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1、2 2.2 2.2 2二次函数的性质与图象二次函数的性质与图象一二一二二、二次函数的性质与图象【问题思考】1.二次函数y=ax2+c在y轴左侧是减函数,在右侧是增函数,对吗?提示:不对.当a0时,函数在y轴左侧是减函数,在右侧是增函数;当a0)的最值问题,首先应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k(a0)的形式.其解法是:抓住“三点一轴”数形结合,该讨论时要讨论.这里的“三点”指的是区间的两个端点和区间中点,“一轴”指的是对称轴.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间p,q上的最值问题可作如下讨论:(1)对称轴x=h在区间p,q的左侧,即当hq时,f(x)max=f(p),f
2、(x)min=f(q).一二4.填写下表:一二一二一二一二一二5.做一做:(1)二次函数y=2x2-x+1图象的对称轴和顶点坐标分别是()答案:B(2)函数f(x)=ax2+4(a+1)x-3在2,+)内单调递减,则a的取值范围是.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)二次函数y=3x2与y轴不相交.()(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象开口一定向上.()(3)将函数y=f(x+a)(a0)的图象向左平移a个单位长度即得到y=f(x)的图象.()(4)所有的二次函数在定义域R上一定有最大值和最小值.()(5)如果二次函数f(x)的图象关于直线x=a
3、对称,则f(x)一定满足关系式f(a+x)=f(a-x).()(6)如果二次函数f(x)满足关系式f(x)=f(2a-x),则说明该二次函数f(x)图象的对称轴为x=2a.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)探究一探究二探究三探究四思想方法二次函数的定义二次函数的定义 分析:根据二次函数的定义,只要保证二次项系数2-m0且x的指数m2+m-4=2即可.探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟二次函数y=ax2+bx+c(a0),当b=c=0时,函数变为y=ax2(a0),它的图象是一条以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线;另外二次函数有以下几种形式:(1)顶点式:f(x)=a(x-h)
4、2+k(a0),其中(h,k)为其图象的顶点坐标.(2)交点式(也称两根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),其中x1,x2是其图象与x轴交点的横坐标.(3)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0).探究一探究二探究三探究四思想方法二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质【例2】已知函数f(x)=-x2+2x+3.(1)用配方法求出函数图象的对称轴、顶点坐标,并作出图象,指出其单调区间;(2)由图象写出当y0时x的取值范围.分析:本题考查配方法和二次函数的图象与性质.解题的关键是配方,完成配方后再结合图象研究其性质.探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)f(x)=-x2+2
5、x+3=-(x2-2x)+3=-(x-1)2+4,则该函数图象的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,4),其图象如图所示.其单调增区间为(-,1,单调减区间为1,+).(2)由图象知当y=0时,x=-1或x=3;当y0时,-1x0(a0)的解;同样二次函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围,即为不等式ax2+bx+c0(a0)的解.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练变式训练1设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0),若a=c,则如图所示的图象不可能为y=f(x)的图象的是()解析:由a=c可知函数图象与x轴的两交点(包含交点重合的情况)的横坐标乘积为1.由四个选项看,图象与x轴
6、均有交点,记两交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点,则x1=x2,因为a=c,所以x1x2=1,比较四个选项,发现选项D中x1-1,x21,所以D不满足.故选D.答案:D探究一探究二探究三探究四思想方法二次函数单调性与对称性的应用二次函数单调性与对称性的应用【例3】(1)若函数f(x)=x2+2mx+1在区间-1,2上是单调的,则实数m的取值范围是;(2)如果函数f(x)=x2+bx+1对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),求f(1),f(2)的值.(1)解析:函数f(x)=x2+2mx+1=(x+m)2+1-m2,其图象的对称轴为x=-m,若函数在-1,2上单调,说明对称轴不在
7、区间-1,2内部,故有-m-1或-m2,得m1或m-2.答案:m1或m-2(2)解:由题意知,函数图象关于x=2对称,故-=2,得b=-4,所以f(x)=x2-4x+1,f(1)=1-4+1=-2,f(2)=4-8+1=-3.探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法:已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维问题.解答此类问题的关键在于先找出函数图象的对称轴,通过集合间的关系来建立变量间的关系.2.函数的对称性:(1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(a+x)=f(a-x)对任意x都成立,这个关系式我们也常常
8、表示为:f(x)=f(2a-x),也说明函数图象关于直线x=a对称.(2)若函数f(x)对任意x有f(a-x)=f(b+x),则函数f(x)图象的对称轴为探究一探究二探究三探究四思想方法(1)若将上题(1)中条件“在区间-1,2上是单调的”改为“在-1,2上是单调递减的”,m的取值又将如何?(2)如果函数f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么()A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(4)f(2)f(1)D.f(2)f(4)f(1)解析:(1)由新变换的条件可知对称轴x=-m2即m-2.(2)由f(2+t)=f(2-t)可知,抛物线y
9、=x2+bx+c的对称轴是直线x=2,由函数的单调性可得f(2)f(1)f(4).答案:(1)m-2(2)A探究一探究二探究三探究四思想方法二次函数的最值二次函数的最值(值域值域)【例4】已知函数f(x)=x2+2ax+2.(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间-5,5上的最大值和最小值;(2)用a表示出函数f(x)在区间-5,5上的最值.分析:将原函数先配方,对于第(2)问还要结合图象进行分类讨论.解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,因为1-5,5,故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1;当x=-5时,f(x)取得最大值,f(x)ma
10、x=f(-5)=(-5-1)2+1=37.(2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图象开口向上,对称轴为x=-a.当-a-5,即a5时,函数在区间-5,5上是增函数,所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a;探究一探究二探究三探究四思想方法当-5-a0,即0a5时,函数图象如图所示,由图象可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a;当0-a5,即-5a0时,函数图象如图所示,由图象可得f(x)max=f(-5)=27-10a,f(x)min=f(-a)=2-a2;当-a5,即a-5时,函数在
11、区间-5,5上是减函数,所以f(x)min=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a.综上可得,当a5时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27+10a,最小值为27-10a;探究一探究二探究三探究四思想方法当0a5时,f(x)在区间-5,5上的最大值为27+10a,最小值为2-a2;当-5a0)的最值问题,首先应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式.(1)求二次函数在定义域R上的最值;(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型:顶点固定,区间也固定.此种类型是较为简单的一种,只要找到对称轴,画出图象,将区间标出,最值一目了然.顶点变动,区间固定.这种类型是比
12、较重要的,在高考题中多次出现,主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况,然后根据不同情况写出最值.顶点固定,区间变动.此种情况用的较少,在区间里含有参数,根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练变式训练2设f(x)=x2-4x-4,xt,t+1(tR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式.分析:本题属于轴定区间动的情形,分三种情况讨论f(x)的最小值.解:f(x)=(x-2)2-8,xt,t+1,当2t,t+1,即1t2时,g(t)=f(2)=-8.当t+12,即t2时,f(x)在t,t+1上是增
13、函数,g(t)=f(t)=t2-4t-4.探究一探究二探究三探究四思想方法数形结合思想在二次函数中的应用【典例】若方程x2-2x-3=a有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.思路点拨:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,将方程有两个不相等的实数根转化为两个函数的图象有两个不同的交点.探究一探究二探究三探究四思想方法解:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,作出f(x)的图象如图所示.f(x)与g(x)图象的交点个数即为方程x2-2x-3=a根的个数.由图可知当a-4时,f(x)与g(x)有两个公共点,即方程x2-2x-3=a有两个实根.综上所述,当方程x2-2x-3=a有两个实数
14、根时,实数a的取值范围是(-4,+).探究一探究二探究三探究四思想方法方法点睛若讨论f(x)=g(x)根的情况,不妨适当变形后令y=f(x)与y=g(x)两个函数,然后把方程根的问题转化为两个函数图象交点问题,体现了数与形的完美结合.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练变式训练已知方程x2-4|x|+5=m有四个全不相等的实根,则实数m的取值范围是.1.函数y=-x2+2的最值情况为()A.有最小值2,无最大值B.有最大值2,无最小值C.有最小值0,无最大值D.有最大值2,有最小值0答案:B2.已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1,并且通过点A(-1,7),则a,b的值分别是()A.2,4B.2,-4 C.-2,4D.-2,-43.若一次函数y=ax+b(a0)的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx(a0)的图象只可能是()解析:由y=ax+b(a0)的图象经过第二、三、四象限,得a0,b0,所以y=ax2+bx(a0)的图象开口向下,且对称轴,故选C.答案:C4.若函数f(x)=ax2+2x-4的图象位于x轴下方,则a的取值范围是.5.已知二次函数图象如图,求其解析式及顶点M的坐标.