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1、课时跟踪检测(十五)导数与函数的单调性一、题点全面练1下列函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)sin 2xBf(x)xexCf(x)x3x Df(x)xln x解析：选B对于A，f(x)sin 2x的单调递增区间是(kZ)；对于B，f(x)ex(x1)，当x(0，)时，f(x)0，函数f(x)xex在(0，)上为增函数；对于C，f(x)3x21，令f(x)0，得x或x，函数f(x)x3x在和上单调递增；对于D，f(x)1，令f(x)0，得0x1，函数f(x)xln x在区间(0,1)上单调递增综上所述，应选B.2已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f
2、(x)的大致图象是()解析：选A设g(x)f(x)2x2sin x，则g(x)22cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增，结合选项知选A.3若函数f(x)(x2cx5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是()A(，2 B(，4C(，8 D2,4解析：选Bf(x)x2(2c)xc5ex，函数f(x)在区间上单调递增，x2(2c)xc50对任意x恒成立，即(x1)cx22x5对任意x恒成立，c对任意x恒成立，x，x14，当且仅当x1时等号成立，c4.4(2019咸宁联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2 B(4，)C(，2) D
3、(0,3解析：选Af(x)x29ln x，f(x)x(x0)，由x0，得0x3，f(x)在(0,3上是减函数，则a1，a1(0,3，a10且a13，解得1a2.5(2019南昌联考)已知函数f(x1)是偶函数，当x(1，)时，函数f(x)sin xx，设af，bf(3)，cf(0)，则a，b，c的大小关系为()Abac BcabCbca Dabc解析：选A函数f(x1)是偶函数，函数f(x)的图象关于直线x1对称，aff，bf(3)，cf(0)f(2)又当x(1，)时，函数f(x)sin xx，当x(1，)时，f(x)cos x10，即f(x)sin xx在(1，)上为减函数，bac.6已知函
4、数yf(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为_解析：由f(x)图象特征可得，在和2，)上f(x)0, 在 上f(x)0，所以xf(x)0或0x或x2，所以xf(x)0的解集为2，)答案：2，)7(2019岳阳模拟)若函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，f(x)2xexa0，即a2xex有解设g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2，则当xln 2时，g(x)0，g(x)单调递增，当xln 2时，g(x)0，g(x)单调递减，当xln 2时，g(x)取得最大值，且g(
5、x)maxg(ln 2)2ln 22，a2ln 22.答案：(，2ln 22)8设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)因为f(x)a(x5)26ln x，所以f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上，可得616a8a6，解得a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或x3.当0x2或x3时，f
6、(x)0；当2x3时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，(3，)，单调递减区间是(2,3)9已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)exax1的定义域为(0，)(1)设ae，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性解：(1)ae，f(x)exex1，f(x)exe，f(1)1，f(1)0.当ae时，函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y1.(2)f(x)exax1，f(x)exa.易知f(x)exa在(0，)上单调递增当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，由f(x)exa0，得xln
7、 a， 当0xln a时，f(x)0，当xln a时，f(x)0，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2019南昌模拟)已知函数f(x)xsin x，x1，x2，且f(x1)f(x2)，那么()Ax1x20 Bx1x20Cxx0 Dxx0解析：选D由f(x)xsin x，得f(x)sin xxcos xcos x(tan xx)，当x时，f(x)0，即f(x)在上为增函数，又f(x)xsin(x)xsin
8、xf(x)，f(x)为偶函数，当f(x1)f(x2)时，有f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，xx0，故选D.2函数f(x)x2ln x的单调递减区间为_解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，由f(x)x0，得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)答案：(0,1)3(2019郴州模拟)已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则实数t的取值范围是_解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，1(t，t1)或3(t，t1)或0t1或2
9、t3.答案：(0,1)(2,3)(二)素养专练学会更学通4.直观想象已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()解析：选C当0x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上为减函数；当x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上为增函数，因此排除A、B、D，故选C.5逻辑推理已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_解析：由f(x)x32xex，得f(x)x32xexf(x)，所以f(x)是R上的奇函数又f(x)3x22ex3x2223
10、x20，当且仅当x0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增因为f(a1)f(2a2)0，所以f(a1)f(2a2)f(2a2)，所以a12a2，解得1a，故实数a的取值范围是.答案：6逻辑推理、数学运算已知f(x)ax，g(x)ln x，x0，aR是常数(1)求函数yg(x)的图象在点P(1，g(1)处的切线方程；(2)设F(x)f(x)g(x)，讨论函数F(x)的单调性解：(1)因为g(x)ln x(x0)，所以g(1)0，g(x)，g(1)1，故函数g(x)的图象在P(1，g(1)处的切线方程是yx1.(2)因为F(x)f(x)g(x)axln x(x0)，所以F(x)aa2.当a时，
11、F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增；当a0时，F(x)，F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，由F(x)0，得x10，x20，且x2x1，故F(x)在，上单调递增，在上单调递减；当a0时，由F(x)0，得x10，x20，F(x)在上单调递增，在上单调递减(三)难点专练适情自主选7已知函数f(x)axln x，g(x)eax2x，其中aR.(1)当a2时，求函数f(x)的极值；(2)若存在区间D(0，)，使得f(x)与g(x)在区间D上具有相同的单调性，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)2xln x，定义域为(0，)，则f(x)2，故当x时，f(x)0
12、，f(x)单调递减；当x 时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x处取得极小值，且f1ln 2，无极大值(2)由题意知，f(x)a，g(x)aeax2，当a0时，g(x)0，即g(x)在R上单调递增，而f(x)在上单调递增，故必存在区间D(0，)，使得f(x)与g(x)在区间D上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减，而g(x)在(0，)上单调递增，故不存在满足条件的区间D；当a0时，f(x)a0，即f(x)在(0，)上单调递减，而g(x)在上单调递减，在上单调递增，若存在区间D(0，)，使得f(x)与g(x)在区间D上有相同的单调性，则有ln0，解得a2.综上可知，实数a的取值范围为(，2)(0，)