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1、实数教学设计1 人教版优秀篇 第1章实数 实数教案 教学目标 1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。 2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。 （二）能力目标 1了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑 （三）情感目标 1.通过对有关无理数的数学史的了解，进一步增强学生对数学的兴趣. 教学重点 1了解实数意义，能对实数进行分类。 2.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断. 教学难点 1.无理数概念的探索过程. 2.用所学定义正确判断所给数的属性. 教学过程 一、课前布置 1.自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）. 2.查阅有关“无理数”
2、的典故. 1.无理数的由来 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。 不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国
3、天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。 然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”这便是“无理数”的由来 (毕达哥拉斯) 2.从已知的自然数、零、及正分数出发，可以直接定义负整数与负分数，并建立其运算法则，所以整个有理数的理论是比较容易被人们所接受的。 而无理数则不然，从它的发现到它的严格定义，是曲折而漫长的。所以研究实数理论主要是研究无理数理论。 到了19世纪70年代，著名的德国数学家外尔斯特拉斯1815-1897、康托尔1845-1918和法国的柯西1789-1857及戴德金1831-1916等
4、都对实数理论进行了研究，获得了几种形异而实同的实数理论，其中以戴德金分割法1872；康托尔的有理数基本序列法1872为最有代表性。上述两法与外尔斯特拉斯的实数理论合称实数理论的三大派。 二、师生互动 （一）一起交流课本上的“大家谈谈”. 师生共析由课本展示的拼图，“大家谈谈”我们发现： 1.整数的平方是整数，没有平方后等于2的整数. 2.分数的平方是分数，没有平方后等于2的分数. 3.平方等于2的数既不是整数，也不是分数,. 师是一个什么样的数，我们感受一下 请看图 大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. 生因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方
5、，所以面积大的正方形边长就大. a 肯定比1大而比2小，可以表示为1a 2. 生因为a 2大于1且a 2小于4，所以a 大致为1点几. 师很好.那么a 究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a 2=2，故a 应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4a 1.5，所以a 是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来. 师还可以继续下去吗？ 生可以. 师请大家继续探索，并判断a
6、 是有限小数吗？ 生a =1.41421356，还可以再继续进行，且a 是一个无限不循环小数. 师由算术平方根的概念可知a 是一个无限不循环小数. （二）无理数的定义 师请大家把下列各数表示成小数. 3，11 2,458,95,54，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间. 生3=3.0，54=0.8，95=?5.0， ?=71.045 8，?=818.1112 生3，54是有限小数，11 2,458,95是无限循环小数. 师3，11 2,458,95,54，这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示. 反过来
7、，任何有限小数或无限循环小数都是有理数. . 无限不循环小数叫无理数(irrational number). 除外，圆周率=3.14159265也是一个无限不循环小数，0.5858858885(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数. 师强调：对于无理数概念的理解应注意 （1）从无理数的定义可知，无理数应满足三个条件：小数；无限小数；不循环.三者缺一不可，带根号的数不一定是无理数. 通常无理数有三种形式： 开方开不尽的数都是无理数（如2、3、39）， 圆周率类 有规律但不循环的无限小数.（如2.020220002（两个2之间依次多个0）等）. （2）要把无理数与
8、它的近似值严格区分开来.例如是无理数，但它的近似值3.14、3.1416等都是有理数.不能认为3.1416等于，是无理数，而3.1416是有理数. 巩固练习： 1.把下列各数分别填入相应的集合内。 32，41，7，2 5-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 有理数： 无理数： （三）实数：有理数和无理数统称实数（real number ）。 师无理数与有理数一样，也有正负之分，如3是正的，-是负的。 （教师提出以下问题，让学生思考） （1）你能把32，41，7，2 5-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773
9、（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？ 正有理数： 负有理数： 正无理数： 负无理数： （2）0属于正数吗？0属于负数吗？ （3）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？ 让学生讨论回答后，教师引导学生形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数。 ? ?无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数) ()()( 强调说明： （1）明确“从属”关系，如整数或分数从属于有理数；正整数与零或负整数从属于整数。 （2）明确“并列”关系，如正整数与零，或正整数与负整数等均为并列的。 巩固练习： 1.
10、在52、3 3.14、0 1、0.23 2、0.1010010001中，_是整数，_是无理数，_ 是有理数. 若无理数的个数为x ，整数的个数为y ，非负数的个数为z ，那么x+y+z 等于_ 解：1. 0 ； 3 1 2、0.1010010001；52 3.14、0、0.23；17. 介绍对概念进行分类的原则：一是要选定一个属性为标准，选择的标准不同，分类的结果也不同，但每次分类不能同时选用两个以上的不同属性作标准；二是不越级进行分类，就是说分类的结果应该是它的邻近的种类概念，而不能越级，如把实数分为整数、分数和无理数，就是越过了“有理数”这一级，这是不正确的正确的科学分类经常采用二分法，即
11、在每一次分类时，将被分类的所属概念以某一属性为标准，分成且仅分成互不相容的两个矛盾关系的两种概念，并且逐级地这个分下去 二分法不仅是全面地、系统地掌握要领的重要的分类方法，而且也是系统地分析问题和解决问题的有力方法 （四）了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义： 在有理数中，有理数a 的的相反数是什么，不为0的数a 的倒数是什么。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 例如，2和2-是互为相反数，35和351互为倒数。33=，00=，=-，33-=-. 巩固练习： 1. 2的相反数是_，绝对值是_. 解： 22 四、补充练习 作业：习题
12、分层练习 1. 把下列各数填在相应的大括号内： 0，32-，3，2.75，-6，0.8，4 ，1.212121，722，0.1010010001（两个1之间依次多1个零） 自然数集合 ；有理数集合 ； 正实数集合 ；整数集合 ； 非负整数集合 ；分数集合 2.如图，在边长为1的正方形网格中，从点A 出发，连结AB 、AC 、AD 、AE 、AF ，其中B 、C 、D 、E 、F 都是网格上的点，在以上五条线段中，长度是无理数的线段有_. 3. 下列说法中，错误的一个是( ) A 如果a 、b 互为相反数，那么a 1和b 1仍是互为相反数； B 不论x 是什么实数，222 +-x x 的值总是大
13、于0； C n 是正整数，12+n 一定是一个无理数； D 如果a 是一个无理数，那么a 是非完全平方数 答案提示 1. 解：自然数集合0，3，； 有理数集合0，32- ，3，2.75，-6，0.8，1.212121，7 22，； 正实数集合3，2.75，0.8，4，1.212121，722，0.1010010001，； 整数集合0，3，-6，； 非负整数集合0，3，； 分数集合32-，2.75，0.8，1.212121，7 22， 2.解： AB 、AC 、AD 、AE 、AF 3.分析：A 正确，因为a 、b 互为相反数，所以a b=0，所以a 1b 1=a b =0，所以a 1和b 1互为相反数； B 正确，因为0)12()1(121222222-+-=-+-=+-x x x x x ； C 正确，因为12+n 不可能是一个完全平方数； D 是错误的，如果a 是一个无理数，那么a 必须是一个正的非完全平方数 解：选D 人的生命才真 的挫折。你想 得坚持一道底