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1、课时作业52椭圆一、选择题1设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为(A)A4 B3C2 D5解析：由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.2(2019开封模拟)曲线C1：1与曲线C2：1(kb0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(C)A. B.C. D.解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得2cb(2a2c)，得a2c，即e，故选C.6正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，若椭圆的焦点在正方
2、形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(B)A. B.C. D.解析：设正方形的边长为2m，椭圆的焦点在正方形的内部，mc.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，1e2，整理得e43e210，e2，0e|C1C2|6，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为1.8(2019四川南充模拟)已知椭圆1(0bb0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是.解析：设直线xy50与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直线AB的斜率k1.
3、由两式相减得，0，所以，所以，于是椭圆的离心率e.三、解答题11(2019云南曲靖模拟)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OAOB时，求AOB的面积解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意可得解得故椭圆C的方程为y21.(2)直线OP的方程为yx，设直线AB的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2mxm210，由3m24(m21)0，得m20得m1.且有|PQ|x1x2|，原点到直线l的距离d，所以SOPQ
4、|PQ|d2，解得m1，故椭圆方程为1.(3)直线l的垂线为ON：yx，由解得交点N(1,1)因为|PN|BQ|，又x1x23，所以1，故的值为1.13(2019合肥市质量检测)如图，椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则F2MN的周长为(D)A20 B10C2 D4解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(c,0)，点N的横坐标为c，联立方程，得得N(c，)，H(0，)，M(2c，)把点M的坐标代入椭圆方程得1，化简得c2，又c2a24，a24，解得a25，a.由椭圆的定义知|NF2
5、|NF1|MF2|MF1|2a，F2MN的周长为|NF2|MF2|MN|NF2|MF2|NF1|MF1|4a4，故选D.14(2019南昌摸底调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围解：(1)由题知e，2b2，又a2b2c2，b1，a2，椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y
6、1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km()4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2，k2，原点O到直线l的距离d，d21，又k2，0d2b0)的左顶点和上顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，则椭圆的离心率的平方为(B)A. B.C. D.解析：如图，由题意得，A(a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，得点P是以点O为圆心
7、，线段F1F2为直径的圆x2y2c2与线段AB的切点，连接OP，则OPAB，且OPc，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为yxb，整理得bxayab0，点O到直线AB的距离dc，两边同时平方整理得，a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4，可得b4a2b2a40，两边同时除以a4，得()210，可得，则e211，故选B.16(2019重庆六校联考)如图，记椭圆1，1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：P到F1(4,0)，F2(4,0)，E1(0，4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；曲线C关于直线yx，yx均对称；曲线C所围区域的面积必小于36；曲线C的总长度不大于6.其中正确命题的序号是.解析：对于，若点P在椭圆1上，P到F1(4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于，联立两个椭圆的方程，得得y2x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线yx，yx均对称，故正确；对于，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故正确；对于，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6，故错故答案为.