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1、课时跟踪检测（三十二） 数列的综合问题1已知各项都不小于1的数列an的前n项和为Sn，且满足an2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn1，从数列bn中抽取部分项b1，b9，bn3，bn4，bnk，按从小到大的顺序构成等比数列求nk的通项公式；记ck数列ck的前k项和是Tk，求证：Tk.解：(1)由an2，移项并平方得(an2)2a4an46Sn3n，则a4an146Sn13(n1)，n2，两式相减得，aa4an4an16an3，n2，即a2an1a4an14，n2，即(an1)2(an12)2，n2.又an1，所以an1an12，n2，即anan13，n2，又a12，所以a2a110，解
2、得a11，所以数列an是首项为1，公差为3的等差数列，故an13(n1)3n2.(2)由bn1，得b12，b96，故等比数列的首项为2，公比为3，则bnk23k11.化简得nk432k343k21.证明：由题意可得T1，T2，当k3，kN*时，ck.则Tkc1c2ck ，综上，Tk.2设数列an的首项为1，前n项和为Sn，若对任意的nN*，均有Snankk(k是常数且kN*)成立，则称数列an为“P(k)数列”(1)若数列an为“P(1)数列”，求数列an的通项公式；(2)是否存在数列an既是“P(k)数列”，也是“P(k2)数列”？若存在，求出符合条件的数列an的通项公式及对应的k的值；若不
3、存在，请说明理由；(3)若数列an为“P(2)数列”，a22，设Tn，证明：Tn3.解：(1)数列an为“P(1)数列”，则Snan11，所以Sn1an21，两式相减得，an22an1，又n1时，a1a211，所以a22，故an12an对任意的nN*恒成立，即2，所以数列an为等比数列，其通项公式为an2n1，nN*.(2)假设存在这样的数列an，由an是“P(k)数列”可得，Snankk，故有Sn1 ank1k，两式相减得，an1ank1ank，则有an3ank3ank2.同理，由an是“P(k2)数列”可得，an1ank3ank2，所以an1an3对任意的nN*恒成立，所以Snankkan
4、k2kSn2，即SnSn2. 又Snank2k2Sn22，即Sn2Sn2. 两式矛盾，故不存在数列an既是“P(k)数列”，也是“P(k2)数列”(3)证明：因为数列an为“P(2)数列”，所以Snan22，所以Sn1an32，两式相减得，an1an3an2，又n1时，a1a321，故a33，又a22，满足a3a2a1，所以an2an1an对任意的nN*恒成立，所以数列an的前几项为1,2,3,5,8，故Tn，当n1时，T13，当n2时，T213，当n3时，Tn，由得，TnTn2，显然Tn2Tn，0，故TnTn，即Tn3.综上，Tn3.3已知数列an的前n项和Sn满足：(t1)Sntant0(
5、t为常数，且t0，t1， nN*)(1)设bnan(anSn)，若数列bn为等比数列，求t的值；(2)当t1时，记cn，Tn是数列cn的前n项和，求证：Tn；(3)当t5时，是否存在整数对(m，n)(其中mZ，nN*)满足a(4m)an7m150？若存在，求出所有满足题意的整数对(m，n)；若不存在，请说明理由解：(1)当n1时，(t1)S1ta1t0，得a1t.当n2时，由(1t)Sntant，得(1t)Sn1tan1t，得(1t)antantan1，即antan1，t(n2)，数列an是等比数列，且公比是t，antn.由bnan(anSn)知，bn(tn)2tn.若数列bn为等比数列，则有
6、bb1b3，而b12t2，b2t3(2t1)，b3t4(2t2t1)，故t3(2t1)22t2t4(2t2t1)，解得t，将t代入bn，得bnn，满足bn为等比数列，t.(2)证明：由(1)知，antn，cn，则Tn，又t1，Tn.(3)当t5时，由(1)知an5n，由a(4m)an7m150，得52n(4m)5n7m150，故m5n3.若存在整数对(m，n)，则必须是整数当n1时，m10；当n2时，m30；当n3时，5n736，不符合综上，所有满足题意的整数对(m，n)为(10,1)，(30,2)4定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D数列”(1
7、)若数列an为“D数列”，且a1a3，a2a，a3a24，求实数a的取值范围；(2)若首项为1的等差数列an的每一项均为正整数，且数列an为“D数列”，其前n项和Sn满足Snn22n(nN*)，求数列an的通项公式；(3)已知等比数列an的每一项均为正整数，且数列an为“D数列”，a2a13，设bn(nN*)，试判断数列bn是否为“D数列”，并说明理由解：(1)由题意得a2a132，a3a2a24a2，即a2a60，解得a3或a2.所以实数a的取值范围为(，23，)(2)设等差数列an的公差为d，则d2，由a11，得Snnd，由题意得，ndn22n对nN*均成立当n1时，上式成立当n2时，d2
8、.又dN*，所以d2，所以d2，所以等差数列an的通项公式an1(n1)22n1.(3)设等比数列an的公比为q，则ana1qn1，因为数列an的每一项均为正整数，且an1ananqanan(q1)20，所以q1，且q为整数，则an1anq(anan1)anan1，n2，nN*，所以在数列anan1中，a2a1为最小项由数列an为“D数列”，可知只需a2a12，即a1(q1)2，又a2a13，即a1(q1)3，由数列an的每一项均为正整数，可得a1(q1)2，所以a11，q3或a12，q2.当a11，q3时，an3n1，则bn2n1.令cnbn1bn(nN*)，则cn2n22n132n132n1，所以cn1cn32n232n132n10，所以数列cn为递增数列，即cncn1cn2c1.又c1b2b12，所以对任意的nN*都有bn1bn2，所以数列bn是“D数列”当a12，q2时，an2n，则bn3n.令dnbn1bn(nN*)，则dn3n13n23n23n，所以dn1dn23n123n23n0，所以数列dn为递增数列，即dndn1dn2d1.又d1b2b13，所以对任意的nN*都有bn1bn2，所以数列bn是“D数列”综上，数列bn是“D数列”