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1、课时跟踪检测(十六)导数与函数的极值、最值一、题点全面练1函数f(x)xex，x0,4的最小值为()A0B.C. D.解析：选Af(x)，当x0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1,4时，f(x)0，f(x)单调递减，因为f(0)0，f(4)0，所以当x0时，f(x)有最小值，且最小值为0.2若函数f(x)aexsin x在x0处有极值，则a的值为()A1 B0C1 De解析：选Cf(x)aexcos x，若函数f(x)aexsin x在x0处有极值，则f(0)a10，解得a1，经检验a1符合题意，故选C.3已知x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为(
2、)A15 B16C17 D18解析：选D因为x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，所以f(2)123a0，解得a4，所以函数f(x)的解析式为f(x)x312x2，f(x)3x212，由f(x)0，得x2，故函数f(x)在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当x2时，函数f(x)取得极大值f(2)18.4.(2019合肥模拟)已知函数f(x)x3bx2cx的大致图象如图所示，则xx等于()A. B.C. D.解析：选C由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33
3、x22x，所以f(x)3x26x2，则x1，x2是方程f(x)3x26x20的两个不同的实数根，因此x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x24.5若函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_解析：f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数f(x)单调递增，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.答案：6(2019长沙调研)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，
4、则a_.解析：由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0.f(x)maxfln a11，解得a1.答案：17(2018内江一模)已知函数f(x)asin xbcos x(a，bR)，曲线yf(x)在点处的切线方程为yx.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)在上的最小值解：(1)由切线方程知，当x时，y0，fab0.f(x)acos xbsin x，由切线方程知，fab1，a，b.(2) 由(1)知，f(x)sin xcos xsin，函数g(x)，g(x).设u(x)xcos xsin x，则u(x)xsin x0，故u(x)在上单
5、调递减u(x)0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在1，e上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：由题意，知函数的定义域为x|x0，f(x)(a0)(1)由f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间是；由f(x)0，解得0x，所以函数f(x)的单调递减区间是.所以当x时，函数f(x)有极小值falnaaaln a，无极大值(2)不存在，理由如下：由(1)可知，当x时，函数f(x)单调递减；当x时，函数f(x)单调递增若01，即a1时，函数f(x)在1，e上为增函数，故函数f(x)的最小值为f(1)aln 111，显然10，
6、故不满足条件若1e，即a1时，函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值falnaaaln a0，即ln a1，解得ae，而ae，即0a时，函数f(x)在1，e上为减函数，故函数f(x)的最小值为f(e)aln ea0，即a，而0a，故不满足条件综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在1，e上的最小值为0.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2019郑州质检)若函数f(x)x3ax2bxa2在x1时有极值10，则a，b的值为()Aa3，b3或a4，b11Ba4，b3或a4，b11Ca4，b11D以上都不对解析：选C由题意，f(x)3x22ax
7、b，则f(1)0，即2ab3.f(1)1aba210，即a2ab9.联立，解得或经检验不符合题意，舍去故选C.2(2019唐山联考)若函数f(x)x2ln x1在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内存在极值，则实数a的取值范围是_解析：由题意，得函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x，令f(x)0，得x，则由已知得解得1a.答案：3(2019德州质检)已知函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_解析：由f(x)x21，知f(x)在(，1)上单调递减，在1,1上单调递增，在(1，)上单调递减，故函数f(x)在(a,10a2)上存在最大值的条件为其中f(1)f
8、(a)，即为1a3a，整理得a33a20，即a313a30，即(a1)(a2a1)3(a1)0，即(a1)(a2a2)0，即(a1)2(a2)0，即解得2a1.答案：2,1)(二)素养专练学会更学通4.直观想象已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导函数f(x)的图象如图，则下列结论正确的是()Aa，c分别是极大值点和极小值点Bb，c分别是极大值点和极小值点Cf(x)在区间(a，c)上是增函数Df(x)在区间(b，c)上是减函数解析：选C由极值点的定义可知，a是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间(a，)上是增函数，故选C.5.数学建模如图，在半径为10的半圆形(
9、O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，C，D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为V，设ADx，则Vmax_.解析：设圆柱形罐子的底面半径为r，由题意得AB22r，所以r，所以Vr2x2x(x3300x)(0x10)，故V(x2100)(x10)(x10)(0x10)令V0，得x10(负值舍去)，则V，V随x的变化情况如下表：x(0,10)10(10,10)V0V极大值所以当x10时，V取得极大值，也是最大值，所以Vmax.答案：6数学运算设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)
10、令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)所以g(x)2a.当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，g(x)0，函数g(x)单调递减所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)在(0，)内单调递增，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当0a时，1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0,1)时，f(x)0，当x时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当a时，1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a时，01，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意综上可知，实数a的取值范围为.