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1、学而不思则惘，思而不学则殆高三数学专题复习概率【复习要点】本章内容分为概率初步和随机变量两部分. 第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验. 第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差. 涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. 【例题】【例 1】已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7 和 0.8 （1）如果每人各投篮一次，求甲、乙两人中至少一人进球的概率；（2）如果两人比赛，各投篮2 次，求甲战胜乙的概率解：设甲、乙两名篮球运动员投篮进球分别记为
2、事件BA、，则BA、为独立事件（1）94.0)8.01)(7.01 (1)()(1)(1)(BPAPBAPBAP或94.08.07 .08. 07 .0)()()()(ABPBPAPBAP（2）甲战胜乙有1 比 0、2 比 0、2 比 1 三种情形，1932.02. 08. 07.02. 07 .02.03.07 .012222212CCP【例 2】排球比赛的规则是5 局 3 胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为23和13. （1）前 2 局中B队以 2:0 领先，求最后A、B队各自获胜的概率；（2）B队以 3:2 获胜的概率解： （1）设最后A获胜的概率为1,P设最后B获胜的概率
3、为2.P331328();327PC2211212211919.(1)3333332727PPP或（2）设B队以 3:2 获胜的概率为3.P3P2324128( ) ()3381C【例 3】如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作 . 已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2. 解：记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，由已知条件P(A)=0.80,精选学习资料 - - - - -
4、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆P(B)=0.90,P(C)=0.90. (1) 因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648, 故系统N1正常工作的概率为0.648 (2) 系统N2正常工作的概率P2=P(A) 1P(CB) =P(A) 1P(B)P(C) =0.80 1(1 0.90)(1 0.90) =0.792 故系统N2正常工作的概率为0.792 【例 4】有 A、B两个箱子， A箱中有 6 张相同的卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写
5、有2；B箱中有 7 张相同的卡片，其中四张写有0，一张写有1，两张写有2，现从 A箱中任取1 张，从 B箱中任取 2 张，共 3 张卡片。求： （1）3 张卡片都写有0 的概率；（2）3 张卡片中数字之积为0 的概率。解： （1）211612724CC（2）4237656127242713142727CCCCCCC【例 5】袋里装有35 个球，每个球上都标有从1 到 35 的一个号码，设号码n的球重15532nn（克）这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率解： （1）由不等式nnn155
6、32得n 15，n3，由题意知n1， 2，或n16，17， 35于是所求概率为3522（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中nm，则有1553155322mmnn，所以0)(15)(22mnmn，因为nm，所以nm15， （n，m）（ 1， 14） ， （2，13） ，（ 7，8） ，但从 35 个球中任取两个的方法数为595213435C235，故所求概率为8515957【例 6】已知：有 6 个房间安排4 个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学而不思则惘，思
7、而不学则殆可能的，试求下列各事件的概率：（）事件A：指定的 4 个房间各有1 人； （）事件B：恰有4 个房间各有1 人； （）事件C：指定的某个房间有2 人。解：由于每人可进住任1 房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6 种等可能的方法，根据乘法原理，4 人进住 6 个房间共有64种方法（1）指定的4 个房间各有1 人，有44A种方法，5416)(444AAP（2）从 6 间中选出4 间有46C种方法， 4 个人每人去1 间有44A种方法，18566)(44644444AACBP（3）从 4 人中选 2 个人去指定的某个房间，共有24C种选法，余下2 人每人都可去5 个房间中的任 1 间,
8、因而有 52种种方法。2162565)(4224CCP【例 7】一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m （0 m 1)如图，有如下三种联接方法：（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论. 解： （1）三种电路各自接通分别记为事件A1、 A2、 A3，则 P（A1）=m3P（A2）=1（ 1m ）3=3m 3m2+m3P（A3）=2（1m ）m2+m3=2m2m3（2）P（A2） P（A1）=3m 3m2=3m （1 m ）0m 1 P（A2） P（A1）P（A2） P（A3）=2m35m2+3m=m （ 2m 3） （m 1） 0 P（
9、A2） P（A3）三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优【例 8】某厂生产的A 产品按每盒10 件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂质检办法规定：从每盒10 件 A产品中任抽4 件进行检验，若次品数不超过1 件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格已知某盒A产品中有2 件次品（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆解： (1) 从该盒 10 件产品中任抽4 件，有等可能的结果
10、数为410C种， 其中次品数不超过1 件有431882CC C种，被检验认为是合格的概率为431882410CC CC1315(2) 两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为1315，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为121313C(1)151552225答：该盒产品被检验认为是合格的概率为1315；两次检验得出的结果不一致的概率为52225【例 9】某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B处上班 . 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图 .（例如： A CD算
11、作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为101，路段 CD发生堵车事件的概率为).151（1）请你为其选择一条由A到 B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线AC FB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望.E解： （1）记路段MN 发生堵车事件为MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线AC DB中遇到堵车的概率 P1为)()()(1)(1DBPCDPACPDBCDACP=1 1 P（ AC ）1 P （CD ）1 P（DB ） =1103651514109；同理：路线AC FB中遇到堵车的概率P2为 1P （)103(80023
12、9)小于FBCFAC路线 A EFB中遇到堵车的概率P3为 1P（)103(30091)小于FBEFAE显然要使得由A到 B的路线途中发生堵车事件的概率最小. 只可能在以上三条路线中选择. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆因此选择路线A CFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小. （2）路线 A C FB中遇到堵车次数可取值为0， 1，2，3. .24006371212017109121120310912112017101)()()() 1(,800561)()0(FBCFACPFBCF
13、ACPFBCFACPPFBCFACPP.31240033240077224006371800561001,24003121203101)() 3(,24007712120310912120171011211203101)()()()2(EFBCFACPPFBCFACPFBCFACPFBCFACPP答：路线AC FB中遇到堵车次数的数学期望为.31【例 10】 某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列如下：1 2 3 12 P121121121121设每售出一台电冰箱，电器商获利300 元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用 100 元，问电器
14、商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解：设x为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1x12 的情况， 设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量的函数且y=xxxxx),(100300,300, 电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为：Ey=300 x(Px+Px+1+ +P12)+300100(x1) P1+ 2300100(x2) P2+ + 300(x1) 100Px1=300 x(12 x+1)121+ 1213002) 1(1002)1(xxxx=325( 2x2+38x) 由于xN, 故可求出当x=9 或x=10 时，也即电器商月初购进9 台或 10 台电冰箱时，收益最
15、大 . 【例 11】 袋中装有3 个白球和4 个黑球，现从袋中任取3 个球，设为所取出的3 个球中白球的个数（I ）求的概率分布；（II ）求E解： （I ）的可能取值为0，1，2，3. P（0）3437CC435；P（1）123437C CC1835；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆P（ 2）213437C CC1235；P（3）303437C CC135. 的分布列为：0 1 2 3 P43518351235135（II ）E 04351183521235313597. 【例 12】
16、 甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在 7，8，9，10 环。他们的这次成绩画成频率直方分布图如下：击中频率击中频率7 8 9 10 击中环数 7 8 9 10 击中环数甲乙（1）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中8 环的概率8乙P，以及求甲，乙同时击中 9 环以上（包括9 环）的概率；（2）根据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）. 解（ 1）由图可知2.07乙P，2.09乙P，35.010乙P所以8乙P=1 0.2 0.2 0.35=0.25 同理2.07甲P，15.08甲P，3.09甲P所以35.03.015.0
17、2 .0110甲P因为65.035.03.09甲P55.035.02.09乙P所以甲，乙同时击中9 环以上（包括9 环）的概率P=9甲P9乙P=0.65 0.55=0.3575 (2) 因为甲E=7 0.2+8 0.15+9 0.3+10 0.35=8.8 0.3 0.2 0.15 0.35 0.2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆乙E=70.2+8 0.25+9 0.2+10 0.35=8.7 甲E乙E所以估计甲的水平更高. 【例 13】 有一容量为50 的样本，数据的分组及各组的频率
18、数如下：10，154 30，35)9 15，20)5 35，40)8 20，25)10 40，45)3 25，30)11 (1) 列出样本的频率分布表( 含累积频率 ) ；(2) 画出频率分布直方图和累积频率的分布图. 解： (1) 由所给数据，计算得如下频率分布表数据段10,15) 15,20) 20,25) 25,30)30,35)35,40)40,45)总计频数4 5 10 11 9 8 3 50 频率0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1 累积频率0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1 (2) 频率分布直方图与累积频率分布图如下
19、：【概率练习】一、选择题1、甲射击命中目标的概率是21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是41. 现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) 107D.54C.32B.43A.2、已知随机变量的分布列为：P(=k)=31,k=1,2,3,则P(3+5)等于 ( ) A.6 B.9 C.3 D.4 二、填空题3、1 盒中有 9 个正品和3个废品，每次取1 个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数的期望E=_. 4、某班有 52 人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4 人参加某项活动，这 4 人恰好来自不同组别的概率是_. 三、解答题精选学习资料 - - -
20、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆5、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6 ，计算：(1) 两人都击中目标的概率；(2) 其中恰有一人击中目标的概率；(3) 至少有一人击中目标的概率. 6、已知连续型随机变量的概率密度函数f(x)=202110 xxaxx(1) 求常数a的值，并画出的概率密度曲线；(2) 求P(123）. 7、设P在 0,5 上随机地取值，求方程x2+px+214p=0 有实根的概率 . 8、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2 ，机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个
21、工作日里均无故障，可获利润10 万元； 发生一次故障可获利润5 万元， 只发生两次故障可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元。求一周内期望利润是多少？参考答案一、 1. 解析：设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生. .41)411)(311)(211()(1)(1)(1)()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP故目标被击中的概率为1P(ABC)=1 4341答案： A 2. 解析：E=(1+2+3) 31=2，E2=(12+22+32) 31=314D =E2
22、(E)2=31422=32. D(3+5)=9E=6. 答案： A 二、 3. 解析：由条件知，的取值为0，1，2，3，并且有P(=0)=43CC11219, 3.02201322092449143022012CCC)3(,22092CCC)2(,4492CCC) 1(412193331219232121913EPPP答案： 0.3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆4. 解析：因为每组人数为13，因此， 每组选 1 人有 C113种方法， 所以所求概率为P=4524113C)C(. 答案
23、：4524113C)C(三、 5. 解： (1) 我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A， “乙射击一次击中目标”叫做事件B. 显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.6 0.6=0.36 答：两人都击中目标的概率是0.36 (2) 同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P(AB)=P(A) P(B)=0.6 (1 0.6)=0.6 0.4=0.24 甲未击中、 乙击中的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.24 ，显然， “甲击中、 乙未击中” 和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件AB与AB互斥，所以恰有一人击中目标的
24、概率是P(AB)+P(AB)=0.24+0.24=0.48 答：其中恰有一人击中目标的概率是0.48. (2) 两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=P(AB)+ P(AB)+P(A) B=0.36+0.48=0.84 答：至少有一人击中目标的概率是0.84. 6. 解： (1) 因为所在区间上的概率总和为1，所以21 (1 a+2a) 1=1, a=21概率密度曲线如图：(2)P(1 23)=9323) 121(217. 解：一元二次方程有实数根 0 而=P2 4(214P)=P2P2=(P+1)(P2) 解得P 1 或P2 故所求概率为P=53 5, 0),2 1,(5.0的长度的长
25、度8. 解：以X表示一周5 天内机器发生故障的天数，则XB(5 ， 0.2) ，于是X有概率分布精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆P(X=k)=Ck50.2k0.85k,k=0,1,2,3,4,5. 以Y表示一周内所获利润，则Y=g(X)=322015010XXXX若若若若Y的概率分布为：P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328 P(Y=5)=P(X=1)=C150.2 0.84=0.410 P(Y=0)=P(X=2)=C250.220.83=0.205 P(Y=2)=P(X 3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=0.057 故一周内的期望利润为：EY=10 0.328+5 0.410+0 0.205 2 0.057=5.216(万元 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页