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1、3.1.3空间向量的数量积（1） 学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题 学习过程 一、课前准备（预习教材P90 P92，找出疑惑之处）复习1：什么是平面向量与的数量积？ 复习2：在边长为1的正三角形ABC中，求二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质 问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 . 试试： 范围
2、: =0时, ;=时, 成立吗？ ，则称与互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思： 两个向量的数量积是数量还是向量？ （选0还是） 你能说出的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量，则（2） （3） .4) 空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）（3）（分配律反思： 吗？举例说明. 若，则吗？举例说明. 若，则吗？为什么？ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直
3、线与平面的交点为，且.求证： 例2 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（ ）A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 例3 如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，,=60,求的长. 动手试试练1. 已知向量满足，则_.练2. , 则的夹角大小为_. 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中：若，则，中至少一个为若且，则1.正确有个数为（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）A. B. C. D. 3.已知中，所对的边为，且,则= 4. 已知，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是 .5. 已知向量满足，则_课后作业： 1. 已知空间四边形中，求证：.2. 已知线段AB、BD在平面内,BDAB, 线段,如果ABa,BDb,ACc,求C、D间的距离.