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1、课时作业11函数与方程一、选择题1函数f(x)的零点个数是(D)A0 B1C2 D3解析：当x0时，令f(x)0可得x1；当x0时，令f(x)0可得x2或x0.因此函数的零点个数为3.故选D.2方程ln(x1)0(x0)的根存在的大致区间是(B)A(0,1) B(1,2)C(2，e) D(3,4)解析：令f(x)ln(x1)，则f(1)ln(11)2ln220，所以函数f(x)的零点所在大致区间为(1,2)故选B.3已知函数f(x)log3a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(C)A(1，log32) B(0，log52)C(log32,1) D(1，log34)解析：单调函数f(
2、x)log3a在区间(1,2)内有零点，f(1)f(2)0，即(1a)(log32a)0，解得log32a0)的解的个数是(B)A1B2 C3D4解析：a0，a211.而y|x22x|的图象如图所示，y|x22x|的图象与ya21的图象总有2个交点，即方程|x22x|a21(a0)的解的个数是2.5(2019广东七校联合体联考)若函数f(x)2xa2x2a的零点在区间(0,1)上，则实数a的取值范围是(C)A. B(，1)C. D(1，)解析：易知函数f(x)的图象连续，且在(0,1)上单调递增f(0)f(1)(12a)(2a22a).6已知函数f(x)lnxax2ax恰有两个零点，则实数a的
3、取值范围为(C)A(，0) B(0，)C(0,1)(1，) D(，0)1解析：由题意，显然x1是函数f(x)的一个零点，取a1，则f(x)lnxx2x，f(x)0恒成立则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除A、D；取a1，则f(x)lnxx2x，f(x)，f(x)0得x1，则f(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，f(x)maxf(1)0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C.二、填空题7已知f(x)则函数g(x)f(x)ex的零点个数为2.解析：函数g(x)f(x)ex的零点个数即为函数yf(x)与yex的图象的交点个数作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)f(x)
4、ex有2个零点8若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是.解析：f(x)x2axb的两个零点是2，3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x31时，由log2(x1)0得x2，即x2为函数f(x)在区间(1，)上的一个零点；当x1时，f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0得x1或x1，当x0，当1x1时，f(x)0，x1为函数f(x)x33x1在(，1上的极大值点，f(1)30，f(1)11时，作出函数ylog2(x1)的图象如图1所示，当x1时，由f(x)x33x10
5、得，x33x1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数yx3和y3x1的图象如图2所示，由图1,2可知函数f(x)的零点个数为3.10定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为3.解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在R上的零点个数为3.三、解答题11已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(
6、x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函数g(x)在上是连续曲线，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.12已知a是正实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围解：f(x)2ax22x3a的对称轴为x.当1，即0a时，须使即无解当1时，须使即解得a1，a的取值范围是1，)13(2019惠州市调研考试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)则函数g(x)xf(x)1在6，)上的所有零点之和为(A)A8 B32C. D0解析：令g(x)xf(x)10，则x0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数yf(x)的图象和y的图象
7、的交点的横坐标之和，分别作出x0时，yf(x)和y的大致图象，如图所示，由于yf(x)和y的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在6,6上的所有零点之和为0，而当x8时，f(x)，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x(8，)时，y的图象都在yf(x)的图象的上方，因此g(x)在6，)上的所有零点之和为8.故选A.14已知关于x的方程|2x10|a有两个不同的实根x1，x2，且x22x1，则实数a6.15(2019福州四校联考)已知函数f(x)若F(x)ff(x)1m有两个零点x1，x2，则x1x2的取值范围是(D)A42ln2，) B(，)C(，42ln2 D(，)16(2019德州模拟)已知函数f(x)x22x.g(x)(1)求gf(1)的值；(2)若方程gf(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解：(1)f(1)12213，gf(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象，如图所示，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t1)与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.