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1、Nove.7 Fri.Review1.局部Taylor展开式：2.带Lagrange余项的Taylor公式：带Lagrange余项的Maclaurin公式：Nove.4 Fri.4 函数单调性与凸性的判别法v函数单调性判别法v函数的凸性及其判别法一.函数单调性的判别法定义定理1证明：定理2证明：例证明：证明：解：注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二.函数的凸性及其判别法问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于弦的上方于弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于
2、弦的下方于弦的下方定义1若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。凸函数凹函数定义1凸函数凹函数定义2定理证明：几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。例求拐点的步骤：解：导数不存在，二阶导数也不存在。凹凸凸证明：证明：Hw：p151 3(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)，8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。更进一步有不等式：Nove.9 Wed.Reviewv函数单调性判别法v函数凸性及其判别法若函数可微：凸函数凹函数函数凸性判别法：求拐点的步骤：3.考察在
3、这些点的左、右的凹凸性。考察在这些点的左、右的凹凸性。v函数的极值：极大值与极小值定理定理1 1(必要条件必要条件)注意注意:例如例如,极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下例定理3（第二充分条件）证明：极大值极小值定理3(第二充分条件)例 1.若直角三角形的一只角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；小 结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为极值可疑点.函数的极值必在极值可疑点取得.判别法第一充分条件第一充分条件
4、;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)Hw：p160 1(双),2,3,4(2,3),6,7,9,10,12,13,15.二.渐近线定义定义:1.垂直渐近线例如例如有垂直渐近线两条有垂直渐近线两条:2.水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:3.斜渐近线斜渐近线求法:注意注意:例三.函数作图1.函数基本性质：1).定义域，值域，连续范围；2).函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶 函数关于y轴对称；3).周期性。2.利用导数研究函数性质：3.渐近线1).垂直渐近线；2).水平与斜渐近线。4.描点作图 例hw：p166 3,4.列表列表xyy.对函数进行全面讨论并画
5、图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 x=0=00(拐点拐点)+因因00+3极小值极小值+例例1.1.0.间断点间断点0 xy3.列表列表xyy.对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y=0=0，因因+0因因 y(x)=y(x)，图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)间断点间断点间断点间断点+及及 x=1，x=1x=02.2.0 xy11.小 结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凸的凸的凹的凹的单增单增单减单减