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1、高一人教版数学第四章函数模型的应用（二）学习目标（1）能明确教科书例题中的数量关系，指出每个方案的函数模型；（2）根据“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，数形结合地辨别三种函数的增长差异，从而选择不同的函数模型；（3）在选择或建立函数模型解决实际问题的过程中，围绕“是什么数学问题”“选什么函数模型”“为什么要选某个函数模型”“怎么解答实际问题”，提升数学抽象和数学建模素养。例1 投资回报模型 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元， 以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元， 以后每天的
2、回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？例1 投资回报模型方案一：每天回报40元；设第 天所得回报是 元,则方案一可以用函数 进行描述 例1 投资回报模型方案二：第一天回报10元， 以后每天比前一天多回报10元；设第 天所得回报是 元,则方案二可以用函数 进行描述;例1 投资回报模型方案三：第一天回报0.4元， 以后每天的回报比前一天翻一番。设第 天所得回报是 元,则方案三可以用函数 进行描述设第 天所得回报是 元,则方案一可以用函数 进行描述 方案二可以用函数 进行描述; 方案三可以用函数 进行描述要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的增
3、长情况,列表如下：例1 投资回报模型 / /天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三 / /元元增加量增加量/ /元元 / /元元增加量增加量/ /元元 / /元元增加量增加量/ /元元1 1404010100.40.42 2404020200.80.83 3404030301.61.64 4404040403.23.25 5404050506.46.46 64040606012.812.87 74040707025.625.68 84040808051.251.29 940409090102.4102.430304040300300214748364.8214748364.8你对三种方案分别
4、表现出的回报资金的增长差异有什么认识?我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。指数爆炸式增长xy2040608010012014042681012o 你能借助计算工具做出函数图象，并根据图象描述一下三种方案的特点吗？ / /天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三 / /元元增加量增加量/ /元元 / /元元增加量增加量/ /元元 / /元元增加量增加量/ /元元1 1404010100.40.42 2404020200.80.83 3404030301.61.64 4404040403.23.25 5404050506.46.46 64040606012.812.87
5、74040707025.625.68 84040808051.251.29 940409090102.4102.430304040300300214748364.8214748364.8你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?思考仅仅分析每天的回报数就能准确做出选择吗？是否应作出这样的选择：投资5天以下，选方案一；投资5-8天，选方案二；投资8天以上，选方案三？划分天数的标准是什么？这种划分是否正确呢？思考刚刚我们绘制的表格和图象可以直观看出三种函数模型的增长差异，但是回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，我们还要计算累计的回报数.根据以上分析,你认为该作出何种选择?累计回
6、报表 天数天数方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三。例2 选择奖励模型 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金
7、总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。三个奖励模型： 其中哪个模型能符合公司的要求？1. 销售利润达到10万元时进行奖励；2. 奖金总数不超过5万元；3. 奖金不超过利润的25%；4. 公司总的利润目标为1000万元。从1和4知道只需在区间10，1000上检验三个模型是否符合公司的要求（即2和3两条）即可分析依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，所以奖金 可用不等式表示为_.依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，所以奖金 可用不等式表示为_.依据这两个约束条件对奖励模型进行选择的实质是要怎么样呢？比较三个函数的增长情况！比较三个函数的增长情况！05y025% yx思考
8、 你能否做出函数图象，并通过观察做出初步的判断吗？通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？200400600800100023456781o对于模型 ,它在区间10,1000上递增, 当 时, ,因此该模型不符合要求;对于模型 ,它在区间10,1000上递增, 观察图象并结合计算可知,当 时, , 因此该模型不符合要求;通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？200400600800100023456781o对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律对于模型 ,它在区间10,1000上递增, 观察图象并结合计算可知, 当 =1000时, , 所以它符合奖金总数不超过5万元
9、的要求。是否可以做出解答：函数 符合公司的要求呢？思考是否满足条件3，即 “奖金不超过利润的25%”呢？即当 时，是否有 ,即 成立.yx12345678o1-1这说明,按模型 奖励,奖金不会超过利润的25%.所以，模型 确实能符合公司的要求.观察图象： 的图象在区间10,1000内的确在 轴的下方.o课堂练习完成教科书154页练习第1题,第2题某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,61,68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 ，乙选择了模型 ， 其中 为患病人数， 为月份数， ， ， ， ， ， 都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74,78,83，你认为
10、谁选择的模型更符合实际？第1题解：由1月，2月，3月的患病人数知：当 时， 1x 52y 当 时， 2x 61y 当 时， 3x 68y 代入甲选择的模型 得21241yxx 代入乙选择的模型 得7297185( )1492xy 21241yxx 当 时， 4x 73y 当 时， 5x 76y 当 时， 6x 77y 由 可得 7297185( )1492xy 当 时， 4x 73y 当 时， 5x 78y 当 时， 6x 81y 由 可得 4月，5月，6月份的患病人数分别是74,78,83可见，乙选择的模型更符合实际第2题解：（1）用年份代码111代表年份20082018.根据已知表格中的数
11、据，分别作出2008年至2018年肉鸡数量 和人口数量 随年份代码 变化的散点图:1y2yt由于上述两个图象基本上都是呈直线增长，所以可以选择两个一次函数 和 分别刻画肉鸡数量和人口数量的变化.根据已知表格中的数据，可近似地得到 ， .1= ( )yf t2( )yg t1=154 +7536yt21.2798.73yt解：（2）因为 , 即2017年和2018年每万人平均可有肉鸡数量分别为81.45吨和81.90吨，而2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，2018年每万人平均可有肉鸡数量又大于2017年的，所以2018年能满足市场的需求.(10)81.45(10)fg(11)81.9
12、0(11)fg解：（3）因为每万人平均拥有肉鸡数量的函数 是增函数，且当 时， ，所以如果按已知两表的变化趋势，该地每万人平均可有肉鸡数量在逐渐缓慢增加，上市的肉鸡能满足本地的需求.考虑到随着生活水平的提高，对肉鸡的需求会有所增加，所以该地2018年后的肉鸡市场只需基本按照目前的趋势发展即可.3( )1547536( )1.2798.73f ttyg tt11t 315481.90121.261.27y课堂小结通过解答以上两道例题的实际问题，你能归纳出建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？ 包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）； 根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； 通过运算、推理求解函数模型； 用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.用函数建立数学模型解决实际问题实际问题数学模型实际问题 的解化归数学模型 的解解释说明运算推理