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1、5.4.3正切函数的性质与图象课后篇巩固提升基础巩固1.函数f(x)=tan2xtanx的定义域为()A.xxR,且xk4,kZB.xxR,且xk+2,kZC.xxR,且xk+4,kZD.xxR,且xk-4,kZ解析由题意得xk,xk+2,kZ,2xk+2,即xk2,xk2+4,kZ,所以xk4(kZ),选A.答案A2.若函数f(x)=tanx-4与函数g(x)=sin4-2x的最小正周期相同,则=()A.1B.1C.2D.2解析函数g(x)的周期为22=,|=,=1.答案A3.函数y=tanx+5的一个对称中心是()A.(0,0)B.5,0C.45,0D.(,0)解析令x+5=k2,kZ,得
2、x=k2-5,kZ,所以函数y=tanx+5的对称中心是k2-5,0.令k=2,可得函数的一个对称中心为45,0.答案C4.函数f(x)=tan4-x的单调递减区间为()A.k-34,k+4,kZB.k-4,k+34,kZC.k-2,k+2,kZD.(k,(k+1),kZ解析因为f(x)=tan4-x=-tanx-4,所以原函数的单调递减区间就是函数y=tanx-4的单调递增区间.所以k-2x-4k+2,kZ,即k-4xk+34,kZ.故原函数的单调递减区间是k-4,k+34,kZ.答案B5.函数y=tan2-xx-4,4,且x0的值域为.解析-4x4,且x0,42-x34,且2-x2.由y=
3、tan x的图象知y=tan2-x的值域为(-,-11,+).答案(-,-11,+)6.若函数f(x)=2tankx+3的最小正周期T满足1T2,则自然数k的值为.解析由题意知1k2,即k2k.又kN,所以k=2或k=3.答案2或37.关于x的函数f(x)=tan(x+)有以下几种说法:对任意的,f(x)都是非奇非偶函数;f(x)的图象关于2-,0对称;f(x)的图象关于(-,0)对称;f(x)是以为最小正周期的周期函数.其中不正确的说法的序号是.解析若取=k(kZ),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以错;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于k2,0(kZ
4、)对称,令x+=k2,kZ,得x=k2-,分别令k=1,2知,正确,显然正确.答案8.方程12x-tan x=0在x-2,22,32内的解的个数为.解析分别画出y=12x与y=tan x在x-2,22,32内的图象,如图.易知y=12x与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.答案29.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x-4,4的值域.解-4x4,-1tan x1.令tan x=t,则t-1,1.y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.当t=-1,即x=-4时,ymin=-4,当t=1,即x=4时,ymax=4.故所求函数的值域为-4,4.10.是否存在实数a,且aZ
5、,使得函数y=tan4-ax在区间8,58上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.解y=tan4-ax=tan-ax+4,y=tan x在区间k-2,k+2(kZ)上为增函数,a0,又x8,58,-ax-a8,-5a8,4-ax4-a8,4-5a8,k-24-a8(kZ),k+24-5a8(kZ).解得-25-8k5a6-8k(kZ).由-25-8k5=6-8k得k=1,此时-2a-2.a=-20,存在a=-2Z,满足题意.能力提升1.在区间-32,32范围内,函数y=tan x与函数y=sin x图象交点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析在同一平面直角坐标系中,首先作
6、出y=sin x与y=tan x在-2,2内的图象,需明确x0,2时,有sin xxtan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明),然后利用对称性作出x-32,32的两函数的图象(注意正切函数的定义域),如图所示,由图象可知它们有三个交点.答案C2.已知函数y=tan x在-2,2内是减函数,则的取值范围为.解析由题意可知0,又2,-2-2,2,故-10,若它们的最小正周期之和为32,且f2=2,f4=-34+1,求f(x),(x)的解析式.解f(x)=asinkx+3的最小正周期T=2k.(x)=btankx-3的最小正周期T=k.2k+k=32,k=2.f(x)=asin2x+3,(x)=btan2x-3,f2=asin+3=-asin 3=-32a.2=btan-3=-btan 3=-3b.f4=asin2+3=acos 3=12a.4=btan2-3=33b.-32a=-3b,12a=-3(33b)+1.化简得a=2b,12a=-b+1,解得a=1,b=12.f(x)=sin2x+3,(x)=12tan2x-3.