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1、一一.基础知识基础知识1函数零点的定义函数零点的定义：方程方程( )0f x 有有实根实根 ( )yf xx函数函数图象与图象与轴有轴有交点交点 函数函数( )yf x有有零点零点。 2函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：（1）定理）定理：如果函数：如果函数 ( )yf x在区间在区间 , a b上的图象上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有是连续不间断的一条曲线，并且有 ( )( )0f af b那么函数那么函数 ( )yf x在区间在区间 ( , )a b内有零点，即存在内有零点，即存在 ( , )ca b使得使得 ( )0f c ,这个这个
2、c也就是方程也就是方程 ( )0f x 的实数根。的实数根。 （2）连续函数）连续函数变号了一定有零点（能证明变号了一定有零点（能证明f(x)单调单调则有且只有一个零点）；不变号不一定无零点（如则有且只有一个零点）；不变号不一定无零点（如二重零点）：在相邻两个零点之间所有的函数值二重零点）：在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。保持同号。3（1）一次函数）一次函数y=ax+b的零点：的零点： abx一定为变号零点一定为变号零点（2）二次函数）二次函数 的零点：的零点：cbxaxy24题型一：题型一：求零点求零点：即为求解方程的根。：即为求解方程的根。题型二：题型二：求零点个数及所在区间：求零
3、点个数及所在区间： ,( )x f x , a b( )( ) 0f af b( )yf x( , )a b( )yf x , a b , a b解一：利用计算器或计算机作的对应值表的对应值表上连续，并且有上连续，并且有，那么函数，那么函数在区间在区间内至少有一个实数内至少有一个实数在在上的单调性，则在上的单调性，则在有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。、若在区间、若在区间根、若能证明根、若能证明解二：解二：试探着找到两个试探着找到两个x对应值为一正一负（至少对应值为一正一负（至少有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个。有一个）；再证单调
4、增函数即可得有且只有一个。解三：解三：构造两个易画函数，画图，看图象交点构造两个易画函数，画图，看图象交点个数，很实用。个数，很实用。题型三：题型三：已知零点范围确定相关字母的范围：已知零点范围确定相关字母的范围：控制二次函数图象的四个手段：控制二次函数图象的四个手段：a 的正负；的正负；对称轴范围；判别式大于小于等于对称轴范围；判别式大于小于等于0；某些函；某些函数值（乘积）正负。数值（乘积）正负。5用二分法求函数用二分法求函数( )f x零点近似值的步骤：零点近似值的步骤：1确定区间确定区间 , a b，验证，验证 ( )( )0f af b给定精确度给定精确度； 2求区间求区间 ( ,
5、)a b的中点的中点 2bac3计算计算)(cf：（1）若）若)(cf=0，则，则c就是函数的零点，计算终止；就是函数的零点，计算终止；0)()(cfafcax,0（2）若）若，则令，则令b=c（此时零点（此时零点）；）；0)()(bfcfbcx,0（3）若）若则令则令a=c（此时零点（此时零点。(用列表更清楚用列表更清楚)abab或(4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度：即若：即若，则得到零点近似值，则得到零点近似值；否则重复；否则重复24。说明：说明：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适函数的变号零点适合，对
6、函数的不变号零点不适用；用二分法求函数的零点近似值必须用上节的用；用二分法求函数的零点近似值必须用上节的三种方法之一先求出零点所在的区间。三种方法之一先求出零点所在的区间。例例1借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程237xx的近似解（精确到的近似解（精确到0.1）。）。3222yxxx例例2求函数求函数的零点，并画出它的图象。的零点，并画出它的图象。32( )f xaxbxcxd(,0)b (0,1)b(1,2)b(2,)b例例3已知函数已知函数的图象如图所示，则的图象如图所示，则A B C D 122( )(3)1f xmxmxxm(0,1(0,1)(,1)(,1例例4已知函数已知函数的图象与的图象与轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数的取值范围是（的取值范围是（ ） B C DA