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1、课时跟踪检测(三十四)数列的概念与简单表示一、题点全面练1已知数列1,2，则2在这个数列中的项数是()A16B24C26 D28解析：选C因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2若数列an满足a11，a23，an1(2n)an(n1，2，)，则a3等于()A5 B9C10 D15解析：选D令n1，则32，即1，由an1(2n1)an，得a35a25315.故选D.3若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则等于()A. B.C. D30解析：选D当n2时，anSnSn1，所以5630.4(2019西宁模拟)数列an满足a12，an1a(an0)，则an()A10n2
2、 B10n1C102n4 D22n1解析：选D因为数列an满足a12，an1a(an0)，所以log2an12log2an2，所以log2an是公比为2的等比数列，所以log2anlog2a12n1an22n1.5设数列an的通项公式为ann2bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为()A(，1 B(，2C(，3) D.解析：选C因为数列an是单调递增数列，所以an1an2n1b0(nN*)，所以b2n1(nN*)，所以b(2n1)min3，即b3.6(2018佛山模拟)若数列an满足a1a2a3an2n1，则数列an的通项公式an_.解析：因为a1a2a3an2n1，所以a1a2
3、a3anan12(n1)1，两式相减得an12，即an2n1，n2.又a13，所以a16，因此an答案：7已知数列an满足an0,2an(1an1)2an1(1an)anan1anan1，且a1，则数列an的通项公式an_.解析：an0,2an(1an1)2an1(1an)anan1anan1，两边同除以anan1，得1，整理，得1，即是以3为首项，1为公差的等差数列，3(n1)1n2，即an.答案：8已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an的通项公式an_.解析：由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2
4、为公比的等比数列，an1an32n1，n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(n2)，经检验，当n1时，an1，符合上式an32n12.答案：32n129设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*，设bnSn3n.(1)求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围解：(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，所以数列bn的通项公式为bn(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn
5、3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2，当n2时，an1an12n2a30a9.又a2a13a1.综上，a的取值范围是9,3)(3，)10已知数列an的各项均为正数，记数列an的前n项和为Sn，数列a的前n项和为Tn，且3TnS2Sn，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由3T1S2S1，得3aa2a1，即aa10.因为a10，所以a11.(2)因为3TnS2Sn，所以3Tn1S2Sn1，得3aSS2an1.因为an10，所以3an1Sn1Sn2，所
6、以3an2Sn2Sn12，得3an23an1an2an1，即an22an1，所以当n2时，2.又由3T2S2S2，得3(1a)(1a2)22(1a2)，即a2a20.因为a20，所以a22，所以2，所以对nN*，都有2成立，所以数列an的通项公式为an2n1，nN*.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知数列an的前n项和Snn21(nN*)，则an_.解析：当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，故an答案：2若数列an的通项公式是an(n1)n，则此数列的最大项是第_项解析：an1an(n2)n1(n1)nn，当n9时，an1an0，即an1an；当n
7、9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an，该数列中有最大项，且最大项为第9,10项答案：9或103若数列an满足an1a1，则数列an的第2 019项为_解析：由已知可得，a221，a32，a42，a521，an为周期数列且T4，a2 019a50443a3.答案：4(2019湖南永州模拟)已知数列an中，a1a，a22a，an2an2，若数列an单调递增，则实数a的取值范围为_解析：由an2an2可知数列an的奇数项、偶数项分别递增，若数列an单调递增，则必有a2a1(2a)a0且a2a1(2a)aan2an2，可得0a1，故实数a的取值范围为(0,1)答案：(
8、0,1)(二)交汇专练融会巧迁移5与函数零点交汇已知二次函数f(x)x2axa(a0，xR)有且只有一个零点，数列an的前n项和Snf(n)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn1(nN*)，定义所有满足cmcm10的正整数m的个数，称为这个数列cn的变号数，求数列cn的变号数解：(1)依题意，a24a0，所以a0或a4.又由a0得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.当n1时，a1S11441；当n2时，anSnSn12n5.所以an(2)由题意得cn由cn1可知，当n5时，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1c20，c2c30，c4c50，
9、所以数列cn的变号数为3.(三)素养专练学会更学通6数学建模定义：在数列an中，若满足d(nN*，d为常数)，称an为“等差比数列”已知在“等差比数列”an中，a1a21，a33，则等于()A42 01921 B42 01821C42 01721 D42 0172解析：选C由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则2n1，所以(22 0181)(22 0171)(22 0171)(22 0171)42 01721.7逻辑推理在数列an中，a11，a22，若an22an1an2，则an()A.n2n Bn35n29n4Cn22n2 D2n25n4解析：选C由题意得(an2an1)(an1an)2，
10、因此数列an1an是以1为首项，2为公差的等差数列，an1an12(n1)2n1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)113(2n3)1(n1)21n22n2，又a1112212，因此ann22n2.8数学运算设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)令n1，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2时，Tn12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(nN*)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，2为公比的等比数列所以an232n1，所以an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.