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1、第二章第二章 行列式行列式第一节第一节 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入二、三阶行列式二、三阶行列式三三、小小结结、思思考考题题用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211ab
2、baxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的矩阵：称列）的矩阵：)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶为为矩矩阵阵（称称表表达达式式 11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二
3、阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122
4、aaaababaDDx 二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)6(339aaaaaaaaa列的矩阵列的矩阵行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)7(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（7 7）式称为矩阵（）式称为矩阵（6 6）所确定的）所确定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231
5、232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线等法则对角线等法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小结三、小结对应的对应的称四阶方阵称四阶方阵 44434241343332312423
6、222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA 表达式表达式使使用用类类似似对对角角线线法法则则？多多少少个个乘乘积积项项，能能不不能能四四阶阶行行列列式式展展开开后后共共有有为为四四阶阶行行列列式式，请请问问：解解的的对对角角线线法法则则！个个乘乘积积项项；不不能能用用所所谓谓共共有有24!4 第二章第二章 行列式行列式第二节第二节 n 阶行列式阶行列式式式一一、余余子子式式和和代代数数余余子子的的展展开开法法则则二二、行行列列式式按按行行（列列）三、小节、思考题三、小节、思考题n阶
7、行列式的定义阶行列式的定义定义定义阶方阵阶方阵对任意对任意n,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA用用记记号号nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 相相联联系系表表示示一一个个与与矩矩阵阵 A,的数或表达式的数或表达式)det(AAA或或记记为为的的行行列列式式为为常常称称一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式1定义定义阶行列式阶行列式对对 nnnnjninijinjaaaaaaaaa111111在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的
8、余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，ijjiijMA 1记记叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如对例如对,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA ,23M .23的的代代数数余余子子式式叫叫做做元元素素 a注意：注意：只只与与该该元元素素所所处处位位置置一一个个元元素素的的代代数数余余子子式式多多少少无无关关！相相关关；而而与与该该元元素素等等于于亦亦即即仍仍有有代代数数余余子子式式仍仍然然不不变变！，它它的的的的
9、值值换换成成比比如如上上例例中中，即即便便把把3323aa2323MA ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 行行列列式式，有有按按照照这这个个定定义义，对对三三阶阶131312121111MaMaMa 131312121111AaAaAa 上式推广后即得上式推广后即得定理定理1
10、1 n n 阶行列式等于它的任一行（列）的各阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 nkikikininiiiiAaAaAaAa12211 ni, 2 , 1 二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 列列展展开开：阶阶行行列列式式也也可可以以按按第第事事实实上上，jn nj, 2 , 1 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAa122110532000140003202527102135 D例例
11、2 计算行列式计算行列式解解0532000140003202527102135 D 53200140032021351252 14325)10( .700)122(50 5320140325)2( 53200140032021351252 例例3 3 计算计算上三角行列式上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211解解 =nnnnaaaaaaa000)1(333223221111 nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaaaa000)1(44433433112211 nnaaa2211 例例 4?8000650012404321 D4433221180006500
12、12404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 矩矩阵阵，有有同同理理，对对所所有有三三类类初初等等 ijijCR )()( iiCR )()(kCkRjiij11111 k 111111101111011 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结三、小结 nkikikininiiiiAaAaAaAaD12211. 2 ni, 2 , 1 nkkjkjnjnjjj
13、jjAaAaAaAa12211的的行行、列列！建建议议挑挑选选含含零零最最多多在在按按行行、按按列列展展开开时时，. 3第二章第二章 行列式行列式第三节第三节 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质二二、应应用用举举例例三三、小小结结、思思考考题题一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等即，行列式与它的转置行列式相等即，行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TAA记记 TAnnaaa22112121nnaaannaaa2112 Annaaa2211nnaaa21122121nnaaa,.AAT 说明说明 行列式中行与列具有同等的地
14、位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质3 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即对应的行（列）相同，即同样用数学归纳法可证：同样用数学归纳法可证：性质性质2 2 如果行列式中有两行（列）完全相同，如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零. .ni ,21
15、 nii ,21 ni ,21 nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如nii 1ni 1 ni 1 .（列列）展展开开即即可可行行边边的的行行列列式式都都按按第第事事实实上上，只只要要对对等等号号两两i为为记成分块矩阵形式，即记成分块矩阵形式，即 （行列式的（行列式的“初等变换初等变换”）若将初等行）若将初等行（列）变换用于（列）变换用于 n n 阶行列式
16、：阶行列式： 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. . nnnniniinaaaaaaaaa212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211 .行行展展开开即即得得按按第第事事实实上上，等等号号两两端端同同时时i（2）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数一数 k 然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列式的值不变式的值不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nj
17、njnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakc)()()()(1222221111111 k例如例如从等号右端从等号右端看，利用性看，利用性质质3、性质、性质4的（的（1）及性）及性质质2即得等号即得等号左端。左端。 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式写成分块形式，则设行列式写成分块形式，则njiA ,1 njjicji ,1)1( nijicij ,1)1( nijcji ,1)1( Bnij ,1,571571 266853.825825 361567567361266853例例如如，有有某一行（列）元素全为零的
18、某一行（列）元素全为零的行列式等于零行列式等于零对对 n 阶行列式及数阶行列式及数 k,有有 AkkAn nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 若有两行（列）元素对应成比例，则若有两行（列）元素对应成比例，则行列行列式等于零，即式等于零，即计算行列式常用方法计算行列式常用方法：利用运算把行列式：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值或或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。
19、)(krij例例1 计算计算4阶行列式阶行列式3351110243152113 D7216011206480213133151120435121313351110243152113 D解解8200001080011202131151000108001120213172160648011202131 40820821 性质性质5 5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即).(, 02211jiAaAaAajninjiji ,11111111nnnjnjininjnjnjjaaa
20、aaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jA,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时所以当所以当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1kikiAAanjkjij当当当当 ;, 0,1kjkjAAaniikij当当当当阶行列式阶行列式已知已知例例52445701033555680122244412111 mB
21、.3424144544AAAAA 及及试试求求代代数数余余子子式式之之和和行行展展开开，得得按按行行列列式式的的第第解解4)1(335554544434241mAAAAA ，即即得得式式作作乘乘积积之之和和，由由性性质质行行对对应应元元素素的的代代数数余余子子行行与与第第再再用用行行列列式式的的第第542)2(0224444544434241 AAAAA两式，两式，、联立联立)2()1()1(335554544434241mAAAAA )2(0224444544434241 AAAAA x4 y2 02435yxmyx即即解解得得. 81124544 myAA. 4434241 xAAA性质性
22、质6 6 设设 U U 是有如下分块形式的是有如下分块形式的 ( ( n + p n + p ) ) 阶阶矩阵：矩阵：BABDOABOCAUppnnppnn 推推论论是是同同阶阶方方阵阵，则则有有若若BA,BAAB 矩阵乘积的行列矩阵乘积的行列式等于行列式的式等于行列式的乘积！乘积！.1113cbabacacb 求求行行列列式式例例解解 将第二列加到第一列，由性质将第二列加到第一列，由性质4、性质、性质2可得可得. 0111111)(111111 cbacbaccbabcbaacbacbabacacb二、应用举例二、应用举例.4的的行行列列式式等等于于零零证证明明奇奇数数阶阶反反对对称称矩矩阵
23、阵例例证明：证明：知，知，再由性质，再由性质知，知，又由性质，又由性质得得是奇数，则由是奇数，则由阶反对称矩阵，阶反对称矩阵，是是设设41,AAAAAAnnATTT 即即得得,)1(AAn AAn)1( 是是奇奇数数，故故必必有有而而nAA 即即. 0 A1231212311223321125444mn 例例若若， ， ， ， 都都是是维维列列向向量量， 且且阶阶行行列列式式， ， ， ， ，则则阶阶行行列列式式， ， ，（）等等于于多多少少？解解)( ,21123 21231123, 23211321, 32211321, nm . 3,26331AAOBAT其中计算行列式例. 882221
24、-1T3-1T1 AAAAAAAOBAT解：解：)AA1(11 AAI., 1,71IAAAAT 求行列式求行列式且且已知已知例例.0)()(, 1,1 IAIAIAAIAAAAAIAAIAAAATTTTT故故则则且且知知解解：由由 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个
25、性质思考题思考题1阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知思考题思考题1解答解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 1、2、3、4行行分别提取公因分别提取公因子子 a、b、c、d（1）交换）交换1、2两列；两列；（2）交换）交换3、4两列；两列；（3）交换）交换2、3两列。两列。dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 思考题思考题2阶行列式阶
26、行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和11121212222nnAAAAAnA及及思考题解答思考题解答解解 由由知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 nnDn00103010021321 nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn )1(),3,2(1icniinjnj00003000020111112 2122220nAAnA第二章第二章 行列式行列式第四节第四节 行列式的计算行列式的计算常常见
27、见方方法法一一、行行列列式式计计算算的的几几种种二二、小小 结结、思思考考题题：行列式计算的方法行列式计算的方法换换”的的、利利用用行行列列式式“初初等等变变1“降降阶阶法法。”、2“递递推推法法。”、3“归归纳纳法法。”、4“升升阶阶法法。”的的利利用用行行列列式式“加加法法性性质质“拆拆边边法法。”、5、“分分块块矩矩阵阵法法。”6求解行列式求解行列式例例19333333333233331 D到其余各列得到其余各列得列元素乘列元素乘将行列式的第将行列式的第解解1-39333333333233331 D6300030003100302 “降降阶阶法法”之之例例6300030003100302
28、 行展开，有行展开，有将此行列式按第三行该将此行列式按第三行该612)1(333 D!666)1()2(3 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解法解法1 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2“初等变换法”之例“初等变换法”之例 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna第第1行的行的 (-1)倍分别加到倍分别加到其余各行！其余各行！例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbb
29、baD 解法解法1baabbaabbaabbbba 000000 D将第将第 得得行行加到加到行乘行乘n, 3 , 211 “初等变换法”之例“初等变换法”之例列列加加到到第第一一列列第第用用n,3 ,2babababbbbna 000000000)1( D .)() 1(1 nbabna例例2 2（续）（续） 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD “升升阶阶法法”之之例例解法解法2倍倍分分行行的的新新的的第第增增加加一一行行一一列列后后，用用)1(1 可得可得别加到其余各行上去，别加到其余各行上去， 1001nnabbabbDbababb 01011bababbba
30、nbba 0000)1(列上去，列上去，倍加到新的第倍加到新的第时，用每一列的时，用每一列的当当1)(1baba 1)( )1( nbabna.,上上述述答答案案也也符符合合时时当当ba 例例2 2（续）（续） 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD “递递推推法法”之之例例解法解法2abbbabbbabbbbaabbbbabbbbabbbbbDn000 111)()()(000000000000 nnnnDbababDbababababbbbabbbabbbabbbbaabbbbabbbbabbbbbD112123223221()()1()()()()()()()()
31、()nnnnnnnnnnDb abab DDb abab DabDb abab DabDb abab Dab )1()()()1()()()1()(111111bnabababnabababnDbaDnnnnnn +)阶阶行行列列式式计计算算下下列列例例n3之之例例“拆拆边边法法”7257257257 nD列列拆拆成成两两组组数数的的和和，得得将将第第解解17257257257 nD7257257252 7257257055 7257257252 nD7257257055 列展开，得列展开，得对后一行列式，按第对后一行列式，按第加到下一行上去加到下一行上去）倍）倍行起，每一行的（行起，每一行的
32、（对前一个行列式，从第对前一个行列式，从第1;11 20522052052 nD1725772575 n152 nnD略略）即即可可解解得得再再用用“递递推推法法”（此此处处nnnnnnD552525221221 即即21107 nnnDDDnnnnnnDDDDDD2)5(2)5( 25122211 nnnDD251 递推可得递推可得nnnnnnD552525221221 另解： 证证用数学归纳法用数学归纳法例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(之之例例“归归纳纳法法”
33、解解: :例例5计算行列式计算行列式323232324324324324321111dddcccbbbaaaabcdddddccccbbbbaaaaDn 432432432432ddddccccbbbbaaaaDn )()()()()(111133332222cdbdadbcacababcddcbadcbadcbaabcd 6n例例计计算算下下列列阶阶行行列列式式之之例例“分分块块矩矩阵阵法法”aaaA11 列，即得列，即得换到第换到第列依次列依次行，再将第行，再将第行依次换到第行依次换到第将第将第解解22nnaaaaA11 性质性质利用分块矩阵行列式的利用分块矩阵行列式的BABOOAppkk
34、 即得即得aaaaaaaaaA 111122)1( naa另解：另解：1.按第一行展开；按第一行展开；2.初等变换。初等变换。思考题思考题求求下下列列方方程程的的根根0781241221101168134112111113232 xxxxxx思考题解答思考题解答0781241221101168134112111113232 xxxxxx性性质质，于于是是想想到到要要用用行行列列式式的的加加法法列列元元素素不不同同，故故而而第第注注意意到到两两个个行行列列式式只只有有3解解3232327681234121211011178124122110116813411211111xxxxxxxxx 078
35、1241221101168134112111113232 xxxxxx即化为即化为即即323232181141121111178124122110116813411211111xxxxxxxxx 范德蒙德行列式范德蒙德行列式0)1)(2)(1)(21)(11)(12( xxx大下标减去大下标减去小下标元素小下标元素于于是是，得得到到121 xxx或或或或第二章第二章 行列式行列式第五节第五节 行列式的应用行列式的应用公式公式一、伴随矩阵及逆矩阵一、伴随矩阵及逆矩阵用用二二、克克拉拉默默法法则则及及其其应应四四、小小结结、思思考考题题的方程组的重要定理的方程组的重要定理于方程个数于方程个数三、关
36、于未知数个数等三、关于未知数个数等定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.也记作也记作 adjA.A一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式注意下标注意下标TijnnnnnnAAAAAAAAAAA212221212111 定理定理1. IAAAAA 证明证明 ,ijaA 设设则则 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211 AA. IA 同理可得同理可得 nkkjkiaAAA1. IA nnnnnnn
37、nnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOO故故时时，也也有有事事实实上上，当当0 A1 nAA)4(章章后后证证明明学学完完第第推推论论时时，有有当当阶阶矩矩阵阵对对0, AAn1 nAA证明证明两两边边取取行行列列式式，得得对对IAAA nnAIAIAAAAA .,命命题题得得证证等等式式最最两两端端同同除除以以 A.证毕证毕. IAAAAA 即即定理定理2 2 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A证明
38、证明必要性必要性，若，若 可逆，可逆，A.11IAAA 使使即即有有, 11 IAA故故且且可可顺顺便便得得到到所所以以. 0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 11 AAIAAAAA , IAAAAAA .1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕。证毕。，可可得得同同理理，由由IAAAAA .)(1AAA .1 AAA由由时时充充分分性性，当当,0 A, 1 IBA显显然然, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是BIB BAA1 111 AIAABA证毕证毕 .,1 ABIBAIABA则则或或且且为为方方阵阵若若推论推论证明证明.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为
39、为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA .为为非非奇奇异异矩矩阵阵是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得AA奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩阵阵求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩阵阵BA例例 1 1010430321 0143 4 , 0 .A可可逆逆所所以以, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A341103333231232221 同理可求得同理可求得代数余子式的
40、符号不能丢代数余子式的符号不能丢可得可得由由,331212321 ATAAAAAAAAAAAAA 33323123222113121111. 315404133411151531132 B由于由于, 0 .B不不可可逆逆故故.)3()2()1(AA列列式式除除以以原原矩矩阵阵的的行行；到到对对角角线线元元调调换换符符号号后后得得将将副副对对调调主主对对角角线线元元；即即 .543222的逆矩阵的逆矩阵阶矩阵阶矩阵求求例例 A可可逆逆，且且知知由由解解AA022 511 A412 A321 A222 A所以所以 24352211222112111TAAAAAAAA.解毕解毕说明：说明：的的阶阶矩
41、矩阵阵的的求求逆逆，有有所所谓谓对对2,“两调一除”法“两调一除”法试试求求阶阶方方阵阵，且且是是设设矩矩阵阵例例, 033 mAA12 AAA解解mAmAAAA 13122即得即得233)2()2()2(mmAmAm .解毕解毕,1AAA ,1 nAA,mA AkkA3 23331321211311)2(1)2()2()2(22mmmmmAmmAmmAmAAAAA 另另 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次
42、线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念二、克拉默法则二、克拉默法则定理定理 3 如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 .,332211DDxDDxDDxDDxnn 其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替
43、后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n,111111 nkk
44、jknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj ,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi .jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D 2.,332211DDxDDxDDxDDxnn 由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价, 2 1故故.,332211DDxDDxDDxDDxnn 也是方程组的也是方程组的 解解. 1逆否命题逆否命题 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同无解或
45、有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的解，则它的系数行列式必为零. . 1齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 3000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa推论推论1 1 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 只有零解只有零解. ., 0 D 3 3三、重要定理三、重要定理推论推论2 2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 3有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .零零解解而而言言，至至少少有有一一个个对对齐齐次次线线性性方方程程组
46、组0 Ax021 nxxx的的逆逆否否命命题题为为所所以以，推推论论 1例例 4 4 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为故方程组的解为:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx例例 5 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 解解 111
47、132421D 101112431 101112431 31214313 312123 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.2, 0 或或3 )(2)(3( 222111Aabcabc , ,a b c 1,1,1TTA x 例例6:设矩正阵设矩正阵且且 互不相等互不相等,求求的解的解.001; 0, 0, 1332211），解（DDxDDxDDDDx四、小结四、小结牢记公式牢记公式. 1. IAAAAA 以及由此而得以及由此而得,1 nAA,11 AA.)(1AAA ,1AAA 阶阶矩矩阵阵会会使使用用阶阶矩矩阵阵的的逆
48、逆矩矩阵阵时时，要要在在求求22. 2特特有有的的,“两调一除”法“两调一除”法质质：还还有有两两个个不不太太常常用用的的性性,)(2AAAn AkkAn 1)(3. 3. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .4. 4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .0,001 AxAAnn则则要要有有非非零零解解只只有有零零解解；
49、时时，：当当结结论论. 0002AbxAAnn要有非唯一解；则有唯一解；时，：当结论 使使求一个二次多项式求一个二次多项式,xf .283, 32, 01 fff解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf即即 , 0 cba, 324 cba,2839 cba故所求多项式为故所求多项式为 . 1322 xxxf又又, 020 D.20,60,40321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc它是一个关于未知数它是一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,cba,由由克克拉
50、拉默默法法则则，思考题思考题2当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用能否用克拉默法则解方程组克拉默法则解方程组?为什么为什么?此时方程组此时方程组的解为何的解为何?思考题思考题2解答解答不能！此时非齐次方程组的解为无解不能！此时非齐次方程组的解为无解或有无穷多解或有无穷多解.齐次方程组的解为有无穷多解齐次方程组的解为有无穷多解.第二章第二章 行列式行列式 行列式行列式补补 充充 例例 子子 ._32_,_,_, 2,. 111AAAAAAAATT则且为三阶矩阵设例.)2564332, 2, 2/1, 2(13*11*1211 nnTTTAAAAAAAAAAAAAA