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1、课时作业50圆的方程一、选择题1已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程是(A)A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28解析：直线xy10与x轴的交点为(1,0)根据题意，圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线xy30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即rd，则圆的方程为(x1)2y22.故选A.2(2019河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2xy40与2xy60同时相切的圆的标准方程为(A)A(x1)2(y1)25B(x1)2(y1)25C(x1)2y25Dx2(y1)25解析：因为两平行直线2xy40与
2、2xy60的距离为d2.故所求圆的半径为r，所以圆心(a,1)到直线2xy40的距离为，即a1或a4.又因为圆心(a,1)到直线2xy60的距离也为r，所以a1.因此所求圆的标准方程为(x1)2(y1)25.故选A.3已知直线l：xmy40，若曲线x2y26x2y10上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(D)A2 B2C1 D1解析：因为曲线x2y26x2y10表示的是圆，其标准方程为(x3)2(y1)29，若圆(x3)2(y1)29上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：xmy40过圆心(3,1)，所以3m40，解得m1.4(2019贵阳市监测考试)经过三点A(1,0)，B(3,0)
3、，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|(A)A2 B2C3 D4解析：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x1上，设圆心为P(1，m)，则半径r|m2|，所以(m2)222m2，解得m0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x1)2y24，当x0时，y，所以|MN|2.5(2019西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为(D)A(，) B，C(，) D，解析：解法1：数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1,0)到直线yk(x3)的距离应小于等于半径1，即1，解得k，故选D.解法2：数形结
4、合可知，直线l的斜率存在，设为k，当k1时，直线l的方程为xy30，圆心(1,0)到直线l的距离为1，直线与圆相离，故排除A，B；当k时，直线l的方程为xy30，圆心(1,0)到直线l的距离为1，直线与圆相切，排除C，故选D.6(2019河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线xby2b10相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(B)Ax2(y1)24 Bx2(y1)22Cx2(y1)28 Dx2(y1)216解析：直线xby2b10过定点P(1,2)，如图圆与直线xby2b10相切于点P时，圆的半径最大，为，此时圆的标准方程为x2(y1)22，故选B.二、填
5、空题7已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为(x2)2y29.解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.8(2019贵阳市摸底考试)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积为8，则OAB外接圆的标准方程是(x2)2(y2)28.解析：设直线l的方程为1(a0，b0)，由直线l过点M(2,2)，得1.又SOABab8，所以a4，b4，所以OAB是等腰直角三角形，且M
6、是斜边AB的中点，则OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|2，所以OAB外接圆的标准方程是(x2)2(y2)28.9(2019湖南湘东五校联考)圆心在抛物线yx2(x0)上，且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为(x1)2(y)21.解析：依题意设圆的方程为(xa)2(ya2)2r2(a0)因为圆C经过A，B两点，所以2222，即bb2bb2，解得b4.又易知r222，所以圆C的方程为x2(y4)2.(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，Q，或P，Q，则0，所以OPOQ，满足题意当直线l的斜率存
7、在时，易知其斜率不为0，设直线l的方程为ykxm(k0，m0)，OPOQ且C1的半径为1，O到l的距离为，又l与圆C相切，由知|m|m4|，m2，代入得k，l的方程为yx2.综上，l的方程为x或yx2.12(2019江西新余五校联考)已知圆O：x2y29，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，直线l的方程为(D)Axy30或7xy150Bxy30或7xy150Cxy30或7xy150Dxy30或7xy150解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标为(2，)，(2，)，所以SOPQ222.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，则圆心到
8、直线PQ的距离d，由平面几何知识得|PQ|2，SOPQ|PQ|d2d，当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值.因为2，所以SOPQ的最大值为，此时，解得k1或k7，此时直线l的方程为xy30或7xy150.故选D.13(2019南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于.解析：令P(，0)，如图，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时，AOB的面积取得最大值，此时过点O作OHAB于点H，则|OH|，于是sinOPH，易知OPH为锐角，所以OPH30，则直线AB
9、的倾斜角为150，故直线AB的斜率为tan150.14如图，在等腰ABC中，已知|AB|AC|，B(1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为4.解析：解法1：设C坐标为(x，y)，则A坐标为(4x，y)，|AB|AC|，整理得(x1)2y24(y0)，所以C的轨迹包围的图形面积为4.解法2：由已知|AB|2|AD|，设点A(x，y)，则(x1)2y24(x2)2y2，所以点A的轨迹方程为(x3)2y24(y0)，设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4x，y)，所以C的轨迹方程为(4x3)2(y)24，即(x1)2y24(y0)，所以点C的轨迹所包围的
10、图形面积为4.15(2019福州高三考试)抛物线C：y2x24xa与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P.(1)若点Q(x，y)(1x4)在C上，求直线PQ斜率的取值范围；(2)证明：经过这三个交点的圆E过定点解：(1)由题意得P(0，a)(a0)，Q(x,2x24xa)(1x4)，故kPQ2x4，因为1x4，所以2kPQ0，a2，且a0，解得x1，故抛物线C与x轴交于A(1，0)，B(1，0)两点故可设圆E的圆心为M(1，t)，由|MP|2|MA|2，得12(ta)2()2t2，解得t，则圆E的半径r|MP|.所以圆E的方程为(x1)2(y)21()2，所以圆E的一般方程为x2y22x(a)y0，即x2y22xya(y)0.由得或故圆E过定点(0，)，(2，)