经典数学题 .docx

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1、精品名师归纳总结一、初等拉灯问题 - 倍数、约数例 1： 走廊里有 10 盏电灯，从 1 到 10 编号，开头时电灯全部关闭。有10 个同学依次通过走廊，第1 个同学把全部的灯绳都拉了一下，第2 个同学把 2 的倍数号的灯绳都拉了一下，第 3 个同学把 3 的倍数号的灯绳都拉了一下第10 个同学把第 10 号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就转变一次。试判定：当这10 个同学通过走廊后，走廊里有多少盏灯是亮的.A.2 B.3 C.4 D.5分析：(1) 原先电灯全部关闭，拉一下，亮着; 拉两下，灭了 ; 拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。(2) 可从最简洁的情形

2、考虑，把拉过某号的同学号码写出来查找规律，如 1 号是第 1 个同学拉过， 4 是 1,2 ， 4 号拉过， 6 是 1,2 ， 3,4 号同学拉过， 10 是 1,2 ， 5,10 号同学拉过， 也就是第 i 号灯的灯绳被拉的次数就是 i 的全部约数的个数。由自然数因数分解的性质知，只有当 i 是平方数时， i 的约数的个数才是奇数，所以只有 1， 4， 9 号灯亮着。此题答案： 1， 4， 9 号灯亮着，共有 3 盏灯。选 B。例 2：一间试验室里有100 盏灯，分别编号为1、2、3、 100 号，它们起初都是关着的。现在有学号为1、2、3、 100 号的同学分别走进这间试验室。1 号同学

3、把全部的灯的开关都拉了一次 ;2 号同学把偶数号的灯的开关又都拉了一次;3 号同学把倍数是 3 的号数的灯的开关都拉了一次;4 号同学把倍数是 4 的号数的灯的开关都拉了一次; 当这 100 个同学全部走进了试验室之后，最终亮着的灯有多少盏. A.4 B.6 C.8 D.10分析：1原先电灯全部关闭，拉一下，亮着; 拉两下，灭了 ; 拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。2思路同例 1，全部的平方数的灯亮着。1， 4， 9，16， 25，36， 49，64， 81，100， 10 盏灯亮着。选 D。例 3：现在有 1000 盏灯，全亮，每个灯都由1 个拉线开关掌握。然后拉开关，规章：

4、先拉一下 1 的倍数的开关。 也就是说每个灯都得拉一下 ，然后拉 2 的倍数的开关最终拉 1000 的倍数的开关，问最终有几盏灯是亮的 . A.21 B.31 C.969 D.979分析：(1) 原先电灯全亮着，拉一下，灭了; 拉两下，亮着 ; 拉三下，灭了。因此，灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量，再求亮着的灯。(2) 思路同例 1，被拉过奇数次的是约数为奇数个的灯，也就是灯号为平方数的灯， 1000 以内：最小有 1 的平方，最大有 31 的平方。灭掉的灯有31 盏，因此亮着灯有1000-31=969 盏。(3) 留意：看清此题要求，不能选31，正确答案选 C。可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、拉登难题三集合容斥原理型例 4： 有 1000 盏亮着的灯，各有一个拉线开关掌握着。现按其次序编号为1、2、3、4、5 1000，然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为3 的倍数的灯线拉一下，最终将编号为5 的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的电灯有多少盏. A.468 B.499 C.501 D.532分析：(1) 原先电灯亮着，拉一下，灭了; 拉两下，亮着 ; 拉三下，灭了。因此，灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量，再求亮着的灯。(2) 留意：此题目拉灯的方法不同前三个例题。编号为2 的倍数， 3 的倍数， 5 的倍数的灯一次

6、都拉。可以据此，看做是三集和问题。(3) 三个圆圈分别代表：上圆- 编号为 2 的倍数的灯，有 500 盏; 左圆 -编号为 3 的倍数的灯， 有 333 盏灯， 右圆 -编号为 5 的倍数的灯， 有 200 盏。其灯的亮或灭情形见图，(4) 数据运算：即能被2 又能被 3 整除的有 1000/6=166 个; 同理，能被 2,5 整除的有200 个，能被 3,5 整除的有 66 个，能同时被 2.3.5整除的有 33 个。请学员把每部分的数据填到上图中， 图中四部分灭的灯有： 上圆：500-166-100+33=267;左圆：333-166-66+33=134; 右圆： 200-100-66

7、+33=67;中心灭： 33，四部分灭着的灯共有：267+134+67+33=501，全部亮着灯有 1000-501=499. 选 B。(5) 留意看清题目， 501 为易错选项。拉灯问题，题目本身看起来操作繁琐，但是其中包蕴的数学道理不难，娴熟把握此类型题目的解决思路，熟能生巧。主谓拆分，拆分的是主项和谓项，其实这种方法就是三段论的逆向摸索。而什么样的题型适合应用这种方法了？第一要明白三段论的四种标准形式：全部 A 是 B+全部 B 是 C 全部 A 是 C全部 A 是 B+全部 B 不是 C 全部 A 不是 C有些 A 是 B+ 全部 B 是 C 有些 A 是 C有些 A 是 B+全部 B

8、 不是 C 有些 A 不是 C其实三段论的题型无外乎这两种：一种是通过前提求结论的结论型。一种是通过其中一个前提和结论求另一个前提是谁的前提。假如题干只给一个前提和一个结论，我们通常会用三段论的推理规章解题，但假如题干给了两个前提和一个结论，通过这些已知条件再求前提，这样难度就加大了。正常情形下是两个前提、一个结论，就基本形式而言，不会显现三个前提一个结论，也就是有一个前提对于解题的帮忙不大，如何来判定是哪个前提了，就需要应用主谓拆分法。拆分的是结论，把结论的一句直言命题沿着主项和谓项的方向拆成两句直言命题，这两句话是分别含有结论的主项和谓项，通过这两句话确定中间缺少的中项B 是谁，从而确定答

9、案。比方我们来拆分四种标准形式的第一句话。结论是全部A 是 C, 拆成两句话分别含有主项 A 和谓项 C, 即拆成两个部分：一个是全部A, 一个是 C, 中间加上 “是 B”、“全部 B”即可。这两句拆分后的命题，一句应当是已知条件，一句是应填选项。全部的主谓拆分法要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补充的都是 “是 B 、全部 B”把,拆分后的每一句话和已知条件对应，就可以确定哪个已知条件是无用的条件，从而确定B.1、 四者容斥例：有 100 件衬衫， 其中白色和黑色的各50%, 大号有 25%, 小号占 75%, 白色大号的有10 件，请问黑色小号的有几件？分析：这是一道四者

10、容斥的题目，用表格法解决。依据比例将白色、黑色衬衣的件数和大小号衬衣的件数写在表格最右列和最下行。大号白色10 件，标在大号一列和白色一行的交叉格中。就大号黑色有 25-10=15件，小号黑色有 50-15=35件。总结：四者容斥的题目一般都是描述某一事务在两个不同方面的四个不同属性。利用表格可以快速解题。2、 容斥全极值N 者容斥问 N 者重合部分的最值即为容斥全极值问题。考试很少考最大值，一般都是问 N 者重合部分最小的时候，直接利用结论做：N 者极值 =N 个大集合的和减去 N-1 个全集。例：某班有 100 人，其中语文好的有80 人，数学好的有 78 人，英语好的有 82 人， 请问

11、三个科目都好的至少有几人？分析：此题属于三者全极值的问题，带入公式：80+78+82-100 2=40. 即三个科目都好的人至少 40 人。3、 三者容斥二者最多三者容斥求其中二者重复部分最多，直接三个大集合之和除以2, 求整数部分。例：某班有 100 人，其中语文好的有40 人，数学好的有 32 人，英语好的有 48 人， 请问其中只有两科好的至多有几人？分析：三者容斥求二者最多，可以直接运算：40+32+48 2=60 人。一、考情分析抽屉问题在公务员考试虽不多见，但是它的难度始终比较大，其中的极值思想也能够帮忙其他部分解题，因此仍旧需要大家记住它的解法。二、抽屉原理概述抽屉原理，又叫狄利

12、克雷原理，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种好玩的问题，并且经常能够得到令人诧异的结果。很多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很简洁得到解决。那么，什么是抽屉原理了？我们先从一个最简洁的例子谈起。将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果了？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果。要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放。这两种情形可用一句话概括：肯定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果。虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法肯定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果。假如我们将上面问题做一下变动，例如不

13、是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结苹果放到七只抽屉里，我们不难发觉，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍旧肯定会有一只抽屉里至少有两个苹果。在公务员考试数学运算中，考查抽屉原理问题时，题干通常有“至少，才能保证”这样的字眼。我们下面叙述一下抽屉原理的两个重要结论：抽屉原理 1将多于 n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。也可以懂得为至少有2 件物品在同一个抽屉抽屉原理 2将多于 m n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于 m+1。也可以懂得为至少有m+1件物品在同一个抽屉

14、三、直接利用抽屉原懂得题一利用抽屉原理1例题 1：有 20 位运发动参与长跑，他们的参赛号码分别是1、2、3、 20，至少要从中选出多少个参赛号码，才能保证至少有两个号码的差是13 的倍数？A.12B.15C.14D.13【答案详解】假设想使两个号码的差是13，考虑将满意这个条件的两个数放在一组，这样的号码分别是 1 、14 、2 、15 、3 、16 、4 、17 、5 、18 、6 、 19 、7 、20 ， 共 7 组。仍剩下号码 8、 9、10、 11、12、13，共 6 个。考虑最差的情形，先取出这6 个号码，再从前 7 组中的每一组取1 个号码，这样再任意取出1 个号码就能保证至少

15、有两个号码的差是 13 的倍数，共取出了6+7+1=14 个号码。二利用抽屉原理2例题 2：一个口袋中有 50 个编上号码的相同的小球，其中编号为1、2、3、4、5 的各有 10 个。一次至少要取出多少小球，才能保证其中至少有4 个号码相同的小球？A.20 个B.25个C.16 个D.30个【答案详解】将 1、2、3、4、 5 五种号码看成 5 个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有4件物品，依据抽屉原理2，至少要取出5 3+1=16 个小球，才能保证其中至少有4 个号码相同的小球。四、利用最差原就最差原就说的就是在抽屉问题中，考查最差的情形来求得答案。由于抽屉原理问题所求多为极端情形，故可以从最差

16、的情形考虑。从各类公务员考试真题来看，“考虑最差情形”这一方法的使用广泛而且有效。例题 3：从一副完整的扑克牌中， 至少抽出多少张牌， 才能保证至少 6 张牌的花色相同？A.21B.22C.23D.24【答案详解】一副完整的扑克牌包括大王、小王。红桃、方块、黑桃、梅花各13 张， 分别是 A、2、3、4、5、 6、7、8、9、10、J、 Q、K。要求 6 张牌的花色相同，考虑最差情形，即红桃、 方块、 黑桃、 梅花各抽出 5 张， 再加上大王、小王， 此时共取出了 4 5 2=22 张，此时假设再取一张，就肯定有一种花色的牌有6 张。即至少取出 23 张牌，才能保证至可编辑资料 - - - 欢

17、迎下载精品名师归纳总结少 6 张牌的花色相同。例题 4：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些小球，其中红的10 个，白的 9 个，黄的 8 个，蓝的 2 个。一次至少取多少个球，才能保证有4 个相同颜色的球？ A.12B.13C.14D.15【答案详解】从最坏的情形考虑，红、白、黄三种颜色的球各取了3 个，蓝色的球取了 2 个，这时共取球 3 3+2=11 个，假设再取 1 个球，那么不管取到何种颜色的球，都能保证有 4 个相同颜色的球，故至少要取12 个。五、与排列组合问题结合例题 5：某区要从 10 位候选人中投票选举人大代表，现规定每位选举人必需从这10 位中任选两位投票，问至少要有多少

18、位选举人参与投票，才能保证有不少于10 位选举人投了相同两位候选人的票？A.382B.406C.451D.516【答案详解】从 10 位候选人中选2 人共有=45 种不同的选法，每种不同的选法即是一个抽屉。 要保证有不少于10 位选举人投了相同两位候选人的票，由抽屉原理 2 知， 至少要有 45 9+1=406 位选举人投票。六、与几何问题结合例题 6：在一个长 4 米、宽 3 米的长方形中，任意撒入5 个豆， 5 个豆中距离最小的两个豆距离的最大值是多少米？A.5B.4C.3D.2.5【答案详解】将长方形分成四个全等的小长方形长为2 米，宽为 1.5 米，假设放 5个豆的话，就必有2 个豆放在同一个小长方形中，二者之间的距离不大于小长方形对角线长，因此 5 个豆中距离最小的两个豆距离的最大值是2.5 米。可编辑资料 - - - 欢迎下载