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1、数学312用二分法求方程的近似解1新人教a版必修二分法简介二分法的基本步骤二分法的实现误差分析习题与解答目录CONTENTS01二分法简介二分法是一种求解实数根的近似解的方法，通过不断将区间一分为二，逐步逼近方程的根。二分法的基本思想是通过不断缩小搜索区间，将未知实数所在的范围逐渐缩小，直到找到满足要求的近似解。二分法的适用范围是求解实数根的单调连续函数，且函数在区间内存在唯一零点。二分法的定义二分法的基本思想是将搜索区间一分为二，选择其中一个子区间作为新的搜索区间，并计算该区间的中点。如果函数在区间中点的值异号，则说明根位于该区间内，将该区间作为新的搜索区间；如果函数在区间中点的值同号，则说
2、明根位于区间的另一侧，将对应的另一侧区间作为新的搜索区间。重复上述步骤，每次都将搜索区间缩小一半，直到达到所需的近似解精度要求。二分法的基本思想 二分法的适用范围二分法适用于求解实数根的单调连续函数，要求函数在区间内存在唯一零点。对于不满足单调性或存在多个零点的函数，二分法可能无法得到正确的近似解。在使用二分法时，需要注意初始搜索区间的选择，以及判断函数在区间端点和中点的符号变化，以确保搜索过程的正确性。02二分法的基本步骤选择一个初始区间，使得该区间内包含方程的根。选择初始区间的两个端点，通常为方程的已知点或根据经验估计。确定初始区间确定初始区间的端点确定初始区间计算中点取初始区间的中点，计
3、算该点的函数值。中点计算公式中点=(左端点+右端点)/2计算中点根据中点处的函数值与零的大小关系，判断根所在的区间。判断函数值的正负如果中点处的函数值为正，则根在左半部分；如果为负，则根在右半部分。判断函数值的符号判断中点处的函数值缩小区间范围根据中点处的函数值判断，将根所在的区间缩小一半。更新区间端点根据判断结果，更新区间的左端点或右端点。决定新的区间重复步骤直至满足精度要求重复计算重复步骤2-5，直到满足精度要求或区间长度足够小。精度要求通常设定一个足够小的正数，当区间长度小于该正数时，认为近似解已经足够精确。03二分法的实现确定初始区间选择一个初始的区间，该区间应包含方程的根。定义函数首
4、先需要定义一个函数，该函数接受一个方程和区间，并返回方程在给定区间的根的近似值。计算中点将初始区间一分为二，计算中点的函数值。重复迭代重复上述步骤，不断缩小根所在的区间，直到满足精度要求。判断中点性质根据中点处的函数值判断根所在的半区间。使用Python实现二分法使用数学软件实现二分法选择一款具有符号计算功能的数学软件，如Matlab、Maple或Mathematica。在软件中输入方程，并选择要求根的区间。运行软件中的二分法程序，得到方程在指定区间的根的近似值。根据软件输出的结果，分析方程根的性质和近似解的精度。选择软件定义方程运行程序分析结果求方程$f(x)=x3-x-1$在 区 间$1,
5、2$内的根。求方程$g(x)=x4-2x2+1$在区间$-2,2$内的根。求方程$h(x)=ln(x)-x+1$在区间$0,2$内的根。二分法的应用实例04误差分析初始近似值的选择对最终的近似解精度有很大影响。如果初始近似值与真实解相差太远，可能会引入较大的误差。初始近似值的选取在计算过程中，由于计算机的精度限制，无法完全准确地表示某些数值，这会导致舍入误差的产生。舍入误差在近似计算过程中，由于舍去了高阶无穷小项，会产生截断误差。截断误差数值误差的来源在计算过程中，由于各步骤之间存在数学运算，因此前一步的误差可能会传递到后一步，导致总误差增大。误差传播在连续的计算过程中，误差会不断积累，最终影
6、响结果的精度。误差积累误差的传播和积累高精度算法可以减少舍入误差和截断误差，提高近似解的精度。使用高精度算法迭代优化多重网格方法通过迭代的方式不断优化近似解，使其逐渐接近真实解。在求解偏微分方程时，采用多重网格方法可以减小误差积累，提高近似解的精度。030201提高近似解精度的策略05习题与解答用二分法求方程$x2-2=0$在区间$1,3$内的近似解。基础习题1用二分法求方程$x3-x-1=0$在区间$0,1$内的近似解。基础习题2用二分法求方程$ex-x=0$在区间$0,1$内的近似解。基础习题3基础习题进阶习题2用二分法求方程$sin(x)-x=0$在区间$fracpi2,pi$内的近似解
7、。进阶习题1用二分法求方程$ln(x)-x+1=0$在区间$1,2$内的近似解。进阶习题3用二分法求方程$cos(x)-x=0$在区间$0,fracpi2$内的近似解。进阶习题近似解为$x=sqrt2$，误差小于$0.01$。基础习题1答案及解析近似解为$x=frac1+sqrt35773$，误差小于$0.05$。基础习题2答案及解析习题答案及解析基础习题3答案及解析：近似解为$x=fracsqrt63$，误差小于$0.03$。习题答案及解析进阶习题2答案及解析近似解为$x=fracpi2$，误差小于$0.04$。进阶习题3答案及解析近似解为$x=fracpi4$，误差小于$0.06$。进阶习题1答案及解析近似解为$x=ln(2)$，误差小于$0.02$。习题答案及解析感谢您的观看THANKS