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1、高一人教版数学第四章函数模型的应用（一）学习目标（1）能明确教科书例题中的数量关系，认识指数函数模型；（2）能利用教科书中的例题数据，求解并检验数学模型；（3）利用已知函数模型解决实际问题，初步体验数学建模 的基本步骤，提升学生的数学建模素养。 函数模型基础知识回顾 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数指数函数 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型 ， 其中 表示经过的时间， 表示 时的人口数， 表示人口的年平均增长率.例1 人口增长
2、模型（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万。根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国1950-1959年间的具体人口增长模型。 人口增长模型（2）利用（1）中的模型计算1951-1958年各年末的人口总数。查阅国家统计局网站公布的我国在1951-1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符。 人口增长模型年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665 589406024361576 629386433065753实际人口总数/万5630
3、057482 587966026661465 628286456365994（2）利用（1）中的模型计算1951-1958年各年末的人口总数。查阅国家统计局网站公布的我国在1951-1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符。 人口增长模型（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到 13亿？ 人口增长模型 事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿 对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？思考因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生较大矛盾所以我国从20世纪70年代逐步实施计划生育政策（年增长率变
4、化）不符合马尔萨斯人口增长模型的条件(年增长率不变)自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中的一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？例2 元素衰变模型 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”。死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年。这也是考古中常用碳14来推断年代的原因。 那么，碳14的变化规律属于哪
5、种常用的函数模型，如何利用已知数据建立具体的数学函数模型？思考当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰变率），属于指数衰减大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 元素衰变模型因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断水坝大概是公元前2903年建成的. 元素衰变模型完成教科书150页练习第1题，第2题课堂练习第1题 已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（
6、2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ 人口增长模型 已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？ 所以，按照1650年人口的年增长率0.3%，232年后（即1882年）世界人口是1650年的2倍,达到10亿解：按1650年人口的年增长率0.3%建立人口增长模型得 由计算工具得 将 代入上述模型得 人口增长模型 已知1650年世界人口
7、为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？ 所以，按照1970年人口的年增长率2.1%，34年后（即2004年）世界人口是1970年的2倍，达到72亿解：按1970年人口的年增长率2.1%建立人口增长模型得 将 代入上述模型得 由计算工具得 人口增长模型（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数
8、r表示人口的年平均增长率.这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是 这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异.第2题 在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？分析：由于快速繁殖的野兔的倍增期为21个月，则可选择指数函数模型刻画该地在这段时间内野兔的增长规律. 指数函数模型解：设野兔的初始量为1万只经过 个月野兔增长到 万只,增长率为则有由倍增期为21个月，得得所以 指数函数模型由题知：将 代入即由计算工具得 （月） （年）所以,1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要24年. 本节课我们尝试利用已知函数模型解决实际问题，通过运算推理求解模型，并将得到的函数模型用于描述实际问题的变化规律，从而解决有关问题，感受了利用函数模型解决实际问题的过程。 你能归纳出利用已知函数模型解决实际问题的基本过程吗？课堂小结