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1、课时分层训练(五十七)定点、定值、范围、最值问题1(2017山西临汾一中月考)已知椭圆C：y21(a0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2y2相切(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点解(1)直线过点(a,0)和(0,1)，直线的方程为xaya0，直线与圆x2y2相切，解得a22，椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22得2，解得x01.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxm(m1
2、)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(12k2)x24kmx2m220，得x1x2，x1x2，由k1k2222，即(22k)x1x2(m1)(x1x2)(22k)(2m22)(m1)(4km)，即(1k)(m21)km(m1)，由m1，得(1k)(m1)kmkm1，即ykxm(m1)xmm(x1)yx，故直线AB过定点(1，1)综上，直线AB过定点(1，1)2(2018云南二检)已知点A，B是椭圆C：1(ab0)的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MNBP于点N.(1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；(2)
3、若直线MN过焦点F，(R)，求实数的值. 【导学号：79140311】解(1)证明：设P(x0，y0)(x0a)，由已知A(a,0)，B(a,0)，kAPkBP.点P在椭圆上，1.由得kAPkBP.直线AP与直线BP的斜率之积为定值.(2)设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，由已知F(c,0)，直线AP的方程为yk1(xa)，直线l的方程为xa，则M(a,2ak1)MNBP，kMNk21.由(1)知k1k2，kMNk1.又F，N，M三点共线，得kMFkMN，即k1，得2b2a(ac)b2a2c2，2(a2c2)a2ac，化简整理得2c2aca20，即210，解得或1(舍去)a2c.由，得(
4、ac,0)(ac,0)，将a2c代入，得(c,0)(3c,0)，即c3c，.3(2018呼和浩特一调)已知抛物线C1的方程为y24x，椭圆C2与抛物线C1有公共的焦点，且C2的中心在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A，B两点(1)若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上，直线l与椭圆C2有公共点，求椭圆C2的长轴长的最小值. 【导学号：79140312】解(1)当直线l的斜率不存在时，lx轴，与已知矛盾，所以直线l的斜率必存在设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x4)联立消去x，得ky24y16k0，所以1664k20.设A(
5、x1，y1)，B(x2，y2)，则又因为，所以(4x1，y1)(x24，y2)，即y1y2.由式消去y1，y2，得k22，即k或k，故直线l的方程为yx4或yx4.(2)设P(m，n)，则OP的中点为.因为O，P两点关于直线yk(x4)对称，所以解得将其代入抛物线方程，得4.所以k21.设椭圆的方程为1(ab0)，则a2b21，即b2a21.联立消去y，得(b2a2k2)x28k2a2x16a2k2a2b20.因为直线与椭圆有交点，所以(8k2a2)24(b2a2k2)(16a2k2a2b2)0.化简整理得4a2b2(b2a2k216k2) 4a2(a21)(2a217)0.所以(a21)(2
6、a217)0.因为a2b211，所以2a217.所以2a，因此椭圆C2的长轴长的最小值为.4(2016全国卷)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解设M(x1，y1)，则由题意知y10.(1)当t4时，E的方程为1，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得k2.因此k的取值范围是(，2)