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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 专题 4 几何证明【学问要点】1. 进一步把握直角三角形的性质,并能够娴熟应用； 2. 通过本节课的学习能够娴熟地写出较难证明的求证； 3. 证明要合乎规律,能够应用综合法娴熟地证明几何命题；【概念回忆 】 1. 全等三角形的性质：对应边,对应角对应高线,对应中线,对应角的角平分线； 2. 在 Rt ABC中,C=90 ,A=30 ,就 BC：AC：AB=；【例题解析】【题1】已知在ABC中,A108,ABAC,BD平分ABC 求证：BCABCD【题2】如图,点为正方形的边上一点,点为的延长线上的一点,且求证：.DAE名师归纳总结 【题3】如图
2、, AD 为 ABC的角平分线且FBC第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BDCD求证： ABAC. AEGBCD【题4】已知：如图,点B、F、C、E 在同始终线上, BF=CE,AB ED,AC FD,证明 AB=DE ,AC=DF.【题 5】已知：如图,3,PB4,PC5ABC是正三角形, P是三角形内一点, PA求： APB的度数A P B C 【题 6】如图： ABC中, ACB=90 ,AC=BC,AE是 BC边上的中名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - -
3、 - - 线,过 C作 CFAE,垂足是 F,过 B作 BDBC交 CF的延长线于 D；（1）求证：AE=CD; （2）假设 AC=12,求 BD的长. 【题 7】等边三角形 CEF于菱形 ABCD边长相等 . 求证：1 AEF=AFE 2 角 B的度数【题 8】如图,在ABC中, C=2B,AD是 ABC的角平分线,1=B,求证： AB=AC+CD. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【题 9】如图,在三角形ABC中,AD是 BC边上的中线, E是 AD的中点, BE的延长线交 AC于点 F. 求证： AF=2
4、1 FC 【题10】如图,将边长为 1的正方形 ABCD绕点 C旋转到 ABCD 的位 置,假设 BCB=30度,求 AE的长. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【题11】AD,BE分别是等边ABC中 BC,AC上的高；M,N分别在 AD,BE的延长线上, CBM=ACN.求证 AM=BN. 【题 12】已知：如图, AD、BC相交于点 O,OA=OD,OB=OC,点 E、F在 AD上,且 AE=DF,ABEDCF. 求证： BE CF. EABOC DF【稳固练习 】【练 1】 如图,已知 BE 垂直于 AD,
5、CF 垂直于 AD,且 BE=CF. （1）请你判定 AD 是三角形 ABC 的中线仍是角平分线？请证明你的结论；（2）链接 BF,CE,假设四边形 BFCE 是菱形,就三角形 ABC 中应添加一个什么条件？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 2】在等腰直角三角形ABC 中,O 是斜边 AC 的中点, P 是斜边上的一个动点,且 PB=PD,DE 垂直 AC,垂足为 E；（1）求证： PE=BO （2）设 AC=3a,AP=x ,四边形 PBDE 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式；【练3】已知：如
6、图,在四边形ABCD 中,AD BC,M、N 分别是AB、CD的中点, AD,BC的延长线叫 MN与 E、F 求证 DEN=F. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【练4】如图,假设 C在直线 OB上,试判定CDM外形；【练5】已知 ABC,AD是 BC边上的中线,分别以 AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形；求证：EF=2AD 1、 【练 6】如图,等边三角形 ABC的边长为 2,点 P和点 Q分别是从A和 C两点同时动身,做匀速运动,且他们的速度相同,点 P 沿射线 AB运动,Q点沿点 C在 BC延长线
7、上运动； 设 PQ与直线 AC相交于点 D,作 PEAC于点 E,当 P 和 Q运动时,线段 DE的长度是否转变？证明你的结论；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【提示】【题 1】分析：在上截取,连接可得 BAD BED 由 已 知 可 得 ：ABD DBE 18,A BED 108,C ABC 36DEC EDC 72, CDCE,BCABCD【题 2】分析：将ABF视为 ADE绕顺时针旋转90即可FABBAEEADBAE90FBAEDA 又FBAEDA90,ABF ADE【题 3】分析：延长到使得 易证 ABD
8、 ECDECAD BADCAD 【题 4】此题比较简洁,难点在 证明的人会在这失手；证明： BF=CE 又BF+CF=BC CE+CF=EF BC=EF AB DE,AC FD BF+CF=CE+CF 这,一般刚接触三角形B=E,DFE=BCA 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又BF=CE DEF ABCASAAB=DE,AC=DF【题 5】顺时针旋转ABP 600 ,连接 PQ ,就 PBQ是正三角形；可得 PQC是直角三角形；所以 APB=150 0 ；【题 6】解析：假如遇到这类题,有时在图形中隐匿着一些不
9、明显的条件,你就先试试一个角加公共角等于90 ,再试其它角加这个公共角是否能等于 90 ,能说明它俩相等；证明：1BDBC,CFAE DBC=ACB=EFC=90D+BCD=90FEC+BCD=90D=FEC 又 DBC=ACE=90 ,AC=BC 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - DBC ACEHLAE=CD 2由 1可知 BDC ACE BC=AC=12,BD=CE AE是 BC边上的中线BE=EC=1 2BC=6BD=CE BD=6【题 7】解：CB=CE,CD=CF B=CEB,D=CFD B=D菱形的对角
10、相等CEB=CFD CEF=CFE=60CEB+CEF+AEF=180CED+CFE+AFE=180AEF=AFE 2 设B=X,就 A=180 X,CEB=X AEF=AFE,A=AEF+AFE=180 180 X +2 AEF=180AEF=X/2 CEB+CEF+AEF=180名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - X+60 +X/2=180X=80B=80【题 8】解析：这种类型的题,一般是一条长的线段被分为两段,只能证 AC、CD这两条线段与 AB这条线段平分的两条线段 AE、BE 相等,从而证明出来；证明：
11、 AED是 EDB的一个外角 又 1=B AED=2B AED=C=2B AD是 ABC的角平分线CAD=DAE 又 AED=C,AD=DA ACD AEDAASAC=AE,CD=DE 1=B DE=BE CD=BE AB=AE+BE 又AC=AE,CD=BE AB=AC+CD 【题 9】解析：作 CF的中点 G,连接 DG,就 FG=GC 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又BD=DC DG BF AEED=AFFG AE=ED AF=FG AF = 1 FC 2即 AF=2 1 FC 【题 10】提示：证明三
12、角形 ABD和三角形 CAF全等；AEBD四点共圆；四边形 EDCF是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形【题11】证明：由于 ABC为等边三角形, AD垂直于 BC、BE垂直于 AC,所以 BAM=CBN ,又由于 CBM=ACN 所以 ABM=BCN 在 ABM和 BCN中,有 AB=BC BAM=CBN名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABM=BCN由三角形全等的判定 ASA得 ABM和 BCN全等所以 AM=BN 名师归纳总结 【题 12】分析： 要证明 BE CF,只要证明 EF；已知 ABE第 13 页,共 13 页DCF,又由三角形的外角性质可知EBAO ABE,FCDO DCF,因此只要证明 BAO CDO. - - - - - - -