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1、1函数单调性的判别法函数单调性的判别法单调区间求法单调区间求法小结小结 思考题思考题 作业作业 3.4 函数的单调性函数的单调性 与曲线的凹凸性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用2一、单调性的判别法一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调
2、性却是很不方便的。定函数的单调性却是很不方便的。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA3 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的角，曲线就是上升（下降）的. 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调这就启示我们：能否利用导数的符
3、号来判定单调性性 ？回答是肯定的。？回答是肯定的。定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 4证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在b
4、axfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 5 解解 因为在因为在(0, 2p)内内 y 1 cos x 0 所以所以, 函数函数 y x sin x 在在0 2p上的单调增加上的单调增加 例例 判定函数判定函数 y x sin x 在在0 2p上的单调性上的单调性 v 定理定理1(函数单调性的判定法函数单调性的判定法) 设函数设函数f(x)在在a b上连续上连续 在在(a, b)内可导内可导 (1)如果在如果在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上单调增加上单调增加 (2)如果在如果在
5、(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上单调减少上单调减少 6 因为在因为在( 0)内内y 0 所以函数所以函数 y ex x 1在在0 )上单调增加上单调增加 解解 函数函数y ex x 1的定义域为的定义域为( ) y ex 1 例例 讨论函数讨论函数 y ex x 1的单调性的单调性 注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性7方法方法不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程
6、)(0)(xfxf 问题问题如上例如上例, 函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,定义定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,)(的定义区间的定义区间划分函数划分函数xf然后判定区间内导数然后判定区间内导数的符号的符号.的的临界点临界点二、单调区间求法二、单调区间求法但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调则该区间称为函数的单调区间则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间8 (1) 确定函数的定义域确定函数的定义域 (2) 求出导数求出导数f (x) (3) 求出求出f
7、 (x)全部零点和不可导点全部零点和不可导点 (4) 判断或列表判断判断或列表判断 (5) 综合结论综合结论 确定函数单调区间的步骤确定函数单调区间的步骤9例例. 确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区间的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为(,1,2,);)(xf的的单调减单调减区间为区间为1, 2.12xoy1210yxo说明说明: : 1) 单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导
8、数不存在的点. 例如例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 11例例. )1()( 32的的单单调调区区间间确确定定xxxf 的的零零点点为为 325)(3xxxf ).,( fD的的单单调调性性列列表表如如下下：的的符符号号与与将将 ff x (-, 0) 0 (0, 2/5) 2/5 (2/5, +) f + 不存在 - 0 + f 连续 连续 上上单单调调增增。上上单单调调减减；在在上上单单调调增增；在在在
9、在) ,5252 0, 0 ,( f解解。不不存存在在的的点点为为， 0 5212xy y 解解 这个函数的定义域为这个函数的定义域为( ) 函数函数f(x)在区间在区间( 0和和1 )上单调减少上单调减少 在区间在区间0 1上单调增加上单调增加 ( 0) (0 1) (1 ) 练习练习 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间 xxy3223, 113xy 驻点驻点 x=1, 不可导点不可导点 x=0 , 13三、利用单调性证明不等式三、利用单调性证明不等式 利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：将要证的不等式作将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使恒等变形（通常是移项）
10、使一端为一端为0, 另一端即为所作的辅助函数另一端即为所作的辅助函数f(x).求求)(xf 验证验证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性.与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.14例例证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,), 0(,), 0)(可可导导且且上上连连续续在在 xf;), 0上单调增加上单调增加在在, 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf15单调增加单调增加 证明证明 例例 证明证
11、明: 当当 时时,20 x.3tan3xxx,3tan)(3xxxxf令令221sec)(xxxf22tanxx时，时，当当20 x,tanxx . 0)( xf连续，连续，在在)2, 0)(xf)2, 0)(在在所以所以xf于是于是时，时，当当20 x, 0)0()( fxf即即.3tan3xxx因此因此16) 1(111)(22xxxxxxf 证明证明 令)13 (2)(xxxf 则 因为当因为当x 1时时 f (x) 0 所以所以f(x)在在1 )上上f(x)单调单调增加增加 例例 6 证明 当 x1 时 xx132 例例 证明证明 0)13 (2xx 也就是xx132(x1) 因此当因
12、此当x 1时时 f(x) f(1) 0 即即17例例21sin, 102xxexx 证明证明证证xexxfxsin21)(2 设设xexxfxcos)( xexfxsin1)( , 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在xf 定不出符号定不出符号0)0( f且且0)0( f且且.1 , 0)(Cxf 0 18 )(,10 xfx有有时时当当0sin212 xexx21sin2xxex 即即,10时时当当 x, 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在xf )(xf有有)0(f . 0 .1 , 0)(Cxf )0(f. 0 xexxfxsin21)
13、(2 19(concave and convex)四、四、曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法 前面我们介绍了函数的单调性，这对于了解函前面我们介绍了函数的单调性，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从虽然都是从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却点，但它们的弯曲方向却不一样。不一样。 L1 是是“凸凸”弧，弧，L2是是“凹凹”弧弧 ，L3既有凸弧，也有既有凸弧
14、，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。201.1.定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向xyOABCxyo)(xfy 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyo)(xfy 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方21)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定义定义1内任意两点内任意两点如果对如果对设设),(,)(babaCxf ,2)()()2(2121xfxfxxf ,21xx恒有恒有.),()(的的内的图形是内的图形是在在那末称那末称baxf凹凹2)()()2(2121xfxf
15、xxf (凸凸)221xx 221xx 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyOxyO22)(xfy )(xfy 曲线弧上每一点的切线曲线弧上每一点的切线定义定义2( (上上) ) 方方, ,称为称为凹凹 弧弧. .( (凸凸) )凹凹弧的曲线段弧的曲线段)(xf)(xf 即即的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的, ,是单增的是单增的, ,凸凸弧的切线斜率是弧的切线斜率是单减的单减的, ,)(xf 即即是单减的是单减的. .而而 利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上
16、,随着随着x的增大的增大,都在曲线的都在曲线的下下xyOxyO23递增递增)(xf 0)( xf递减递减)(xf 0)( xf定理定理2 2,)(上连续上连续在在如果如果baxf内具有内具有在在),(ba,),(内内在在ba二阶导数二阶导数,0)( xf若若),0( )(xf则则.,的的上的图形是上的图形是在在ba凹凹 ( (凸凸) )2. 凹凸性的判别法凹凸性的判别法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 24证证20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之间之间与与在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf 这
17、说明切线位于曲线的下方这说明切线位于曲线的下方, ,),(0bax 任取任取 Taylor公式公式),(bax 处的切线处的切线在在曲线曲线0)(xxfy 0 20)(! 2)(xxf 即即f(x)是凹的是凹的. .),(bax 0)( xf若若25观察与思考观察与思考: f(x)的图形的凹凸性与的图形的凹凸性与f (x)的单调性的关系的单调性的关系. 1) f(x)的图形是凹的的图形是凹的 2) f(x)的图形是凸的的图形是凸的 f (x)单调增加单调增加; f (x)单调减少单调减少.v 定理定理2 2(曲线凹凸性的判定法曲线凹凸性的判定法) 设设f(x)在在a b上连续上连续 在在(a
18、b)内具有二阶导数内具有二阶导数. 若在若在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上的图形是凹的上的图形是凹的 若在若在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上的图形是凸的上的图形是凸的 26例例.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y.), 0为为凹凹的的在在曲曲线线 注注)0 , 0(点点 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.是是曲曲线线由由3xy xyO 271.1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点.
19、.几何上几何上五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法(inflection point)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .3xy xyO拐拐点点28的邻域内的邻域内在在设函数设函数0)(xxf,)(0变号变号两近旁两近旁xfx ,)(0不变号不变号两近旁两近旁xfx 方法：方法：,二阶可导二阶可导0)(0 xf且且;)(,(00即为拐点即为拐点点点xfx.)(,(00不是拐点不是拐点点点xfx2. 拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. .拐点的必要条件拐点的必要条件)(xf若若具有二阶导数具有二阶
20、导数, ,则点则点)(,(00 xfx. 0)(0 xf(1)(2)是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为( (或或x0为为二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点) )29 求拐点一般步骤求拐点一般步骤: )( 拐点的一般步骤求曲线xfy ; )( )( ) 1 (或确定讨论区间的定义域求xf; ) )( ( , )( , )( )2(xfxfxf 如需要可求出计算; )( 0)( 不存在的点的点和使xfxf . )4(否确为拐点根据定理判别可疑点是 : )3(求拐点可疑点30例例.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(
21、36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(31).,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为32例例.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy oxy33例例
22、.95)2(235的拐点及凹、凸性的拐点及凹、凸性求曲线求曲线xxy 解解),(,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐点拐点拐点拐点)920, 2( )4, 3( 不不存存在在的的点点y 不存在不存在定义域为定义域为(1)(2). 22 x(3) 列表列表34 , 0 )2.5 , 2( 2的拐点为曲线已知点ybxayx . , 的值求ba . 0 :2bx由题意 , 得由隐函数求导法则, 22bxayxy, )(246222bxybxayxy . 0 :1 y由拐点
23、的必要条件得 : 5 . 2 , 2 代入得以yx (1) 05860ba解解 : , ,得其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上 (2) 05 . 2210ba , )2( , ) 1 ( 解之得成方程组联立 , 320a . 34b例例35.)(21 , : 2yxyxeeeyx时证明, ) , ( , )( tetft令, ) , ( , 0)()( tetftft . ) , ( )( 内是凹的所对应的曲线在故tetf, ) , ( , yx,)(212yxyxeee. )(yx 解解 , 有由曲线凹性的定义例例36六、小结六、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日
24、中值定理的重要应用应用.单调性的单调性的应用应用:改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点: :凹凸性凹凸性;拐点拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向研究曲线的弯曲方向: :凹凸性凹凸性的的应用应用: 利用利用凹凸性凹凸性证明不等式证明不等式.37.,abbaeab 证明证明设设证证 只要证只要证.lnlnbaab 令令,lnln)(xaaxxf ax 则则0)( afxaaxf ln)(xa 1,时时当当ax ,)(时单调增加时单调增加在在axxf 所以所以,时时当当ab )()(afbf 即即有有0l
25、nln baabbaablnln 得得.abba , 0 0 思考题思考题38思考与练习思考与练习 1 ,0上上,0)( xf则则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或或) 1 ()0(ff的大小顺序是的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用利用)(xf 单调增加单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及及B1. 设在设在39 .),(21)1,(2121e2. 曲线曲线21xey的凹区间是的凹区间
26、是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及 ; ;.2sin,20:xxx 时时当当证明不等式证明不等式3.3.40证证 法一法一 用单调性证用单调性证.法二法二 用凹凸性证用凹凸性证.,2sin)(xxxf ,2cos)( xxf.)(的的图图形形是是凸凸的的xf, 0)0( f又又, 0)( xf因因此此.2sinxx .2sin,20:xxx 时时当当证明不等式证明不等式3.3.xxfsin)( 设设则则, 0 , 0)2( f即即41作业作业习题习题3-4(1513-4(151页页) )3.(奇奇)4.(奇奇) 7.(奇奇) 8.(奇奇) 9.（奇）（奇） 11. 12.