《2022年等比数列知识点总结与典型例题- 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年等比数列知识点总结与典型例题- 2.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师总结优秀知识点等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为公比2、通项公式：11110,0nnnnaaa qqA BaqA Bq，首项：1a；公比： q推广：n mn mnnn mnmmmaaaa qqqaa3、等比中项：（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与 b的等差中项，即：2Aab或Aab注意：同号的 两个数 才有等比中项，并且它们的等比中项有两个 （2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q时，1nSna（2）当1q时，11111nnnaqaa qSqq1111nnnaaqAA BA B
2、Aqq（,A B A B为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0)nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0nnnaA BA Ba为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnnaqaa为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何*,m nN，在等比数列na中，有n mnmaa q。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师总结优秀知识点（3）若*( , ,
3、,)mnst m n s tN，则nmstaaaa。特别的，当2mnk 时，得2nmkaaa注：12132nnnaaaaa a等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列na中，1964aa, 3720aa, 求11a. 思路点拨： 由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组，解出1a和q，可得11a；或注意到下标1 937，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a. 解析：法一： 设此数列公比为q，则8191126371164(1)20(2)aaaa qaaa qa q由(2) 得：241(1)20a qq.(3) 10a. 由(1) 得：4
4、21()64a q , 418a q .(4) (3) (4) 得：42120582qq，等差数列等比数列定义daann 1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2) 1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm精选学习资料 - - - - - - - -
5、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师总结优秀知识点422520qq, 解得22q或212q当22q时，12a，1011164aaq；当212q时，132a，101111aaq. 法二： 193764aaaa, 又3720aa, 3a、7a为方程220640 xx的两实数根，41673aa或16473aa23117aaa, 271131aaa或1164a. 总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零） . 举一反三：【变式 1】an
6、为等比数列， a1=3，a9=768，求 a6。【答案】 96法一： 设公比为q，则 768=a1q8，q8=256， q=2， a6= 96；法二： a52=a1a9a5=48q=2， a6=96。【变式 2】an 为等比数列， an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。【答案】 64；21894516a aa，又 an 0， a45=4 34445464564a a aa。【变式 3】已知等比数列na，若1237aaa，1238a a a，求na。【答案】12nna或32nna；法一： 2132a aa，312328a a aa，22a从而13135,4aaa a解之得11
7、a，34a或14a，31a当11a时，2q；当14a时，12q。故12nna或32nna。法二 ：由等比数列的定义知21aa q，231aa q代入已知得2111211178aa qa qaa q a q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师总结优秀知识点21331(1)7,8aqqa q211(1)7,(1)2(2)aqqa q将12aq代入（ 1）得22520qq，解得2q或12q由（ 2）得112aq或1412aq，以下同方法一。类型二：等比数列的前n 项和公式例 2设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若
8、 S3+S6=2S9，求数列的公比q. 解析： 若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故q1. 由3692SSS得，369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得 q3(2q6-q3-1)=0 ，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而 (2q3+1)(q3-1)=0 ，因 q31，故312q，所以342q。举一反三：【变式 1】求等比数列1 11,3 9的前 6项和。【答案】364243；11a，13q，6n666111331364112324313S。【变式 2】已知： an 为等比数列，
9、 a1a2a3=27，S3=13，求 S5. 【答案】1211219或；322273aa，31(1)113313aqqqq或，则 a1=1 或 a1=9 5555191131213121S11 3913S或. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师总结优秀知识点【变式 3】在等比数列na中，166naa，21128naa，126nS，求n和q。【答案】12q或 2，6n；211nnaaaa，1128na a解方程组1112866nna aaa，得1642naa或1264naa将1642naa代入11nnaa qSq
10、，得12q，由11nnaa q，解得6n；将1264naa代入11nnaa qSq，得2q，由11nnaa q，解得6n。12q或 2，6n。类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列na中，若569aa, 求3132310loglog.logaaa. 解析：na是等比数列，110293847569aaaaaaaaaa1032313logloglogaaa553123103563log ()log ()log 910aaaaaa举一反三：【变式 1】正项等比数列na中，若 a1a100=100; 则 lga1+lga2+ +lga100=_. 【答案】 100；lga1+lga2+lga3+ +
11、lga100=lg(a1a2a3 a100) 而 a1a100=a2a99=a3a98= =a50 a51原式 =lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式 2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。【答案】 216；法一： 设这个等比数列为na，其公比为q，183a，445127823aa qq，48116q，294q23362341111aaaa q a qa qaq33389621634。法二： 设这个等比数列为na，公比为q，则183a，5272a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
12、总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师总结优秀知识点加入的三项分别为2a，3a，4a，由题意1a，3a，5a也成等比数列，238273632a，故36a，23234333216aaaaaa。类型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4在等比数列na中，已知48nS，260nS，求3nS。思路点拨： 等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第 2 个 k 项和，第3 个 k 项和，第n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一： 令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12 ，b3=S3n-S2n 观察 b1=a1+a2
13、+ +an, b2=an+1+an+2+ +a2n=qn(a1+a2+ +an)，b3=a2n+1+a2n+2+ +a3n=q2n(a1+a2+ +an) 易知 b1,b2,b3成等比数列，2223112348bbb，S3n=b3+S2n=3+60=63. 法二： 22nnSS，1q，由已知得121(1)481(1)601nnaqqaqq得514nq，即14nq代入得1641aq，3133(1)164(1)6314nnaqSq。法三： na为等比数列，nS，2nnSS，32nnSS也成等比数列，2232()()nnnnnSSSSS，22232()(6048)606348nnnnnSSSSS。举
14、一反三：【变式 1】等比数列na中，公比q=2, S4=1, 则 S8=_. 【答案】 17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17 【变式 2】已知等比数列na的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求： S30=？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师总结优秀知识点【答案】 130；法一： S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，(S20-S10
15、)2=S10(S30-S20) 即 302=10(S30-40), S30=130. 法二： 2S10S20，1q, 101)1(10110qqaS,20120(1)401aqSq, 102011,14qq103q, 511qa130)31)(5(1)1(330130qqaS. 【变式 3】等比数列na的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前 n 项中最大的一项为54，求 n.【答案】 6560802nnSS，1q( 否则212nnSS) 1(1)1nnaqSq=80 .(1) 212(1)1nnaqSq=6560.(2)，(2) (1) 得： 1+qn=82, qn=81.(3)
16、该数列各项为正数，由(3) 知 q1 an 为递增数列，an为最大项54. an=a1qn-1=54, a1qn=54q, 81a1=54q.(4) 1542813aqq代入 (1) 得2(181)80(1)3qq，q=3, n=4. 【变式 4】等比数列na中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_. 【答案】 4；令 b1=a1+a2=a1(1+q) ，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知： b1, b2, b3成等比数列，b3=122bb=324362=4,即 a5+a6=4. 【变式 5】等比数列na中，若 a1+
17、a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值。【答案】 448；an是等比数列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448. 类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列. 若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列. 求原来的三个数. 思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提. 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式 . 解析：法一： 设成等差数列的三数为a-d, a,a+d. 则 a-d, a, a+d+32成等比
18、数列，a-d, a-4, a+d成等比数列 . )2.().)()4()1.().32)(22dadaadadaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师总结优秀知识点由(2) 得 a=8162d.(3) 由(1) 得 32a=d2+32d .(4) (3) 代(4) 消 a，解得83d或 d=8. 当83d时,269a；当 d=8 时,a=10 原来三个数为92,926,9338或 2,10,50. 法二： 设原来三个数为a, aq, aq2，则 a, aq,aq2-32 成等差数列，a, aq-4, aq2-32
19、 成等比数列)2).(32()4()1.(322222aqaaqaqaaq由(2) 得24aq，代入 (1) 解得 q=5 或 q=13 当 q=5 时 a=2；当 q=13 时29a. 原来三个数为2，10，50 或92，926,9338. 总结升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为yx，x, xy 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4， ，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32
20、，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列. 【答案】 为 2，6，18 或210 50,999；设所求的等比数列为a，aq，aq2；则 2(aq+4)=a+aq2，且 (aq+4)2=a(aq2+32) ；解得 a=2，q=3 或29a， q=-5 ；故所求的等比数列为2，6， 18 或210 50,999. 【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【答案】 1、3、 9 或 1、 3、 9 或 9、3、1 或 9、3、 1设这三个数分别为, ,aa aqq，由已知得222222791aa aqqaaa qq22231(1)91aaqq得429
21、8290qq，所以29q或219q，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师总结优秀知识点即3q或13q故所求三个数为：1、 3、9 或 1、3、 9 或 9、3、1 或 9、 3、 1。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数 . 【答案】 0，4， 8，16 或 15， 9，3，1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x )2).(16()12()1.(1222xyyyxy由(1) 得 x=3y-12 ，代入
22、(2) 得 144-24y+y2=y(16-3y+12) 144-24y+y2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4 或 9， x=0 或 15，四个数为0，4，8，16 或 15，9，3，1. 类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列 an的前 n 项和 Sn满足： log5(Sn+1)=n(n N+), 求出数列 an 的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨： 由数列 an的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an 类型 . 解析： log5(Sn+1)=n, Sn+1=5n, Sn=5n-1 (nN+), a1=S1=
23、51-1=4, 当 n2 时， an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4 5n-1而 n=1 时， 45n-1=451-1=4=a1, nN+时， an=45n-1由上述通项公式，可知an为首项为4，公比为 5 的等比数列 . 举一反三：【变式 1】已知数列 Cn ，其中 Cn=2n+3n，且数列 Cn+1-pCn为等比数列，求常数p。【答案】 p=2 或 p=3；Cn+1-pCn是等比数列，对任意 nN且 n2，有 (Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1) Cn=2n+3n, (2n+1+3n+1)-p(2n+3
24、n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1) (2n+3n)-p(2n-1+3n-1) 即(2-p)2n+(3-p) 3n2=(2-p)2n+1+(3-p) 3n+1 (2-p)2n-1+(3-p) 3n-1 整理得：1(2)(3) 2306nnpp, 解得： p=2 或 p=3, 显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求 . 【变式 2】设 an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn, 证明数列 Cn不是等比数列.【证明】 设数列 an 、bn 的公比分别为p, q ，且 p q 为证 Cn 不是等比数列，只需证2132CCC. 22222221111
25、1 1()2Ca pb qa pb qa b pq, 22222222131111111 1()()()CCaba pb qa pb qa bpq221321 1()CCCa bpq, 又 p q, a10, b10, 21320CCC即2132CCC数列 Cn不是等比数列. 【变式 3】判断正误：(1)an为等比数列a7=a3a4；(2) 若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师总结优秀知识点(3)an， bn均为等比数列，则anbn 为等比数列；(4)an是公比为q 的
26、等比数列，则2na、1na仍为等比数列；(5) 若 a，b，c 成等比，则logma，logmb，logmc 成等差 . 【答案】(1) 错； a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2) 错；反例： 02=00，不能说0，0，0 成等比；(3) 对； anbn首项为 a1b1，公比为q1q2；(4) 对；2211211,1nnnnaaqaqa；(5) 错；反例： -2 ，-4 ，-8 成等比，但logm(-2) 无意义 . 类型七： Sn与 an的关系例 7已知正项数列 an ，其前 n 项和 Sn满足21056nnnSaa，且 a1，a3
27、，a15成等比数列，求数列an 的通项 an. 解析： 21056nnnSaa，21111056aaa，解之得 a1=2 或 a1=3. 又21111056 (2)nnnSaan，由 - 得221110()5()nnnnnaaaaa，即11()(5)0nnnnaaaaan+an-10， an-an-1=5(n2). 当 a1=3 时， a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列a13；当 a1=2 时， a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，a1=2， an=5n-3. 总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是11(1)(2)nnnanaSSn，尤其
28、注意首项与其他各项的关系. 举一反三：【变式】命题1：若数列 an 的前 n 项和 Sn=an+b(a1) ，则数列 an 是等比数列；命题2：若数列 an的前 n 项和 Sn=na-n ，则数列 an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个. 【答案】 0；由命题 1 得， a1=a+b，当 n2 时， an=Sn-Sn-1=(a-1) an-1. 若an 是等比数列，则21aaa，即(1)a aaab，所以只有当b=-1 且 a0 时，此数列才是等比数列. 由命题 2 得， a1=a-1 ，当 n2 时， an=Sn-Sn-1=a-1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师总结优秀知识点显然 an 是一个常数列，即公差为0 的等差数列，因此只有当a-1 0，即 a1 时数列 an才又是等比数列. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页