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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点等比数列学问点总结与典型例题1、等比数列的定义：a n1q q0n2,且nN*, q 称为公比an2、通项公式：ana qn1a 1qnA Bna 1q0,A B0,首项：1a ；公比： qq推广：a na qn mqn ma nqn ma na ma m3、等比中项：（1）假如a A b 成等比数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项,即：A2ab 或 Aab留意： 同号的 两个数 才有 等比中项,并且它们的等比中项有两个 （2）数列an是等比数列a n2an1a n14、等比数列的前 n 项和S 公式：（1）当q1时,
2、S nna 1（2）当q1时,S na 11qna 1a q n1q1q1a 11a 1qqnAA BnA BnA（A B A B 为常数）q5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ,都有an1qa n或a nn1q q 为常数,a n0a n为等比数a列（2）等比中项：an2an1a n1an1an10a na n为等比数列（3）通项公式：a nA BnA B0为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：如a n1q q0n2,且nN*或an1qana n为等比数列an7、等比数列的性质：名师归纳总结 （2）对任何m n* N ,在等比数列 a n中,有a na qn m；第 1
3、页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）如mnsnt m n s t2N* ,就名师总结a s优秀学问点mn2 k 时,得anama k2anama ；特殊的,当注：a 1ana 2a1a a n等差和等比数列比较：定义等差数列n 1andmd0）等比数列*,nk0）aan1q q0a n递推公anan1d；anamnanan1q；anamqnm式通项公ana1n1 dkana1qn1（a 1 q0）式Aank2ank（n,kN*,nGankankankank0（n ,kN中项前 n 项和Snna 1anpqna1q1 22Sna11q
4、na1anqqSnna1nn1d1q1q2重要amanamanapaqapaqqm ,n ,p ,qN*,mnm ,n,p ,qN*,mnp性质经典例题透析类型一：等比数列的通项公式得例 1等比数列 an中,a 1a 964, a3a 720, 求a 11. 1a 和 q ,可思路点拨： 由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于1a 和 q 的二元方程组,解出a 11；或留意到下标 1 937 ,可以利用性质可求出a 、a ,再求a 11. 解析：名师归纳总结 法一： 设此数列公比为q,就a 1a 9a 1a q864201第 2 页,共 11 页a 3a 7a q 12a q 162由2
5、 得：a q21q420.3 .4 a 10. 由1 得：a q4264 , a q483 4 得：1qq4205,282- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点2q425q22a 10, 解得q22或q21；22,q当q2时,a 11a 11064当q21时,a 132,a 11a 110 q1. 2法二： a 1a9a 3a764, 又a3a 720, a 、a 为方程x220x640的两实数根,a 316或a34a 74a716a3a 11a72, a 11a 721或a 1164. a 3总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方
6、法,同时利用性质可以削减运算量；解题过程中详细求解时,要设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法（除 式不为零） . 举一反三：【变式 1】an 为等比数列, a1=3,a9=768,求 a6；【答案】 96 8,q 8=256, q= 2, a6= 96；法一： 设公比为 q,就 768=a1q 法二： a5 2=a1a9 a5= 48 q= 2, a6= 96；【变式 2】a n 为等比数列, an0,且 a1a89=16,求 a44a45a46的值；【答案】 64；名师归纳总结 a a892 a 4516,又 an 0, a45=4 7,a a a38,求a ；第 3
7、页,共 11 页a a a463 a 4564；【变式 3】已知等比数列a n,如a 1a2a3【答案】a n2n1或a n23n；42a 31法一： a a 32 a ,a a a3a38,a22从而a 1a 345,解之得a 11,a34或a 1,a a 3当a 11时,q2；当a 14时,q1；22故an2n1或an23n；法二 ：由等比数列的定义知a2a q ,a 3a q代入已知得a 1a qa q287a 1a q a q2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点q. a 11qq27,a 11qq27, 13 a q38a q
8、 122将a 12代入（ 1）得2q25q20,q解得q2或q12由（ 2）得a 11或a 14,以下同方法一；1q2q2类型二：等比数列的前n 项和公式例 2设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比解析： 如 q=1,就有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 因 a1 0,得 S3+S6 2S9,明显 q=1 与题设冲突,故q 1. ,由S 3S 62 S 得,a 113 qa 11q62a 11q91q1q1q整理得 q32q6-q3-1=0 ,由 q 0,得 2q6-q3-1=0 ,从而 2q3+1q3-1=0 ,因 q3 1,故q31,所
9、以q3 4；22举一反三：名师归纳总结 【变式 1】求等比数列1,1 1 ,3 9,的前 6 项和；第 4 页,共 11 页【答案】364 243；a 11,q1,n63S 611163116364；311232433【变式 2】已知： a n 为等比数列, a1a2a3=27,S3=13,求 S5. 【答案】121 或121；9a327a 23,13a 11q3q3 或q1,就 a1=1 或 a1=9 21q3S 515 3121 或S 5911121. 351 311 39- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 3】在等比数列 an中,a 1an
10、名师总结a2优秀学问点128,S n126,求 n 和 q ；66,an1【答案】q1或 2,n6；或a 122a2a n1a 1a ,a an128解方程组a a na n128,得a 164a 166a n2a n64将a 164代入S na 1a q,得q1 2,a n21q由ana qn1,解得n6；q2,将a 12代入S na 1a q,得a n641q由ana qn1,解得n6；q1或 2,n6；2类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列 an中,如a 5a69, 求log3a 1log3a2.log3a 10. 解析： an是等比数列,a 1a 103a2a 9a3a82a4a7
11、a 10a 5a 695a65log 95103a1log3a2alogloga 10log a 1a 3log a举一反三：【变式 1】正项等比数列a n中,如 a1 a100=100; 就 lga1+lga2+ +lga100=_. 【答案】 100；lga 1+lga 2+lga 3+ +lga 100=lga1a2a3 a100 _；而 a1a100=a2a99=a3a98= =a50a51a100 50=50lga 1a100=50 lg100=100 ；原式 =lga1【变式 2】在8 3和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为【答案】 216；名师归
12、纳总结 法一： 设这个等比数列为an,其公比为 q ,q29216；第 5 页,共 11 页a 18,a 527a q484 q ,4 q81323164a2a 3a 4a q a q2a q33 a 1q683933 634法二： 设这个等比数列为an,公比为 q,就a 18,a 527,32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 加入的三项分别为a ,a ,a ,名师总结优秀学问点由题意a ,a ,a 也成等比数列,2 a 382736,故a 36,k 项和,32a2a 3a 4a2a3a3216；33类型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4在等比数列
13、 an中,已知S n48,S 2n60,求S 3n；思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和, ,第 解析：n 个 k 项和仍旧成等比数列；法一： 令 b1=Sn=48, b 2=S2n-S n=60-48=12 ,b3=S3n-S2n 观看 b1=a1+a2+ +an, b2=an+1+an+2+ +a2n=q na 1+a2+ +an,b3=a2n+1+a2n+2+ +a3n=q 2na 1+a2+ +an 易知 b1,b 2,b 3 成等比数列,b 32 b 21223,b 148S3n=b3+S2n=
14、3+60=63. 法二： S 2n2S ,q1,S ,S 3nS 2n也成等比数列,由已知得a 11n q481qa 112 qn601q 得1qn5,即qn144代入得1a 1q64,S 3na 113 qn641163；431q法三： an为等比数列,S ,S 2nS 2nS n2S nS 3 nS 2n,6063；S 3nS 2nS nS n2S 2n602 4848举一反三：【变式 1】等比数列 an中,公比 q=2, S4=1, 就 S8=_. 【答案】 17；名师归纳总结 S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q 4+a2q 4+a3q4+a4q 4=S4+q 4a 1+a
15、2+a3+a4=S 4+q 4S4=S41+q4=1 1+24=17 第 6 页,共 11 页【变式 2】已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求： S30=？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点54,求 n.【答案】 130；S20-S 102=S10S30-S20 法一： S10,S20-S 10,S30-S 20构成等比数列,即 302=10S 30-40, S30=130. 法二： 2S10 S20,q1, S 10a 1 1q 1010,S 20a 11q2040, 1q1q110 q1
16、 , 410 q3, 1a 1q51q20S 30a 1 1q305 133130. 1q【变式 3】等比数列 an的项都是正数,如Sn=80, S2n=6560,前 n 项中最大的一项为【答案】 S n80,q1 否就Sn1 S 2n6560S2n2S na 11qn=80 .1 1qS 2na 11q2n=6560.2,1q2 1 得： 1+qn=82, qn=81.3 该数列各项为正数,由3 知 q1 a n 为递增数列,an 为最大项 54. an=a1qn-1=54, a1q n=54q, 81a1=54q.4 a 1 54 q 2 q 代入 1 得2 q 1 81 801 q ,8
17、1 3 3q=3, n=4. 【变式 4】等比数列 a n 中,如 a1+a2=324, a 3+a4=36, 就 a5+a6=_. 【答案】 4；令 b1=a1+a2=a11+q ,b2=a3+a4=a1q 21+q,b 3=a5+a6=a1q 41+q, 2 2易知： b1, b 2, b 3成等比数列,b3= b 2= 36=4,即 a5+a6=4. b 1 324【变式 5】等比数列 a n 中,如 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值；【答案】 448；a n 是等比数列,a4+a5+a6=a1+a2+a3q 3,q 3=8, a7+a8+a9=a
18、 4+a5+a6q 3=56 8=448. 类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列,如前两项不变,第三项减去二项减去4,就又成等比数列. 求原先的三个数. 32,就成等差数列 . 如再将此等差数列的第思路点拨： 恰当地设元是顺当解方程组的前提 . 考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式 . 解析：名师归纳总结 法一： 设成等差数列的三数为a-d, a,a+d. 成等比数列 . 第 7 页,共 11 页就 a-d, a, a+d+32成等比数列, a-d, a-4, a+da2adadda32. 1 a42ad.2- - - - - - -精选学习资料 - -
19、 - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2由2 得 a= d 16 .3 8由1 得 32a=d 2+32d .4 3 代4 消 a,解得 d 8或 d=8. 3当 d 8时, a 26；当 d=8 时,a=10 3 9原先三个数为 2 , 26 , 338 或 2,10,50. 9 9 9法二： 设原先三个数为 a, aq, aq 2,就 a, aq,aq 2-32 成等差数列, a, aq-4, aq 2-32 成等比数列22 aq a aq 32 . 1 2 2 aq 4 a aq 32 . 2 由2 得 a 2,代入 1 解得 q=5 或 q=13 q 4当 q=5 时 a=
20、2；当 q=13 时 a 2. 9原先三个数为 2,10,50 或 2 ,26 , 338 . 9 9 9总结升华： 挑选适当的设法可使方程简洁易解；一般地,三数成等差数列,可设此三数为 a-d, a, a+d；如三数成等比数列,可设此三数为 x ,x, xy ；但仍要就问题而言,这里解法二中采纳首项 a,公比 q 来解y决问题反而简便；举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项,假如把其次项加上 4,那么所得的三项就成为等差数列,假如再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原先的等比数列 . 【答案】 为 2,6,18 或2 , 10 50,；9 9 9设所求的等比
21、数列为 a,aq,aq 2；就 2aq+4=a+aq 2,且 aq+4 2=aaq 2+32 ；解得 a=2,q=3 或 a 2, q=-5 ；9故所求的等比数列为 2,6, 18 或2 , 10 50, . 9 9 9【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数；【答案】 1、3、 9 或 1、 3、 9 或 9、3、1 或 9、3、 1名师归纳总结 设这三个数分别为a a aq q,9a3q2191第 8 页,共 11 页由已知得a a aq q272912 a q2 a1 2 qa2a22或1 9,qq2得9q482q290,所以q2- - - -
22、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即q3或q名师总结优秀学问点1 3 1、 3、9 或 1、3、 9 或 9、3、1 或 9、 3、 1；故所求三个数为：【变式 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,其次个数与第三个数的和为 12,求这四个数 . 【答案】 0,4, 8,16 或 15, 9,3,1；设四个数分别是 x,y,12-y,16-x 2 y x 12 y . 1 12 y 2 y 16 x . 2 由1 得 x=3y-12 ,代入 2 得 144-24y+y 2=y16-3y+12 144-24y+y
23、 2=-3y 2+28y, 4y 2-52y+144=0, y 2-13y+36=0, y=4 或 9, x=0 或 15,四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 类型六：等比数列的判定与证明例 6已知数列 a n 的前 n 项和 Sn满意： log 5S n+1=nn N+, 求出数列 a n 的通项公式,并判定 a n 是何种数列？思路点拨： 由数列 a n 的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式,通过通项公式判定a n 类型 . 解析： log 5S n+1=n, Sn+1=5 n, Sn=5 n-1 nN+, a1=S1=5 1-1=4, n-1 -1=5n-5n-1=5
24、 n-15-1=4 5n-1当 n2 时, an=Sn-S n-1=5 n-1-5而 n=1 时, 4 5 n-1=4 5 1-1 =4=a1, n-1nN+时, an=4 5由上述通项公式,可知an 为首项为 4,公比为 5 的等比数列 . 举一反三：【变式 1】已知数列 Cn ,其中 Cn=2 n+3 n,且数列 Cn+1-pC n 为等比数列,求常数 p；【答案】 p=2 或 p=3；Cn+1-pC n 是等比数列,对任意 nN且 n2,有 Cn+1-pCn 2=C n+2-pCn+1C n-pC n-1 Cn=2 n+3 n, 2 n+1+3 n+1-p2 n+3 n 2=2 n+2+
25、3 n+2-p2 n+1+3 n+1 2即2-p2 n+3-p 3 n 2=2-p2 n+1+3-p 3 n+1 2-p整理得：1 2 p 3 p 2 n3 n0 , 解得： p=2 或 p=3, 6明显 Cn+1-pCn 0,故 p=2 或 p=3 为所求 . n+3 n-p2 n-1+3 n-1 2 n-1 +3-p 3 n-1 【变式 2】设 a n 、b n 是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn, 证明数列 Cn 不是等比数列 .【证明】 设数列 a n 、b n 的公比分别为 p, q ,且 p q 2为证 Cn 不是等比数列,只需证 C 1 C 3 C . 2 2 2 2
26、2 2C 2 a p b q a p b q 2 a b pq , 2 2 2 2 2 2 2 2C 1 C 3 a 1 b 1 a p b q a p b q a b 1 1 p q 2 2C 1 C 3 C 2 a b 1 1 p q , 又 p q, a 1 0, b 1 0, 2 2C 1 C 3 C 2 0 即 C 1 C 3 C 2数列 Cn不是等比数列 . 【变式 3】判定正误：1an 为等比数列a7=a3a4；2 如 b 2=ac,就 a,b,c 为等比数列；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总
27、结 优秀学问点3a n , b n 均为等比数列,就 a nbn 为等比数列；4a n 是公比为 q 的等比数列,就 a n 2、1 仍为等比数列；a n5 如 a,b,c 成等比,就 logma,logmb,logmc 成等差 . 【答案】1 错； a7=a1q 6,a3a4=a1q 2a1q 3=a1 2q 5,等比数列的下标和性质要求项数相同；2 错；反例： 0 2=0 0,不能说 0,0,0 成等比；3 对； anbn 首项为 a1b1,公比为 q1q2；124 对；aa nn 2 1 q 2, a1 n 1 1q；a n5 错；反例： -2 ,-4 ,-8 成等比,但 logm-2
28、无意义 . 类型七： Sn与 an 的关系例 7已知正项数列 a n ,其前 n 项和 Sn 满意10S na25an6,且 a1,a3,a15成等比数列,求数列nan 的通项 an. 解析： 10S n5a2 n5 an6,a nan1a nan15010a 12 a 1a 16,解之得 a1=2 或 a1=3. 又10S n12 a n15an16 n2,由 - 得10ana22 a n15anan1,即nan+an-10, an-an-1 =5n 2. 当 a1=3 时, a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列a1 3；当 a1=2 时, a3=12,a15=72,有
29、a3 2=a1a15,a1=2, an=5n-3. 总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是a na 1S n1n1,特殊留意S nn2首项与其他各项的关系. 举一反三：【变式】命题 1：如数列 an 的前 n 项和 Sn=a n+ba 1 ,就数列 a n 是等比数列；命题 2：如数列 an的前 n 项和 Sn=na-n ,就数列 an 既是等差数列,又是等比数列；上述两个命题中,真命题为 个. 【答案】 0；由命题 1 得, a1=a+b,当 n2 时, an=Sn-S n-1=a-1 an-1. 如a n 是等比数列,就a2a,即a a1a,a 1ab所以只有当b=-1 且 a 0 时,此数列才是等比数列. 由命题 2 得, a1=a-1 ,当 n2 时, an=Sn-S n-1=a-1 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀学问点第 11 页,共 11 页明显 a n 是一个常数列,即公差为0 的等差数列,因此只有当a-1 0,即 a 1 时数列 an 才又是等比数列. - - - - - - -