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1、第二章第二单元 一次函数和二次函数1一次函数1一次函数的概念函数 叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是 ，其中k叫做该直线的 ，b叫做该直线在y轴上的 一次函数又叫 2一次函数的性质函数的改变量y 与自变量改变量x 的比值等于 ，k的大小表示直线与x轴的 当k0时，一次函数是 ；当k0a0a0，bc0，那么axbyc0的图象的大致形状是( 【答案】A5直线ykxb过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，假设k0且x1y2 By10，b0 Ba0，c0 Cb0，c0 Da、b、c均小于0【解析】由图象开口向下知a0，b0又f(0)c0. 【答案】C对任意的实数都满足，那么实数
2、的值为 【答案】【方法技巧】 在解决与二次函数对称轴有关的问题时如果能合理应用下面的结论会简化解题过程：假设函数对任意的实数满足，那么的对称轴是3函数f(x)2x23x1，(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴方程；(2)求这个函数的最小值；(3)不直接计算函数值，试比较f(1)和f(1)的大小【思路点拨】此题考查二次函数的根本性质，第(3)问首先利用函数f(x)的对称性：fxh)f(xh)，把要比较的两个值转化到同一个单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小也可以比较两个自变量离对称轴的距离大小，从而得到它们的大小关系此题a20，拋物线开口向上， ，离对称轴远的函数值大，所以f(1) f
3、(1) 这也是常用的方法，应熟练掌握【解析】1将函数配方化为顶点式【方法技巧】 讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里表达了数形结合及化归等重要思想方法4.二次函数yx22xm的局部图象如下列图，那么关于x的一元二次方程x22xm0的根为_【解析】由图知拋物线的对称轴为直线x1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，所以拋物线与x轴的另一个交点坐标是(1,0)，所以关于x的一元二次方程x22xm0的根为x11，x23.【答案】1,35关于x的函数y(m6)x22(m1)xm1
4、的图象与x轴总有交点(1)求m的取值范围；(2)当函数图象与x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于4时，求m的值【解析】(1)当m60，即m-6时，函数y14x5与x轴有一个交点；当m60时，4(9m5)0，解得m，即当m，且m6时，抛物线与x轴有交点综合m60和m60可知，当m时，此函数的图象与x轴有交点(2)设x1，x2是方程(m6)x22(m1)xm10的两个根，当m3时，m60，0，符合题意，m的值是3.【方法技巧】 对于y=ax2+bx+c要认为它是二次函数，就必须认定a0时，就要讨论a=0和 a0两种情况.题型三 二次函数的最值问题1求函数y2x24x3的最值(1)xR；(2)x2,0
5、；(3)x0,3；(4)x2,4【解析】对二次函数配方，得y2x24x32(x1)25.(1)假设xR，当x1时，ymin5；无最大值(2)假设x2,0，当x2时，ymax13；当x0时，ymin3.(3)假设x0,3，当x1时，ymin5；当x3时，ymax3.(4)假设x2,4，当x2时，ymin3；当x4时，ymax13.2求函数在区间0,2上的最大值和最小值.【解析】由于的图象抛物线的对称轴对于0,2的位置有四种可能.当a0时，当01时, ，当12时, 1，当2时,，1， 【方法技巧】 (1)利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性(2)求解二次函数在某区间上的最值，应判
6、断它的开口方向、对称轴与区间的关系，假设含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答题型四 由特殊值求待定系数1一次函数ykxb，x1时，y2，且在y轴上的截距为5，那么它的解析式是 Ay3x5By3x5 Cy3x5 Dy3x5【答案】D2过点A(2,3)的反比例函数的解析式是 【答案】 B3二次函数的顶点坐标为(2，1)，且过点(3,1)，那么解析式为_【答案】y2x28x74一次函数y3xb的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为24，那么一次函数的解析式为_【解析】即b2144，b12.解析式为y3x12. 【答案】y3x125二次函数图象的对称轴是，又经过点2，3，且与一次函数的图象交于
7、点0，1，求过一次函数与二次函数的图象的另一个交点的坐标【解析】 二次函数图象的对称轴为x=2，且又经过点2，3，那么二次函数图象的顶点为2，3，设二次函数为；以，1代入，得a1，再以，1代入，得b1，1，联立，消去y，得x2x0，方程组的解为 或 ，所求另一个交点坐标为1，2题型五 由恒等式求待定系数1假设，那么A ，B .【解析】2二次函数满足，那么 【答案】 C3二次函数yx2bxc的图象向左平移2个，再向上平移3个，得到的二次函数为yx22x1，求该二次函数的解析式【解析】将yx2bxc的图象向左平移2个，再向上平移3个得解析式为y(x2)2b(x2)c3x2(b4)x2bc7.令x2
8、(b4)x2bc7x22x1，题型六 二次函数三种解析式的灵活运用【方法技巧】二次函数解析式有三种表达形式， 1.一般式：y=ax2+bx+c ；其中 a0, a, b, c 为常数2.顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a0, a, h, k 为常数，h,k为顶点坐标。3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：1根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般抛物线的顶点，用顶点式y=a(x-h)2+k(a0)；抛物线与x轴的两个交点或与
9、x轴的一个交点及对称轴，用两点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)；2解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由直接确定某些系数；3假设题目给定二次函数解析式的某种形式如y=ax2+ bx+c=0 (a0)，那么最后的结果必须写成此种形式。1抛物线与x轴交于点(1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，那么抛物线的解析式为Ayx21 Byx21 Cyx21 Dyx21【解析】由题意抛物线对称轴是y轴且开口向下，顶点(0,1)故抛物线为yx21.【答案】A2.抛物线y=ax2+ bx+c与x 轴交于点A-3，0，对称轴x=-1,顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式。解法1：依题意，得 解得即所求.解法2: 抛物线对称轴x=-1 ,顶点到x轴的距离为2， 顶点-1，2设 y=a(x+1)22,抛物线过-3，0, 0=a(-3+1) 22.解得 -或-(x+1)2+2=或解法3：抛物线对称轴x=-1, 过-3，0由对称性知抛物线必过1，0设y=a(x+3)(x-1),抛物线过-1，2 2=a2(-2)解得： m【方法技巧】 此例给出3种解法，显然解法2、解法3较简便，因为它们只需待定一个系数a, 只要构造一个关于a 的方程即可。所以，对于求解二次函数解析式，要注意选择形式。a、b、c对二次函数的图象和性质的影响