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1、最值、范围问题题型最值问题角度1基本不等式法求最值当当16(4k23)0，(2)设过点设过点A的动直线的动直线l与与E相交于相交于P，Q两点，当两点，当OPQ的面积最大时，求的面积最大时，求l的方的方程程.解解当当lx轴时不合题意；轴时不合题意；设设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，解解(1)由题意，得椭圆由题意，得椭圆E的焦点在的焦点在x轴上轴上.角度2函数法求最值(2)设经过点设经过点(2，0)的直线的直线l与椭圆与椭圆E交于交于M，N两点，求两点，求F2MN的面积的最大的面积的最大值值.解解点点(2，0)在椭圆在椭圆E外，外，直线直线l的斜率存在的斜率存在.设直线设直线l
2、的斜率为的斜率为k，则直线，则直线l：yk(x2).设设M(x1，y1)，N(x2，y2).F2MN的面积为的面积为64k44(12k2)(8k22)0，处理圆锥曲线最值问题的求解方法处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几
3、何量或代数表达式表示为某个示为某个(些些)参数的函数参数的函数(解析式解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解解.p2，抛物线抛物线C2的方程为的方程为x24y.训练训练1 (2022长沙模拟长沙模拟)已知抛物线已知抛物线C1：y24x和和C2：x22py(p0)的焦点分别的焦点分别为为F1，F2，点，点P(1，1)且且F1F2OP(O为坐标原点为坐标原点).(1)求抛物线求抛物线C2的方程；的方程；(2)过点过点O的直线交的直线交C1的下半部分于点的下半部分于点M，交，交C2的左半部分于点的左半部分于点N，求，求PMN面面积的最小值积的最小值.解
4、解设过点设过点O的直线的直线MN的方程的方程为为ykx(k0)，则则SPMN2(t2)(t1)，当当t2，即，即k1时，时，SPMN取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为8，即当过原点的直线方程为即当过原点的直线方程为yx时，时，PMN的面积取得最小值的面积取得最小值8.题型范围问题证明证明因为因为|AD|AC|，EBAC，故，故EBDACDADC，所以所以|EB|ED|，故，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆又圆A的标准方程为的标准方程为(x1)2y216，从而，从而|AD|4，所以，所以|EA|EB|4.例例3 设圆设圆x2y22x150的圆心为的圆心为A，直线，直线l过点过点B(
5、1，0)且与且与x轴不重合，轴不重合，l交交圆圆A于于C，D两点，过两点，过B作作AC的平行线交的平行线交AD于点于点E.(1)证明证明|EA|EB|为定值，并写出点为定值，并写出点E的轨迹方程；的轨迹方程；当当l与与x轴不垂直时，设轴不垂直时，设l的方程为的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).(2)设点设点E的轨迹为曲线的轨迹为曲线C1，直线，直线l交交C1于于M，N两点，过两点，过B且与且与l垂直的直线与圆垂直的直线与圆A交于交于P，Q两点，求四边形两点，求四边形MPNQ面积的取值范围面积的取值范围.解解当当l与与x轴垂直时，其方程为轴垂直时，其方程为x1，|M
6、N|3，|PQ|8，四边形，四边形MPNQ的面的面积为积为12.故四边形故四边形MPNQ的面积的面积解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参
7、数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围而确定参数的取值范围.解解因为椭圆因为椭圆E过点过点A(0，2)，所以所以b2.消去消去y整理得整理得(5k24)x230kx250，(30k)24(5k24)25400(k21)0，故故k1或或k1.(2)过点过点P(0，3)的直线的直线l斜率为斜率为k，交椭圆，交椭圆E于不同的两点于不同的两点B，C，直线，直线AB，AC交交y3于点于点M，N，若，若|PM|PN|15，求，求k的取值范围的取值范围.解解由题意可得，直线由题意可得，直线l的斜率存在，且直线的斜率存在，且直线l的方程为的方程为ykx3，设设B(x1，y1)，C(x2，y2)，进而可得进而可得y1y2k(x1x2)6即即|k|3，解得，解得3k3.综上，综上，k的取值范围为的取值范围为3，1)(1，3.