数为_【变式 10】(12x)3(1x)4展开式中 x 项的系数为 .题型二 展开式中的二项式系数【例 1】（2018广州一模）已知二项式nxx)
9、12(2的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含x1项的系数是（）A-84 B-14 C14 D84【例 2】（2018綦江区模拟）二项式nxax)2(的展开式中所有二项式系数和为 64，则展开式中的常数项为-160，则 a=_【变式 1】（2018宝山区一模）在nxx)3(2的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 1024，则常数项的值等于_ 【例 3】（2018唐山一模）6)12(x的展开式中，二项式系数最大的项的系数是_【例 4】（2018马鞍山二模）二项式nxx)13(3的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大，则展开式中 x 的指数为整数的项的个数为（）A3 B5 C6
10、 D7【变式2】（2018 湖北模拟）在nxx)2(3的二项展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则二项展开式常数项等于_【变式 3】（2018芜湖模拟）已知nx)21(展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则nxx)21)(11(2展开式中常数项为_【变式 4】nba)(二项展开式中，二项式系数最大项为第 7 项和第 8 项，则n=_ 题型三 展开式中的系数【例 1】（2018石家庄二模）已知nx)1(的展开式各项系数之和为 256，则展开式中含2x项的系数为_ -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-【例 2】（2018朝阳三模）在二项式nxx)3(的展开式中，各项系
11、数之和为 A，各项二项式系数之和为 B，且 A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A6 B9 C12 D18【例 3】5)12)(xxxax的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中的常数项为（）A-40 B-20 C20 D40【例 4】（2015新课标）4)1)(xxa的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a=_.【例 5】已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)7210aaaa .【例 6】（2018湖南三模）若99108)21)(1(xaxaaxx ，xR，则99221222 aaa的值为
12、（）A92 B129 C93 D139【变式 1】（2018赣州一模）若nxx)21(22展开式中各项系数之和为 64，则展开式中的常数项是（）A10 B20 C30 D40【变式 2】（2018烟台模拟）已知nxx)2(3的展开式的各项系数和为 243，则展开式中7x的系数为（）A5 B40 C20 D10【变式 3】（2018河西区三模）设5522105)1()1()1()2(xaxaxaax，则 521aaa_ 1.7)1(x的展开式中 x2的系数是（）A42 B35 C28 D21 2.（2015大连模拟）(2 x)8的展开式中不含 x4项的系数的和为（）-WORD 格式-可编辑-专业
13、资料-完整版学习资料分享-A-1 B0 C1 D2 3.（2015南昌质检）在nxx)12(3的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A-7 B7 C-28 D28 4.（2014石家庄二模）设(x21)(x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则 a1a2a11（）A5 B4 C3 D2 5.（2015安徽）73)1(xx 的展开式中 x5的系数是_(用数字填写答案)6.（2015温州十校联考）已知nxxxx)1)(1(32(nN*)的展开式中没有常数项，且 2n8，则 n_.1.实际完成情况：按计划完成；超额完成，原因分析_；未完成计划内容，原因分析_.2.授课及学员问题总结：