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1、1 / 21 等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为公比2、通项公式：11110,0nnnnaaa qqA BaqA Bq，首项：1a；公比：q推广：n mn mnnn mnmmmaaaa qqqaa3、等比中项：（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab注意： 同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q时，1nSna（2）当1q时，11111nnnaqaa qSqq1111nnnaaqAA BA BAqq
2、（,A B A B为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义： 对任意的n，都有11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0)nnnnnnaaaaaa为等比数列2 / 21 （3）通项公式：0nnnaA BA Ba为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnnaqaa为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何*,m nN，在等比数列na中，有n mnmaa q。（3）若*(, ,)mnst m n s tN，则nmstaaaa。特别的，当2mnk时，得2nmkaaa注：12132nnnaaaaa a等差
3、和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式等差数列等比数列定义daann 1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan) 1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm3 / 21 例 1等比数列na中，1964aa, 3720aa, 求11a.思路
4、点拨： 由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组，解出1a和q，可得11a；或注意到下标1 937，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a.总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】 为等比数列， a1=3，a9=768，求 a6。【变式 2】 为等比数列， 0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。【变式 3】已知等比数列na，若1237aaa，1238a a a，求na。4 / 21 类型二：等比数列
5、的前n 项和公式例 2设等比数列 的前 n 项和为，若 S36=2S9，求数列的公比q.举一反三：【变式 1】求等比数列1 11,3 9的前 6 项和。【变式 2】已知： 为等比数列， a1a2a3=27，S3=13，求 S5.【变式 3】在等比数列na中，166naa，21128naa，126nS，求n和q。类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列na中，若569aa, 求3132310loglog.logaaa.举一反三：5 / 21 【变式 1】正项等比数列na中，若 a1a100=100; 则12+100.【变式 2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的
6、乘积为。类型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4在等比数列na中，已知48nS，260nS，求3nS。思路点拨： 等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第n个 k 项和仍然成等比数列。举一反三：【变式 1】等比数列na中，公比 2, S4=1, 则 S8.【变式 2】已知等比数列na的前 n 项和为 , 且 S10=10, S20=40, 求：S30=？【变式 3】等比数列na的项都是正数，若80, S26560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n.6 / 21 【变式 4】等比数列na中，若 a12
7、=324, a34=36, 则 a56.【变式 5】等比数列na中，若 a123=7456=56, 求 a789的值。类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列 . 若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列 . 求原来的三个数.思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提. 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 , a, ；若三数成等比数列，可设此三数为yx，x, 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比 q 来解决问题反而
8、简便。7 / 21 举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4， ，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式 2】 已知三个数成等比数列， 它们的积为 27， 它们的平方和为91，求这三个数。【变式 3】有四个数， 其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数 .类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列 的前 n 项和满足：5(1)(n ), 求出数列 的通项公式，并判断 是何种数列？思路点拨： 由数列 的前 n 项和可
9、求数列的通项公式，通过通项公式判断 类型.8 / 21 举一反三：【变式 1】已知数列 ，其中 23n，且数列 1 为等比数列，求常数p。【答案】 2 或 3；【证明】 设数列 、 的公比分别为p, q ，且 pq【变式 3】判断正误：(1)为等比数列a73a4；(2) 若 b2，则 a，b，c 为等比数列；(3)， 均为等比数列，则 为等比数列；(4)是公比为 q 的等比数列，则2na、1na仍为等比数列；(5) 若 a，b，c 成等比，则，成等差 .类型七：与的关系例 7已知正项数列 ，其前 n 项和满足21056nnnSaa，且 a1，a3，a159 / 21 成等比数列，求数列 的通项
10、 .总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是11(1)(2)nnnanaSSn，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列 的前 n 项和 (a1) ，则数列 是等比数列；命题 2：若数列 的前 n 项和，则数列 既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个.经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列na中，1964aa, 3720aa, 求11a. 思路点拨： 由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组，解出1a和q，可得11a；或注意到下标1 937，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a. 解析：10 / 2
11、1 法一： 设此数列公比为q，则8191126371164(1)20(2)aaaa qaaa qa q由(2) 得：241(1)20a qq.(3) 10a. 由(1) 得：421()64a q , 418a q .(4) (3) (4) 得：42120582qq，422520qq, 解得22q或212q当22q时，12a，1011164aaq；当212q时，132a，101111aaq. 法二： 193764aaaa, 又3720aa, 3a、7a为方程220640 xx的两实数根，41673aa或16473aa23117aaa, 271131aaa或1164a. 总结升华：列方程（组）求解
12、是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三：【变式 1】 为等比数列， a1=3，a9=768，求 a6。【答案】 96法一： 设公比为 q，则 7681q8，q8=256， 2，a6=96；法二： a521a9a5=482， a6=96。【变式 2】 为等比数列， 0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。11 / 21 【答案】 64；21894516a aa，又 0，a45=4 34445464564a a aa。【变式 3】已知等比数列na，若1237aaa，
13、1238a a a，求na。【答案】12nna或32nna；法一： 2132a aa，312328a a aa，22a从而13135,4aaa a解之得11a，34a或14a，31a当11a时，2q；当14a时，12q。故12nna或32nna。法二：由等比数列的定义知21aa q，231aa q代入已知得2111211178aa qa qaa q a q21331(1)7,8aqqa q211(1)7,(1)2(2)aqqa q将12aq代入（ 1）得22520qq，解得2q或12q由（2）得112aq或1412aq，以下同方法一。类型二：等比数列的前n 项和公式例 2设等比数列 的前 n
14、项和为，若 S36=2S9，求数列的公比q. 解析： 若 1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因 a10，得 S362S9，显然 1 与题设矛盾，故q1. 12 / 21 由3692SSS得，369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得 q3(2q63-1)=0 ，由 q0，得 2q63-1=0，从而 (2q3+1)(q3-1)=0 ，因 q31，故312q，所以342q。举一反三：【变式 1】求等比数列1 11,3 9的前 6 项和。【答案】364243；11a，13q，6n666111331364112324313S。【变式 2】已知： 为等比数列，
15、a1a2a3=27，S3=13，求 S5. 【答案】1211219或；322273aa，31(1)113313aqqqq或，则 a1=1 或 a1=9 5555191131213121S113913S或. 【变式 3】在等比数列na中，166naa，21128naa，126nS，求n和q。【答案】12q或 2，6n；211nnaaaa，1128na a解方程组1112866nna aaa，得1642naa或1264naa13 / 21 将1642naa代入11nnaa qSq，得12q，由11nnaa q，解得6n；将1264naa代入11nnaa qSq，得2q，由11nnaa q，解得6n
16、。12q或 2，6n。类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列na中，若569aa, 求3132310loglog.logaaa. 解析：na是等比数列，110293847569aaaaaaaaaa1032313logloglogaaa553123103563log ()log ()log 910aaaaaa举一反三：【变式 1】正项等比数列na中，若 a1a100=100; 则12+100. 【答案】 100；123+100(a1a2a3 a100) 而 a1a1002a993a98=50a51原式 (a1a100)50=50(a1a100)=50100=100。【变式 2】在83和272之
17、间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为。【答案】 216；法一： 设这个等比数列为na，其公比为q，183a，445127823aa qq，48116q，294q23362341111aaaa q a qa qaq33389621634。法二： 设这个等比数列为na，公比为q，则183a，5272a，14 / 21 加入的三项分别为2a，3a，4a，由题意1a，3a，5a也成等比数列，238273632a，故36a，23234333216aaaaaa。类型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4在等比数列na中，已知48nS，260nS，求3nS。思路点拨： 等差数列中也有类
18、似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第n个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一： 令 b148, b2260-48=12，b332n 观察 b112+, b212+2(a12+) ，b32122+32n(a12+) 易知 b123成等比数列，2223112348bbb，S3323+60=63. 法二： 22nnSS，1q，由已知得121(1)481(1)601nnaqqaqq得514nq，即14nq代入得1641aq，3133(1)164(1)6314nnaqSq。15 / 21 法三： na为等比数列，nS，2nnSS
19、，32nnSS也成等比数列，2232()()nnnnnSSSSS，22232()(6048)606348nnnnnSSSSS。举一反三：【变式 1】等比数列na中，公比 2, S4=1, 则 S8. 【答案】 17；S84567841q42q43q44q444(a1234)44S44(14)=1(1+24)=17 【变式 2】已知等比数列na的前 n 项和为 , 且 S10=10, S20=40, 求：S30=？【答案】 130；法一： S10，S2010，S3020构成等比数列， (S2010)210(S3020) 即 302=10(S30-40), S30=130. 法二： 2S10S20
20、，1q, 101)1(10110qqaS,20120(1)401aqSq, 102011,14qq103q, 511qa130)31)(5(1)1(330130qqaS. 【变式 3】等比数列na的项都是正数，若80, S26560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n.【答案】 6560802nnSS，1q( 否则212nnSS) 1(1)1nnaqSq=80 .(1) 212(1)1nnaqSq=6560.(2)，(2) (1) 得：182, 81.(3) 该数列各项为正数，由(3) 知 q1 为递增数列，为最大项54. 11=54, a154q, 81a1=54q.(4) 16 / 2
21、1 1542813aqq代入(1) 得2(181)80(1)3qq，3, 4. 【变式 4】等比数列na中，若 a12=324, a34=36, 则 a56. 【答案】 4；令 b1121(1) ，b2341q2(1)3561q4(1), 易知： b1, b2, b3成等比数列， b3122bb3243624, 即 a56=4. 【变式 5】等比数列na中，若 a123=7456=56, 求 a789的值。【答案】 448； 是等比数列， (a456)=(a123)q3, q3=8, a789=(a456)q3=568=448. 类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两
22、项不变，第三项减去32，则成等差数列 . 若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列 . 求原来的三个数. 思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提. 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式. 解析：法一： 设成等差数列的三数为, . 则, a, 32成等比数列， , 4, 成等比数列 . )2.().)()4() 1.().32)(22dadaadadaa由(2) 得8162d.(3) 由(1) 得 322+32d .(4) (3) 代(4) 消 a，解得83d或 8. 当83d时,269a；当 8 时 10 原来三个数为92,926,9338或 2,10,50. 法
23、二： 设原来三个数为a, , 2，则 a, 2-32 成等差数列， a, 4, 2-32 成17 / 21 等比数列)2).(32()4()1.(322222aqaaqaqaaq由(2) 得24aq，代入 (1) 解得 5 或 13 当 5 时 2；当 13 时29a. 原来三个数为2，10，50 或92，926,9338. 总结升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 , a, ；若三数成等比数列，可设此三数为yx，x, 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，
24、 ，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列. 【答案】 为 2，6，18 或210 50,999；设所求的等比数列为a， ，2；则 2(4)2，且(4)2(2+32)；解得 2，3 或29a，5；故所求的等比数列为2，6，18 或210 50,999. 【变式 2】 已知三个数成等比数列， 它们的积为 27， 它们的平方和为91，求这三个数。【答案】 1、3、9 或1、3、 9 或 9、3、1 或9、3、1设这三个数分别为, ,aa aqq，18 / 21 由已知得222222791aa aqqaaa qq22231(
25、1)91aaqq得4298290qq，所以29q或219q，即3q或13q故所求三个数为： 1、3、9 或 1、3、9 或 9、3、1 或9、3、 1。【变式 3】有四个数， 其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数 . 【答案】 0，4，8，16 或 15，9，3，1；设四个数分别是 ,12,16 )2).(16()12()1.(1222xyyyxy由(1) 得 312，代入 (2) 得 144-242(16-312) 144-2423y2+28y, 4y2-52144=0, y2-1336=0, 4 或 9， 0
26、 或 15，四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1. 类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列 的前 n 项和满足：5(1)(n ), 求出数列 的通项公式，并判断 是何种数列？思路点拨： 由数列 的前 n 项和可求数列的通项公式，通过通项公式判断 类型. 解析： 5(1), 1=5n, 51 (n ), a11=51-1=4, 当 n2 时，1=(51)-(51-1)=551=51(5-1)=4 5119 / 21 而 1 时， 451=451-1=41, n时， 451由上述通项公式，可知 为首项为 4，公比为 5 的等比数列 . 举一反三：【变式 1】已知数列 ，其中 23n
27、，且数列 1 为等比数列，求常数p。【答案】 2 或 3；1 是等比数列，对任意 nN且 n2，有(1)2=(21)(1) 23n, (21+31)(23n)2=(22+32)(21+31) (23n)(21+31) 即(2) 2(3) 3n2=(2) 21+(3) 31 (2) 21+(3) 31 整理得：1(2)(3) 2306nnpp, 解得： 2 或 3, 显然10，故 2 或 3 为所求 . 【变式 2】设 、 是公比不相等的两个等比数列，, 证明数列 不是等比数列 .【证明】 设数列 、 的公比分别为p, q ，且 pq 为证 不是等比数列，只需证2132CCC. 22222221
28、1111 1()2Ca pb qa pb qa b pq, 22222222131111111 1()()()CCaba pb qa pb qa bpq221321 1()CCCa bpq, 又 p q, a10, b10, 21320CCC即2132CCC数列 不是等比数列 . 【变式 3】判断正误：(1)为等比数列a73a4；(2) 若 b2，则 a，b，c 为等比数列；(3)， 均为等比数列，则 为等比数列；(4)是公比为 q 的等比数列，则2na、1na仍为等比数列；20 / 21 (5) 若 a，b，c 成等比，则，成等差 . 【答案】(1) 错；a71q6，a3a41q2a1q31
29、2q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2) 错；反例： 02=00，不能说 0，0，0 成等比；(3) 对； 首项为 a1b1，公比为 q1q2；(4) 对；2211211,1nnnnaaqaqa；(5) 错；反例： -2 ，-4 ，-8 成等比，但 (-2) 无意义 . 类型七：与的关系例 7已知正项数列 ，其前 n 项和满足21056nnnSaa，且 a1，a3，a15成等比数列，求数列 的通项 . 解析： 21056nnnSaa，21111056aaa，解之得 a1=2 或 a1=3. 又21111056 (2)nnnSaan，由- 得221110()5()nnnnnaaaaa，即
30、11()(5)0nnnnaaaa10，1=5(n2). 当 a1=3 时， a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列a13；当 a1=2 时， a3=12，a15=72，有 a321a15，a1=2，53. 总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是21 / 21 11(1)(2)nnnanaSSn，尤其注意首项与其他各项的关系. 举一反三：【变式】命题1：若数列 的前 n 项和 (a1) ，则数列 是等比数列；命题 2：若数列 的前 n 项和，则数列 既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个. 【答案】 0；由命题 1 得，a1，当 n2 时，1=(1) 1. 若 是等比数列，则21aaa，即(1)a aaab，所以只有当 1 且 a0 时，此数列才是等比数列. 由命题 2 得，a11，当 n2 时，11，显然 是一个常数列，即公差为0 的等差数列，因此只有当 10，即 a1 时数列 才又是等比数列 .