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1、第 1 页 共 12 页等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为公比2、通项公式：11110,0nnnnaaa qqA BaqA Bq，首项：1a；公比：q推广：n mn mnnnmnmmmaaaa qqqaa3、等比中项：（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab注意： 同号的 两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个 （2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q时，1nSna（2）当1q时，11111nnnaqaa qSqq1111nnnaaqAA BA B
2、Aqq（,A B A B为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0)nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0nnnaA BA Ba为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnnaqaa为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何*,m nN，在等比数列na中，有n mnmaa q。（3）若*(, , ,)mnst m n s tN，则nmstaaaa。特别的，当2mnk 时，得2nmkaaa注：12132nnnaaaaa a等差和等
3、比数列比较：等差数列等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页第 2 页 共 12 页经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列na中，1964aa, 3720aa,求11a. 思路点拨：由等比数列的通项公式， 通过已知条件可列出关于1a和q 的二元方程组， 解出1a和q，可得11a；或注意到下标 1 937 ，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a. 解析：法一： 设此数列公比为 q ，则8191126371164(1)20(2)aaaa qaaa qa q由(2)得：241(1)20a qq.(3)
4、 10a. 由(1)得：421()64a q, 418a q.(4) (3) (4)得：42120582qq，422520qq,解得22q或212q当22q时，12a，1011164aaq；当212q时，132a，101111aa q. 法二： 193764aaaa,又3720aa, 定义daann 1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2) 1(1)2(111
5、)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页第 3 页 共 12 页3a、7a为方程220640 xx的两实数根，41673aa或16473aa23117aaa, 271131aaa或1164a. 总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零） . 举一反三：【变式 1
6、】an为等比数列， a1=3，a9=768，求 a6。【答案】 96 法一： 设公比为 q，则 768=a1q8，q8=256，q= 2，a6= 96；法二： a52=a1a9a5= 48q= 2，a6= 96。【变式 2】an为等比数列， an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。【答案】 64；21894516a aa，又 an0，a45=4 34445464564a a aa。【变式 3】已知等比数列na，若1237aaa，1238a a a，求na。【答案】12nna或32nna；法一： 2132a aa，312328a a aa，22a从而13135,4aaa a解之
7、得11a，34a或14a，31a当11a时，2q；当14a时，12q。故12nna或32nna。法二：由等比数列的定义知21aa q，231aa q代入已知得2111211178aa qa qaa q a q21331(1)7,8aqqa q211(1)7,(1)2(2)aqqa q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页第 4 页 共 12 页将12aq代入（1）得22520qq，解得2q或12q由（2）得112aq或1412aq，以下同方法一。类型二：等比数列的前n 项和公式例 2设等比数列 an的前 n 项和为 S
8、n，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q. 解析： 若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因 a10 ，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.由3692SSS得，369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0 ，得 2q6-q3-1=0，从而 (2q3+1)(q3-1)=0，因 q31 ，故312q，所以342q。举一反三：【变式 1】求等比数列1 11, ,3 9L的前 6 项和。【答案】364243；11a，13q，6n666111331364112324313S。【变式 2】已知：
9、an为等比数列， a1a2a3=27，S3=13，求 S5. 【答案】1211219或；322273aa，31(1)113313aqqqq或，则 a1=1或 a1=9 5555191131213121S113913S或. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页第 5 页 共 12 页【变式 3】在等比数列na中，166naa，21128naa，126nS，求n和 q。【答案】12q或 2，6n；211nnaaaa，1128na a解方程组1112866nna aaa，得1642naa或1264naa将1642naa代入
10、11nnaa qSq，得12q，由11nnaa q，解得6n；将1264naa代入11nnaa qSq，得2q，由11nnaa q，解得6n。12q或 2，6n。类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列na中，若569aa,求3132310loglog.logaaa. 解析：na是等比数列，110293847569aaaaaaaaaa1032313logloglogaaa553123103563log ()log ()log 910aaaaaaL举一反三：【变式 1】正项等比数列na中，若 a1 a100=100; 则 lga1+lga2+ +lga100=_. 【答案】 100；lga1+l
11、ga2+lga3+ +lga100=lg(a1 a2 a3a100) 而 a1 a100=a2 a99=a3 a98= =a50 a51原式 =lg(a1 a100)50=50lg(a1 a100)=50 lg100=100。【变式2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。【答案】 216；法一： 设这个等比数列为na，其公比为 q，183a，445127823aa qq ，48116q，294q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页第 6 页 共 12 页23362341111
12、aaaa q a qa qaq33389621634。法二： 设这个等比数列为na，公比为 q，则183a，5272a，加入的三项分别为2a，3a，4a，由题意1a，3a，5a也成等比数列，238273632a，故36a，23234333216aaaaaa。类型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4在等比数列na中，已知48nS，260nS，求3nS。思路点拨： 等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和， ，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一： 令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-4
13、8=12，b3=S3n-S2n 观察 b1=a1+a2+ +an, b2=an+1+an+2+ +a2n=qn(a1+a2+ +an)，b3=a2n+1+a2n+2+ +a3n=q2n(a1+a2+ +an) 易知 b1,b2,b3成等比数列，2223112348bbb，S3n=b3+S2n=3+60=63. 法二： 22nnSS，1q，由已知得121(1)481(1)601nnaqqaqq 得514nq，即14nq代入得1641aq，3133(1)164(1)6314nnaqSq。法三： na为等比数列，nS，2nnSS，32nnSS也成等比数列，2232()()nnnnnSSSSS，精选学
14、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页第 7 页 共 12 页22232()(6048)606348nnnnnSSSSS。举一反三：【变式 1】等比数列na中，公比 q=2, S4=1,则 S8=_. 【答案】 17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1 (1+24)=17 【变式 2】已知等比数列na的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求：S30=？【答案】 130；法一： S10
15、，S20-S10，S30-S20构成等比数列， (S20-S10)2=S10 (S30-S20) 即 302=10(S30-40),S30=130. 法二： 2S10S20，1q, 101)1 (10110qqaS,20120(1)401aqSq, 102011,14qq103q,511qa130)31)(5(1)1(330130qqaS. 【变式 3】等比数列na的项都是正数，若 Sn=80, S2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求n.【答案】 6560802nnSS，1q(否则212nnSS) 1(1)1nnaqSq=80 .(1) 212(1)1nnaqSq=6560.(2
16、)，(2) (1)得：1+qn=82,qn=81.(3) 该数列各项为正数，由(3)知 q1 an为递增数列， an为最大项 54. an=a1qn-1=54,a1qn=54q, 81a1=54q.(4) 1542813aqq代入(1)得2(181)80(1)3qq，q=3,n=4. 【变式 4】等比数列na中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页第 8 页 共 12 页【答案】 4；令 b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(
17、1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知： b1, b2, b3成等比数列， b3=122bb=324362=4,即 a5+a6=4. 【变式 5】等比数列na中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值。【答案】 448；an是等比数列， (a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56 8=448. 类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列 .若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列 .求原来的三个数 . 思路点拨：
18、 恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式 . 解析：法一： 设成等差数列的三数为a-d, a,a+d. 则 a-d, a, a+d+32成等比数列， a-d, a-4, a+d成等比数列 . )2.().)()4() 1.().32)(22dadaadadaa由(2)得 a=8162d.(3) 由(1)得 32a=d2+32d .(4) (3)代(4)消 a，解得83d或 d=8. 当83d时,269a；当 d=8 时,a=10 原来三个数为92,926,9338或 2,10,50. 法二： 设原来三个数为 a, aq, aq2，则 a, aq
19、,aq2-32 成等差数列， a, aq-4, aq2-32 成等比数列)2).(32()4() 1.(322222aqaaqaqaaq由(2)得24aq，代入 (1)解得 q=5 或 q=13 当 q=5 时 a=2；当 q=13 时29a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页第 9 页 共 12 页原来三个数为 2，10，50 或92，926,9338. 总结升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列， 可设此三数为 a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为yx，x, xy。但
20、还要就问题而言，这里解法二中采用首项 a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4， ，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列. 【答案】 为 2，6，18或210 50,999；设所求的等比数列为a，aq，aq2；则2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得 a=2，q=3 或29a，q=-5；故所求的等比数列为2，6，18 或210 50,999. 【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为 91，求这三个数。【答案
21、】 1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1设这三个数分别为, ,aa aqq，由已知得222222791aa aqqaaa qq22231(1)91aaqq得4298290qq，所以29q或219q，即3q或13q故所求三个数为： 1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数 . 【答案】 0，4，8，16或 15，9，3，1；设四个数分别是 x,y,12-y,16-x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
22、纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页第 10 页 共 12 页)2).(16()12()1.(1222xyyyxy由(1)得 x=3y-12，代入 (2)得 144-24y+y2=y(16-3y+12) 144-24y+y2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4 或 9， x=0 或 15，四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1. 类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列 an的前 n 项和 Sn满足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列 an 的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨： 由数列 an的前
23、 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型. 解析： log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1 (nN+), a1=S1=51-1=4, 当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4 5n-1而 n=1 时，4 5n-1=4 51-1=4=a1, nN+时，an=4 5n-1由上述通项公式，可知 an 为首项为 4，公比为 5 的等比数列 . 举一反三：【变式 1】已知数列 Cn，其中 Cn=2n+3n，且数列 Cn+1-pCn为等比数列，求常数p。【答案】 p=2 或 p=3；Cn+1-pCn 是
24、等比数列，对任意 nN 且 n2 ，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1) Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1) (2n+3n)-p(2n-1+3n-1) 即(2-p) 2n+(3-p) 3n2=(2-p)2n+1+(3-p) 3n+1 (2-p)2n-1+(3-p) 3n-1 整理得：1(2)(3) 2306nnpp,解得： p=2 或 p=3, 显然 Cn+1-pCn0 ，故 p=2 或 p=3 为所求 . 【变式 2】设an、bn 是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数
25、列 Cn不是等比数列 .【证明】 设数列 an、bn的公比分别为 p, q，且 pq为证Cn 不是等比数列，只需证2132CCC. 222222211111 1()2Ca pb qa pb qa b pq, 22222222131111111 1()()()CCaba pb qa pb qa bpq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页第 11 页 共 12 页221321 1()CCCa b pq, 又 pq, a10, b10,21320CCC即2132CCC数列 Cn不是等比数列 . 【变式 3】判断正误：(1
26、)an为等比数列a7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3)an，bn 均为等比数列，则 anbn 为等比数列；(4)an是公比为 q 的等比数列，则2na、1na仍为等比数列；(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，logmb，logmc 成等差 . 【答案】(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2 a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例： 02=0 0，不能说 0，0，0 成等比；(3)对；anbn首项为 a1b1，公比为 q1q2；(4)对；2211211,1nnnnaaqaqa；(5)错；反例： -2，-4，-8 成
27、等比，但 logm(-2)无意义 . 类型七： Sn与 an的关系例 7已知正项数列 an，其前 n 项和 Sn满足21056nnnSaa，且 a1，a3，a15成等比数列，求数列 an 的通项 an. 解析： 21056nnnSaa，21111056aaa，解之得 a1=2 或 a1=3. 又21111056 (2)nnnSaan，由-得221110()5()nnnnnaaaaa，即11()(5)0nnnnaaaaan+an-10，an-an-1=5(n2).当 a1=3 时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列a13 ；当 a1=2 时，a3=12，a15=72，有 a
28、32=a1a15，a1=2，an=5n-3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页第 12 页 共 12 页总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是11(1)(2)nnnanaSSn，尤其注意首项与其他各项的关系. 举一反三：【变式】命题1：若数列 an的前 n 项和 Sn=an+b(a1) ，则数列 an是等比数列；命题2：若数列an 的前 n 项和 Sn=na-n，则数列 an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个. 【答案】 0；由命题 1 得，a1=a+b，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(a-1) an-1. 若an是等比数列，则21aaa，即(1)a aaab，所以只有当 b=-1 且 a0 时，此数列才是等比数列. 由命题 2 得，a1=a-1，当 n 2 时，an=Sn-Sn-1=a-1，显然an 是一个常数列，即公差为0 的等差数列，因此只有当 a-10 ，即 a1时数列 an 才又是等比数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页